高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 2.2.2 等差数列的性质课件 新人教A版必修5.ppt

第2课时等差数列的性质 1 复习巩固等差数列的概念及其通项公式 2 掌握等差中项的应用 3 掌握等差数列的性质 并能解决有关问题 1 等差数列 1 定义 一般地 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 这个数列就叫做等差数列 这个常数就叫做等差数列的公差 公差通常用字母d表示 定义还可以叙述为 在数列 an 中 若an 1 an d n n d为常数 则数列 an 是等差数列 常数d称为等差数列的公差 2 通项公式 an a1 n 1 d a1为首项 d为公差 做一做1 1 等差数列 an 的公差d 2 a1 2 则an等于 a 2b 2n 2c 2nd 2n 2解析 an a1 n 1 d 2 2 n 1 2n 答案 c 做一做1 2 在等差数列 an 中 a3 7 a5 a2 6 则a6 解析 设公差为d 则a6 a3 3d a3 a5 a2 7 6 13 答案 13 2 等差中项由三个数a a b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列 这时a叫做a与b的等差中项 做一做2 已知x 1与y 1的等差中项为10 则x y等于 a 0b 10c 20d 不确定解析 由题意得 x 1 y 1 2 10 即x y 20 答案 c 等差数列的性质剖析若数列 an 是公差为d的等差数列 则 1 当d 0时 数列为常数列 当d 0时 数列为递增数列 当d 0时 数列为递减数列 3 an am n m d m n n 4 若m n p q m n p q n 则am an ap aq 6 若数列 an 是有穷等差数列 则与首末两项等距离的两项之和都相等 且等于首末两项之和 即a1 an a2 an 1 ai 1 an i n i n 7 数列 an b b是常数 是公差为 d的等差数列 8 下标成等差数列且公差为m的项ak ak m ak 2m k m n 组成公差为md的等差数列 由等差数列的定义及通项公式易证明性质 1 2 3 4 6 8 下面证明其他两个 证明性质 5 an a1 n 1 d am a1 m 1 d ak a1 k 1 d am an 2a1 m n 2 d 2a1 2k 2 d 2a1 2 k 1 d 2 a1 k 1 d 2ak 证明性质 7 an a1 n 1 d 且 b为常数 an b a1 n 1 d b a1 b n 1 d an 1 b a1 n 2 d b a1 b n 2 d n 2 an b an 1 b d n 2 为常数 数列 an b 也是等差数列 公差为 d 题型一 题型二 题型三 等差数列性质的应用 例1 设数列 an 为等差数列 若a3 a4 a5 a6 a7 450 求a2 a8 分析方法一 依性质 若m n p q 则am an ap aq 求解即可 方法二 将a3 a4 a5 a6 a7用a1 d表示 再将a2 a8用a1 d表示 从中寻找关系来解决 解法一 a3 a7 a4 a6 2a5 a2 a8 a3 a4 a5 a6 a7 5a5 450 a5 90 a2 a8 2a5 180 解法二 an 为等差数列 设首项为a1 公差为d a3 a4 a5 a6 a7 a1 2d a1 3d a1 4d a1 5d a1 6d 5a1 20d 即5a1 20d 450 a1 4d 90 a2 a8 a1 d a1 7d 2a1 8d 180 题型一 题型二 题型三 反思1 比较方法一和方法二 显然方法一要优于方法二 因此要注意灵活运用等差数列的性质解题 2 等差数列的性质实质上是数列的定义 通项 等差中项的综合应用 因此应用得当可为解题带来极大的方便 如本题方法一 题型一 题型二 题型三 变式训练1 如果在等差数列 an 中 a3 a4 a5 12 那么a1 a2 a7等于 a 14b 21c 28d 35解析 a3 a4 a5 12 3a4 12 a4 4 又a1 a7 a2 a6 a3 a5 2a4 故a1 a2 a7 7a4 28 答案 c 题型一 题型二 题型三 等差中项的应用 例2 已知三个数成等差数列 且是递增数列 它们的和为18 平方和为116 求这三个数 分析充分利用等差中项的定义求解未知量 解法一设这三个数分别为a b c 且a b c 解得a 4 b 6 c 8 故这三个数是4 6 8 题型一 题型二 题型三 解法二设这三个数分别为a d a a d 由 得a 6 代入 得d 2 该数列是递增数列 d 2 这三个数为4 6 8 反思当三个数或四个数成等差数列时 可设出这几个数 由已知条件列方程组求解 也可采用对称的设法 当有三个数时 设为a d a a d 当有四个数时 设为a 3d a d a d a 3d 利用已知条件列方程 组 先求出其中的a与d 再进一步解题 题型一 题型二 题型三 变式训练2 1 已知等差数列 an 的前3项分别是a 1 a 1 2 a 3 则该数列的通项公式是 a an 2n 4b an 2n 3c an 2n 4或an 2n 3d an a 2n 3解析 a 1 a 1 2 a 3成等差数列 2 a 1 2 a 1 a 3 a2 a 0 a 0或 1 当a 0时 a1 1 a2 1 d 2 an 2n 3 当a 1时 a1 2 a2 0 d 2 an 2n 4 故an 2n 3或an 2n 4 答案 c 题型一 题型二 题型三 2 已知四个数成递增等差数列 中间两数的和为2 首末两项的积为 8 求这四个数 解设这四个数分别为a 3d a d a d a 3d 公差为2d 依题意 2a 2 且 a 3d a 3d 8 即a 1 a2 9d2 8 d2 1 d 1或d 1 又四个数成递增等差数列 d 0 d 1 故所求的四个数为 2 0 2 4 题型一 题型二 题型三 易错辨析易错点 对等差数列的性质理解不透致错 例3 设数列 an 是等差数列 ap q aq p p q 试求ap q 错解 数列 an 是等差数列 ap q ap aq p q 错因分析性质am an ap aq中必须是两项相加等于另两项相加 如a7 a8 a6 a9