高中数学 2.1.1合情推理课后习题 新人教A版选修22.doc

2.1.1合情推理课时演练促提升a组1.已知数列1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,则数列的第k项是()a.ak+ak+1+a2kb.ak-1+ak+a2k-1c.ak-1+ak+a2kd.ak-1+ak+a2k-2解析:利用归纳推理可知,第k项中第一个数为ak-1,且第k项中有k项,且次数连续,故第k项为ak-1+ak+a2k-2.故选d.答案:d2.下图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,那么第36颗珠子应是什么颜色()a.白色b.黑色c.白色可能性大d.黑色可能性大解析:由图,知三白二黑周期性排列,36=57+1,故第36颗珠子的颜色为白色.答案:a3.已知bn为等比数列,b5=2,且b1b2b3b9=29.若an为等差数列,a5=2,则an的类似结论为()a.a1a2a3a9=29b.a1+a2+a9=29c.a1a2a9=29d.a1+a2+a9=29解析:等比数列中的积(乘方)类比等差数列中的和(积),得a1+a2+a9=29.答案:d4.如图所示,着色的三角形的个数依次构成数列an的前4项,则这个数列的一个通项公式为()a.an=3n-1b.an=3nc.an=3n-2nd.an=3n-1+2n-3解析:a1=1,a2=3,a3=9,a4=27,猜想an=3n-1.答案:a5.如图所示,n个连续自然数按规律排列如下:根据规律,从2 004到2 006的箭头方向依次为()a.b.c.d.解析:观察总结规律为:以4个数为一个周期,箭头方向重复出现.因此,2 004到2 006的箭头方向和0到2的箭头方向是一致的.故选c.答案:c6.设an是首项为1的正数项数列,且(n+1)-n+an+1an=0(nn*),经归纳猜想可得这个数列的通项公式为.解析:由首项为1,得a1=1;当n=1时,由2-1+a2=0,得a2=;当n=2时,由3-2a3=0,即6+a3-1=0,解得a3=;归纳猜想该数列的通项公式为an=(nn*).答案:an=(nn*)7.在平面中,abc的acb的平分线ce分abc面积所成的比,将这个结论类比到空间:在三棱锥a-bcd中,平面dec平分二面角a-cd-b且与ab交于e,则类比的结论为.解析:平面中的面积类比到空间为体积,故类比成.平面中的线段长类比到空间为面积,故类比成.故有.答案:8.已知sin230+sin290+sin2150=,sin25+sin265+sin2125=,通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出证明.解:通过观察可得一般性的命题为sin2(-60)+sin2+sin2(+60)=.证明如下:左边=cos(2-120)+cos 2+cos(2+120)=(cos 2cos 120+sin 2sin 120+cos 2+cos 2cos 120-sin 2sin 120)=右边,所以该一般性的命题成立.9.在矩形abcd中,对角线ac与两邻边所成的角分别为,则cos2+cos2=1,在立体几何中,通过类比,给出猜想并证明.解:如图,在矩形abcd中,cos2+cos2=1.于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为,则cos2+cos2+cos2=1.证明如下:如图,cos2+cos2+cos2=1.b组1.定义a*b,b*c,c*d,d*b依次对应下列4个图形:那么下列4个图形中,可以表示a*d,a*c的分别是()a.(1),(2)b.(1),(3)c.(2),(4)d.(1),(4)解析:由可归纳得出:符号“*”表示图形的叠加,字母a代表竖线,字母b代表大矩形,字母c代表横线,字母d代表小矩形,故a*d是(2),a*c是(4).答案:c2.观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,则72 011的末两位数字为()a.01b.43c.07d.49解析:由75=16 807,76=117 649,77=823 543,观察发现后两位数字呈周期变化,且周期为4,又2 011=4502+3,故72 011的末两位数字是43.答案:b3.设abc的三边长分别为a,b,c,abc的面积为s,内切圆半径为r,则r=,类比这个结论可知:四面体s-abc的四个面的面积分别为s1,s2,s3,s4,内切球半径为r,四面体s-abc的体积为v,则r=()a.b.c.d.解析:设四面体的内切球的球心为o,则球心o到四个面的距离都是r,所以四面体的体积等于以o为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为v四面体s-abc=(s1+s2+s3+s4)r,故r=.答案:c4.设函数f(x)=(x0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x)=,f3(x)=f(f2(x)=,f4(x)=f(f3(x)=,根据以上事实,由归纳推理可得:当nn*且n2时,fn(x)=f(fn-1(x)=.解析:根据题意知,分子都是x,分母中的常数项依次是2,4,8,16,可知fn(x)的分母中常数项为2n,分母中x的系数为2n-1,故fn(x)=.答案:5.已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(n=1,2,3,).(1)求a2,a3,a4,a5;(2)归纳猜想数列an的通项公式.解:(1)当n=1时,a1=1,由an+1=2an+1,得a2=3,a3=7,a4=15,a5=31.(2)由a1=1=21-1,a2=3=22-1,a3=7=23-1,a4=15=24-1,a5=31=25-1,可归纳猜想出an=2n-1(nn*).6.设nn*且sin x+cos x=-1,试猜想sinnx+cosnx的值.解:当n=1时,sin x+cos x=-1.当n=2时,有sin2x+cos2x=1.当n=3时,有sin3x+cos3x=(sin x+cos x)(sin2x+cos2x-sin xcos x),而sin x+cos x=-1,1+2sin xcos x=1,sin xcos x=0.sin3x+cos3x=-1.当n=4时,有sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1.由以上可以猜想,当nn*时,sinnx+cosnx=(-1)n.7.已知椭圆具有性质:若m,n是椭圆c上关于原点对称的两个点,点p是椭圆上任意一点,当直线pm,pn的斜率都存在,并记为kpm,kpn时,kpm与kpn之积是与点p的位置无关的定值.试对双曲线=1给出具有类似特征的性质,并加以证明.解:类似的性质为:若m,n是双曲线=1上关于原点对称的两个点,点p是双曲线上任意一点,当直线pm,pn的斜率