高中数学 本册综合测试 北师大版选修22.doc

选修22综合测试时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1计算：()a1ib1ic1i d1i答案b解析1i.2用反证法证明命题“若a，bn，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”，假设应为()aa，b都能被3整除 ba，b都不能被3整除ca，b不都能被3整除 da不能被3整除答案b解析“至少有一个”的否定为“一个也没有”3用数学归纳法证明1222(n1)2n2(n1)22212，从nk到nk1时，等式左边应添加的式子是()a(k1)22k2 b(k1)2k2c(k1)2 d(k1)2(k1)21答案b解析当nk时，左边1222(k1)2k2(k1)22212，当nk1时，左边1222(k1)2k2(k1)2k2(k1)22212，从nk到nk1，左边应添加的式子为(k1)2k2.4已知函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()答案b解析当x1时，y0，排除a；当x0时，y不存在，排除d；当x从负方向无限趋近于0时，y趋近于，排除c.故选b.5已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则an的类似结论为()aa1a2a3a929 ba1a2a929ca1a2a929 da1a2a929答案d解析由等差数列的性质知，a1a9a2a82a5，故d成立6做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力f(x)1ex，则质点从x10，沿x轴运动到x21处，力f(x)所做的功是()aebc2ed答案b解析由w(1ex)dx1dxexdxx|ex|11.7已知复数(x2)yi(x，yr)对应向量的模为，则的最大值是()a b c. d答案c解析由|(x2)yi|，得(x2)2y23，此方程表示如图所示的圆c，则的最大值为切线op的斜率由|cp|，|oc|2，得cop，切线op的斜率为，故选c.8设函数f(x)在r上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图像可能是()答案c解析本题考查导数的应用，函数的图象由f(x)在x2处取极小值知f(2)0且在2的左侧f(x)0，所以c项合适函数、导数、不等式结合命题，对学生应用函数能力提出了较高要求9.观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有_个小正方形，第n个图中有_个小正方形()a28， b14，c28， d12，答案a解析根据规律知第6个图形中有123456728.第n个图形中有12(n1).10.给出定义：若函数f(x)在d上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在d上也可导，则称f(x)在d上存在二阶导函数，记f(x)(f(x)，若f(x)0在d上恒成立，则称f(x)在d上为凸函数以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是()af(x)sinxcosx bf(x)lnx2xcf(x)x32x1 df(x)xex答案d解析若f(x)sinxcosx，则f(x)sinxcosx，在x(0，)上，恒有f(x)0；若f(x)lnx2x，则f(x)，在x(0，)上，恒有f(x)0；若f(x)x32x1，则f(x)6x，在x(0，)上，恒有f(x)0，故选d.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11(2014北京理，9)复数()2_.答案1解析复数i，故()2i21.12用数学归纳法证明34n152n1能被14整除时，当nk1时，对于34(k1)152(k1)1应变形为_答案3434k15252k1解析nk时，34k152k1能被14整除，因此，我们需要将nk1时的式子构造为能利用nk的假设的形式.34(k1)152(k1)13434k15252k13452k13452k134(34k152k1)(5234)52k1，便可得证13在abc中，d是bc的中点，则()，将命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：_.答案在四面体abcd中，g为bcd的重心，则()14已知函数f(x)x3ax23ax1在区间(，)内既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是_答案(，0)(9，)解析由题意得y3x22ax3a0有两个不同的实根，故(2a)2433a0，解得a9.15.如图为函数f(x)的图像，f(x)为函数f(x)的导函数，则不等式xf(x)0的解集为_答案(3，1)(0,1)解析xf(x)0的解集为(3，1)(0,1)是f(x)的递减区间，f(x)0时，f(x)3kx26x3kx(x)f(x)的单调增区间为(，0)，(，)，单调减区间为(0，)(2)当k0时，函数f(x)不存在极小值当k0时，由(1)知f(x)的极小值为f()10，即k24，又k0，k的取值范围为(2，)18.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin13cos17；sin215cos215sin15cos15；sin218cos212sin18cos12；sin2(18)cos248sin(18)cos48；sin2(25)cos255sin(25)cos55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解析解法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin215cos215sin15cos151sin301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30).证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2.解法二：(1)同解法一(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30).证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin(cos30cossin30sin)cos2(cos60cos2sin60sin2)sincossin2cos2cos2sin2sin2(1cos2)1cos2cos2.19.设a0且a1，函数f(x)x2(a1)xalnx.(1)当a2时，求曲线yf(x)在(3，f(3)处切线的斜率；(2)求函数f(x)的极值点解析(1)由已知得x0.当a2时，f(x)x3，f(3)，所以曲线yf(x)在(3，f(3)处切线的斜率为.(2)f(x)x(a1).由f(x)0，得x1或xa当0a0，函数f(x)单调递增；当x(a,1)时，f(x)0，函数f(x)单调递增此时xa时f(x)的极大值点，x1是f(x)的极小值点当a1时，当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(1，a)时，f(x)0，函数f(x)单调递增此时x1是f(x)的极大值点，xa是f(x)的极小值点综上，当0a1时，x1是f(x)的极大值点，xa是f(x)的极小值点20.(2014广东理)设数列an的前n项和为sn，满足sn2nan13n24n，nn*，且s315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列an的通项公式解析(1)a1s12a2312412a27a1a2s24a3322424(s3a1a2)204(15a1a2)20，a1a28联立解得，a3s3a1a21587，综上a13，a25，a37.(2)由(1)猜想an2n1，以下用数学归纳法证明：由(1)知，当n1时，a13211，猜想成立；假设当nk时，猜想成立，即ak2k1，则当nk1时，ak1ak(2k1)332k32(k1)1这就是说nk1时，猜想也成立，从而对一切nn*，an2n1.21.如图，某地有三家工厂，分别位于矩形abcd的顶点a，b及cd的中点p处，已知ab20 km，cb10 km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形abcd的区域上(含边界)，且与a，b等距离的一点o处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道ao，bo，op，设排污管道的总长为y km.(1)设baorad，将y表示成的函数关系式；(2)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最小解析(1)延