高中数学 5.2实数集的基数导学案 北师大版选修31.doc

实数集的基数阿基里斯追龟说阿基里斯(achilles)是荷马史诗伊利亚特中的英雄，以擅跑闻名芝诺说阿基里斯永远追不上乌龟比如，龟在阿基里斯前面的100码，阿基里斯的速度是龟的十倍当阿基里斯跑到龟的出发点时，龟已前进10码；阿基里斯再追10码，龟又前进了1码；再追1码，龟又前进了十分之一码，这样永远隔着一段距离，总也追不上你认为这个结论可信吗？11873年11月29日_给著名的数学家戴德金的信中提出了这样一个问题：“z和r之间是否存在着一个一一对应的关系？”在1873年12月7日他又给戴德金的一封信中，证明了不存在这样的配对，也就是他证明了实数集是_2定理1：实数集(0,1)是_在证明过程中，使用的方法叫做_3定理2：无理数集是_这就是说，无理数在数量上_有理数尽管有理数在数轴上处处稠密，但与无理数相比不过是沧海一粟答案：1康托不可数的2不可数的康托对角线法3不可数的大大超过一、关于康托【例1】 1873年12月7日，康托给戴德金的第二封信中证明了()a实数与有理数一样多 b正整数与实数一样多c正整数与有理数一样多 d实数不可数解析：康托给戴德金的第二封信中证明了实数是不可数的故选d.答案：d1890年康托发现了实数集不可数的第二个证明，第二个证明使用了_法【例2】 第一个证明了实数集不可数的数学家是()a康托 b戴德金 c费马 d欧拉答案：a康托在证明实数集是不可数的时，首先证明了与实数集对等的一个集合是不可数的，从而得出实数集是不可数的，这个对等集合是()a(0，) b(，0)c(0,1) d0,1二、实数集的基数【例3】 康托在证明实数集(0,1)是不可数的时，先假设实数集(0,1)是可数的，这样可建立实数集(0,1)与正整数集之间的一一对应关系，如表：10.a11a12a13a1420.a21a22a23a2430.a31a32a33a3440.a41a42a43a44k0.ak1ak2ak3ak4那么，康托构造了一个什么样的新实数b，使得新实数b不同于序列中的任何一个数的？解：康托构造了一个新实数b：b0.b1b2b3b4(0bi9，i1,2，)使得b1a11，b2a22，b3a33，bkakk，并且bi都不取0和9.这样新实数b就不同于序列中的任何一个数因为b1a11，所以b不同于序列中的第一个数b2a22，所以b不同于序列中的第二个数同样的方法，b不同于序列中的任何一个数且b0，b1，故它不在序列中，但b一定严格位于0与1之间，这样就导出了实数集(0,1)与正整数集一一对应相矛盾，也就证明了实数集(0,1)不可数康托在研究数论和用三角函数唯一地表示函数等问题过程中，发现了惊人的结果：_.三、不可数集合【例4】 0与1之间满足下述条件的实数：它们的十进制小数表示中只有1,2,3,4,5，而不含其他数字，例如：0.312，0.543，0.512 354 23，证明：所有这样的实数构成的集合是不可数的证明：假设所有满足条件的实数构成的集合是可数的，这样我们总可以按照给定的一一对应关系，把满足条件的实数与正整数集之间的对应关系用下表表示：10.a11a12a1320.a21a22a2330.a31a32a33k0.ak1ak2ak3现在我们构造一个新的实数b：b0.b1b2b3，其中bi显然这样构造的实数满足上述已知条件，但是，由于b1a11，所以b不同于序列中的第一个数0.a11a12a13；由于b2a22，所以b不同于序列中的第二个数0.a21a22a23；同样的方法，数b不同于序列中的任何一个数，这与序列中包含所有满足条件的实数相矛盾，所以所有满足条件的实数构成的集合是不可数的定义由数字0,1,2,3构成的实数为3进制实数证明：区间(0,1)内的所有3进制实数构成的集合是不可数的1康托的两封书信：1873年11月29日康托给好朋友戴德金写了一封信，提出了一个问题：z和r之间是否存在一个一一对应关系？1873年12月7日，他又给戴德金写了一封信，在信中他给出实数集合是不可数的一个证明在这两封信中，康托给无限的理论奠定了基础2康托的对角线法：1890年，康托给出了实数集合不可数的第二个证明在证明实数集(0,1)不可数时，使用的方法叫做康托对角线法，它是一种非常重要的思想方法这种证明方法已经变成了一种模式，很多不同数学结果的证明都用到它3康托从数学上严格证明了“无穷”也是有差别的，并非所有的无穷集合都有相同的大小，而且无穷的大小也是可以比较的比如无理数在数量上大大超过有理数，尽管有理数在数轴上处处稠密，但与无理数相比少得几乎可以忽略不计最令人不可思议的是，无穷集合的整体可以与自身的一部分一一对应，这就打破了统治数学界2 000多年的欧几里得的金科玉律“部分少于整体”答案：1反证2.c3有理数是可数的，而全体实数是不可数的4证明：假设区间(0,1)内的所有3进制实数是可数的，这样我们总可以按照给定的一一对应关系，把满足条件的实数与正整数集之间的对应关系用下表表示：10.a11a12a1320.a21a22a2330.a31a32a33k0.ak1ak2ak3现在，我们构造一个新的实数b：b0.b1b2b3，其中bi显然这样构造的实数是一个3进制实数，但是，由于b1a11，所以b不同于序列中的第一个数0.