高中数学 3.2第2课时抛物线的简单性质练习 北师大版选修21.doc

第三章3.2第2课时抛物线的简单性质一、选择题1动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x20相切，则动圆必过定点()a(4,0)b(2,0)c(0,2)d(0，2)答案b解析圆心到直线x20的距离等于到抛物线焦点的距离，定点为(2,0)2过抛物线y24x的焦点f的直线交该抛物线于a，b两点，o为坐标原点，若|af|3，则aob的面积为()abcd2答案c解析本题考查了抛物线的定义、三角形面积的求法及数形结合的应用设afx(00)，焦点f，a(x0，y0)，b(x0，y0)，则x(2p9)x00.oabf，koakbf1.1，即1.x0p.把代入得p2.所求抛物线方程为y24x.二、填空题7下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽_米答案2解析本题考查了抛物线的标准方程与数学建模能力设抛物线方程为x22py，代入p(2，2)得2p2，x22y，当y3时，x26，x，则此时水面宽为2米，建立平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题8设抛物线y22px(p0)的焦点为f，点a(0,2)若线段fa的中点b在抛物线上，则b到该抛物线准线的距离为_答案解析由条件b(，1)代入y22px得12p，p22，p，b(，1)，故d.三、解答题9抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程解析如图所示，依题意设抛物线方程为y22px(p0)，则直线方程为yxp.设直线交抛物线于a(x1，y1)、b(x2，y2)，则由抛物线定义得|ab|af|fb|ac|bd|x1x2x1x2p，即x1x2p8又a(x1，y1)、b(x2，y2)是抛物线和直线的交点，由消去y得，x23px0，x1x23p.将其代入得p2，所求抛物线方程为y24x.当抛物线方程为y22px(p0)时，同理可求得抛物线方程为y24x.10已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于a、b两点(1)求证：oaob(2)当oab的面积等于时，求k的值分析(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，利用平面解析几何的知识证koakob1，从而证得oaob(2)设直线ab和x轴的交点为n，利用soab|on|y1y2|求k的值解析(1)证明：如图所示，由方程组消去x后，整理，得ky2yk0.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由根与系数的关系，得y1y21.a，b在抛物线y2x上，yx1，yx.yyx1x2.koakob1，oaob(2)设直线ab与x轴交于点n，显然k0.令y0，则x1，即n(1,0)soabsoansobn|on|y1|on|y2|on|y1y2|，soab1.soab，.解得k.一、选择题1若抛物线x22y上距离点a(0，a)的最近点恰好是抛物线的顶点，则a的取值范围是()aa0b0a1ca1da0答案c解析设抛物线上任一点p的坐标为(x，y)，则|pa|2d2x2(ya)22y(ya)2y2(2a2)ya2y(a1)2(2a1)因为y0，)，根据题意知，(1)当a10，即a1，y0时，da2.这时dmin|a|.(2)当a10，即a1时，ya1时d2取到最小值，不符合题意综上可知a1.2设抛物线y28x的焦点为f，准线为l，p为抛物线上一点，pal，a为垂足如果直线af的斜率为，那么|pf|()a4b8c8d16答案b解析考查抛物线定义设a(2，y)f(2,0)，kaf，y4，yp4，p在抛物线上，y8xp，xp6.由抛物线定义可得|pf|pa|xpxa6(2)8，故选b3(2014新课标理)已知抛物线c：y28x的焦点为f，准线为l，p是l上一点，q是直线pf与c的一个交点，若4，则|qf|()ab3cd2答案b解析本题考查抛物线的性质、向量的知识以及三角形的相似设抛物线的焦点坐标是f(2,0)，过点q作抛物线的准线的垂线垂足是a，则|qa|qf|，抛物线的准线与x轴的交点为g，因为4，则点q是pf的三等分点，由于三角形qap与三角形fgp相似，所以可得，所以|qa|qf|3.4设f为抛物线y24x的焦点，a、b、c为该抛物线上三点，若0，则|等于()a9b6c4d3答案b解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，由题知f(1,0)，0，x1x2x33，抛物线的准线为x1，根据抛物线定义得，|x11x21x31336.二、填空题5已知抛物线c：y22px(p0)的准线为l，过m(1,0)且斜率为的直线与l相交于a，与c的一个交点为b，若am，则p_.答案2解析准线l为x，过点m(1,0)且斜率为的直线为y(x1)联立解得点a的坐标为(，(1)又，m点为ab的中点，b点坐标为(2，(1)将b(2，(1)代入y22px(p0)，得3(1)22p(2)，解得p2或p6(舍)6过抛物线y22x的焦点f作直线交抛物线于a、b两点，若|ab|，|af|0)上一定点p(x0，y0)(y00)，作两条直线分别交抛物线于a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点f的距离；(2)当pa与pb的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线ab的斜率是非零常数分析根据抛物线定义，可解出第一问，利用解析几何设而不求及两点斜率公式求第二问解析(1)当y时，x，又抛物线y22px的准线方程为x，由抛物线定义得，所求距离为.(2)设直线pa的斜率为kpa，直线pb的斜率为kpb，由y2px1，y2px0，相减得(y1y0)(y1y0)2p(x1x0)，故kpa(x1x0)同理可得kpb(x2x0)由pa、pb倾斜率角互补知kpakpb，即.y1y22y0，故2.设直线ab的斜率为kab，由y2px2，y2px1，相减得(y2y1)(y2y1)2p(x2x1)kab(x1x2)将y1y22y0(y00)代入得kab，所以kab是非零常数8(2013福建文，20)如图，抛物线e：y24x的焦点为f，准线l与x轴的交点为a点c在抛物线e上，以c为圆心，|co|为半径作圆，设圆c与准线l交于不同的两点m、n.(1)若点c的纵坐标为2，求|mn|；(2)若|af|2|am|an|，求圆c的半径解析(1)抛物线y24x的准线l的方程为x1.由点c的纵坐标为2，得点c的坐标为(1,2)，所以点c到准线l的距离d2，又|co|.所以|mn|222.(2)设c(，y0