高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.3 两角和与差的正切学案 新人教B版必修4.doc

3.1.3两角和与差的正切 学习目标1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用知识链接1如何化简tan呢？答因为tan 的值不存在，不能利用公式t，所以改用诱导公式来解tan.2你能根据同角三角函数基本关系式tan ，从两角和的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角，的正切值表示tan()的公式吗？答当cos()0时，tan().当cos cos 0时，分子分母同除以cos cos ，得tan().预习导引1两角和与差的正切公式(1)t：tan().(2)t：tan().2两角和与差的正切公式的变形(1)t的变形：tan tan tan()(1tan_tan_)tan tan tan tan tan()tan()tan tan 1.(2)t的变形：tan tan tan()(1tan_tan_)tan tan tan tan tan()tan()tan tan 1.要点一利用和(差)角的正切公式求值例1求下列各式的值：(1)；(2)tan 15tan 30tan 15tan 30.解(1)原式tan(6015)tan 75tan(3045)2.(2)tan 451，tan 15tan 301tan 15tan 30，原式(1tan 15tan 30)tan 15tan 301.规律方法公式t，t是变形较多的两个公式，公式中有tan tan ，tan tan (或tan tan )，tan()(或tan()三者知二可表示或求出第三个跟踪演练1求下列各式的值：(1)；(2)tan 36tan 84tan 36tan 84.解(1)原式tan(4575)tan(30)tan 30.(2)原式tan 120(1tan 36tan 84)tan 36tan 84tan 120tan 120tan 36tan 84tan 36tan 84tan 120.要点二利用和(差)角的正切公式求角例2若，均为钝角，且(1tan )(1tan )2，求.解(1tan )(1tan )2，1(tan tan )tan tan 2，tan tan tan tan 1，1.tan()1.，(，2).规律方法此类题是给值求角题，解题步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值，(2)确定所求角的范围此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解跟踪演练2已知tan ，tan 是方程x23x40的两根，且，求角.解由已知得tan 、tan 均为负，0，0.tan().0，.要点三和(差)角的正切公式的综合应用例3已知abc中，tan btan ctan btan c，且tan atan btan atan b1，试判断abc的形状解tan atan btan atan b1，(tan atan b)tan atan b1，tan(ab).又0ab，ab，c，tan btan ctan btan c，tan c，tan btan b，tan b，b，a，abc为等腰钝角三角形规律方法三角形中的问题，abc肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角跟踪演练3已知a、b、c为锐角三角形abc的内角，求证：tan atan btan ctan atan btan c.证明abc，abc.tan(ab)tan c.tan atan btan ctan atan btan c.即tan atan btan ctan atan btan c.1若tan()3，则tan 的值为()a2 b c. d2答案b解析tan tan.2已知ab45，则(1tan a)(1tan b)的值为()a1 b2 c2 d不确定答案b解析(1tan a)(1tan b)1(tan atan b)tan atan b1tan(ab)(1tan atan b)tan atan b11tan atan btan atan b2.3已知a，b都是锐角，且tan a，sin b，则ab_.答案解析b为锐角，sin b，cos b，tan b，tan(ab)1.0ab，ab.4已知tan()，tan ，且、(0，)(1)求tan 的值；(2)求2的值解(1)tan tan().(2)tan(2)tan()1.tan 0，0，0.0，.2(，0)2.1公式t的适用范围、结构特点和符号规律(1)由正切函数的定义可知、(或)的终边不能落在y轴上，即不为k (kz)(2)公式t的右侧为分式形式，其中分子为tan 与tan 的和或差，分母为1与tan tan 的差或和(3)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”2公式t的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan 1，tan ，tan 等要特别注意tan，tan.3公式t的变形应用只要见到tan tan ，tan tan 时，要有灵活应用公式t的意识，就不难想到解题思路一、基础达标1在abc中，若tan atan btan atan b1，则cos c的值是()a b. c. d答案b解析由tan atan btan atan b1，可得1，即tan(ab)1，ab(0，)，ab，则c，cos c.2已知tan()，tan，那么tan等于()a. b. c. d.答案c解析tantan.3已知tan ，tan ，0，则的值是()a. b. c. d.答案c4a，b，c是abc的三个内角，且tan a，tan b是方程3x25x10的两个实数根，则abc是()a钝角三角形 b锐角三角形c直角三角形 d无法确定答案a解析tan atan b，tan atan b，tan(ab)，tan ctan(ab)，c为钝角5._.答案6如果tan ，tan 是方程x23x30的两根，则_.答案解析.7求下列各式的值：(1)sin 15cos 15；(2)(1tan 59)(1tan 76)解(1)sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，cos 15，sin 15cos 15.(2)原式1tan 59tan 76tan 59tan 761(tan 59tan 76)tan 59tan 761tan 135(1tan 59tan 76)tan 59tan 7611tan 59tan 76tan 59tan 762.二、能力提升8化简tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 10的值等于()a1 b2ctan 10 d.tan 20答案a解析原式tan 10tan 20tan 20 tan 10(tan 10tan 20tan 10tan 20)1.9设为第二象限角，若tan，则sin cos _.答案解析因为tan，所以tan ，因为为第二象限角，所以cos ，sin ，则sin cos .10已知、均为锐角，且tan ，则tan()_.答案1解析tan ，tan tan tan 1tan ，tan tan tan tan 1，tan tan 1tan tan ，1，tan()1.11已知a、b、c是abc的三内角，向量m(1，)，n(cos a，sin a)，且mn1.(1)求角a；(2)若tan3，求tan c.解(1)mn1，(1，)(cos a，sin a)1，即sin acos a1,2sin1.sin.0a，a.a，即a.(2)由tan3，解得tan b2.又a，tan a.tan ctan(ab)tan(ab).12已知sin()，sin()，且(，)，(，2)，求cos 2的值解si