高中数学 第三章 空间向量与立体几何测评A 新人教A版选修21.doc

【优化设计】2015-2016学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何测评a 新人教a版选修2-1 (基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)第卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,在四面体abcd中,已知=b,=a,=c,则等于()a.-a+b+cb.a+b+cc.a-b+cd.a-b+c解析:)=-a+b+c .答案:a2.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是()a.ac,bcb.ab,acc.ac,abd.以上均错解析:因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2a,所以ac.又ab=-22+(-3)0+14=0,所以ab.答案:c3.在正方体abcd-a1b1c1d1中,m是ab的中点,则cos的值等于()a.b.c.d.解析:设正方体棱长为1,则|=,|=,而=()=|2+|2+=1+0+0-+0+0=.故cos=.答案:b4.已知平面和平面的法向量分别为m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),则()a.b.c.与相交但不垂直d.以上都不对解析:n=(-6,-2,10),m=(3,1,-5),n=-2m.mn.与平行.答案:b5.已知四边形abcd为矩形,pa平面abcd,连接ac,bd,pb,pc,pd,则下列各组向量中,数量积不一定为零的是()a.b.c.d.解析:建立如图所示的直角坐标系.设矩形abcd的长、宽分别为a,b,pa长为c,则a(0,0,0),b(b,0,0),d(0,a,0),c(b,a,0),p(0,0,c).则=(b,a,-c),=(-b,a,0),=(0,-a,0),=(b,0,-c),=(0,a,-c),=(b,0,0),=(0,0,-c),=(-b,0,0).=-b2+a2不一定为0.=0,=0,=0.答案:a6.平行六面体abcd-a1b1c1d1中,向量两两的夹角均为60,且|=1,|=2,|=3,则|等于()a.5b.6c.4d.8解析:设=a,=b,=c,则=a+b+c,=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=25,因此|=5.答案:a7.在正方体a1b1c1d1-abcd中,e是c1d1的中点,则异面直线de与ac夹角的余弦值为()a.-b.-c.d.解析:如图建立直角坐标系d-xyz,设da=1,a(1,0,0),c(0,1,0),e.则=(-1,1,0),若异面直线de与ac所成的角为,cos =|cos|=.答案:d8.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为()a.b.c.4d.8解析:|a|=3,|b|=3,而ab=4=|a|b|cos,cos=,故sin=,于是以a,b为邻边的平行四边形的面积为s=|a|b|sin=33.答案:a9.如图,abcd为正方形,p为平面abcd外一点,pdad,|pd|=|ad|=2,二面角p-ad-c为60,则点p到ab的距离为()a.2b.c.2d.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则点a(2,0,0),b(2,2,0),p(0,1,),=(-2,1,),=(0,2,0),则=1,所以p到ab的距离d=.答案:d10.在正方体abcd-a1b1c1d1中,直线bc1与平面a1bd所成角的余弦值为()a.b.c.d.解析:建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则d(0,0,0),a1(1,0,1),b(1,1,0),c1(0,1,1).=(1,0,1),=(1,1,0),=(-1,0,1).设平面a1bd的法向量为n=(x,y,z),则n=0,n=0.令x=1,则n=(1,-1,-1),cos=.直线bc1与平面a1bd所成角的正弦值为.直线bc1与平面a1bd所成角的余弦值为.答案:c第卷(非选择题共50分)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)(2b)=-2,则x=.解析:c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),由题意得02+04+(1-x)2=-2,解得x=2.答案:212.在四面体oabc中,=a,=b,=c,d为bc的中点,e为ad的中点,则=.(用a,b,c表示)解析:)=a+b+c.答案:a+b+c13.若平面的一个法向量为n=(3,3,0),直线l的一个方向向量为b=(1,1,1),则l与所成角的余弦值为.解析:cos=,l与所成角的余弦值为.答案:14.如图,ab=ac=bd=1,ab平面m,ac平面m,bdab,bd与平面m成30角,则c,d间的距离等于.解析:|2=|2=|2+|2+|2+2+2+2=1+1+1+0+0+211cos 120=2.故|=.答案:15.如图,正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1,e,f分别是棱bc,dd1上的点,如果b1e平面abf,则ce与df的和的值为.解析:以d1a1,d1c1,d1d分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设ce=x,df=y,则易知e(x,1,1),b1(1,1,0),f(0,0,1-y),b(1,1,1),=(x-1,0,1),=(1,1,y).b1e平面abf,=(1,1,y)(x-1,0,1)=0x+y=1.答案:1三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点a(-3,-1,4),b(-2,-2,2).(1)求|2a+b|;(2)在直线ab上,是否存在一点e,使得b?(o为原点)解:(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b|=5.(2)+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若b,则b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,因此存在点e,使得b,此时e点坐标为e.17.(6分)如图,在直三棱柱abc-a1b1c1中,ac=3,bc=4,ab=5,aa1=4,点d是ab的中点.求证:(1)acbc1;(2)ac1平面cdb1.证明:直三棱柱abc-a1b1c1底面三边长ac=3,bc=4,ab=5,且c1c垂直底面.ac,bc,c1c两两垂直.如图,以c为坐标原点,分别以ca,cb,cc1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则c(0,0,0),a(3,0,0),c1(0,0,4),b(0,4,0),b1(0,4,4),d.(1)=(-3,0,0),=(0,-4,4),=0,acbc1.(2)设cb1与c1b的交点为e,连接de,则e(0,2,2),=(-3,0,4),.deac1.de平面cdb1,ac1平面cdb1,ac1平面cdb1.18.(6分)如图,在三棱锥p-abc中,pa平面abc,bac=90,d,e,f分别是棱ab,bc,cp的中点,ab=ac=1,pa=2.(1)求直线pa与平面def所成角的正弦值;(2)求点p到平面def的距离.解:(1)如图,以a为原点,ab,ac,ap所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系axyz.由ab=ac=1,pa=2,得a(0,0,0),b(1,0,0),c(0,1,0),p(0,0,2),d,e,f,则.设平面def的法向量n=(x,y,z),则解得取z=1,则平面def的一个法向量n=(2,0,1).设pa与平面def所成的角为,则sin =,故直线pa与平面def所成角的正弦值为.(2),n=(2,0,1),点p到平面def的距离d=.19.(7分)在三棱柱abc-a1b1c1中,已知ab=ac=aa1=,bc=4,点a1在底面abc的投影是线段bc的中点o.(1)证明在侧棱aa1上存在一点e,使得oe平面bb1c1c,并求出ae的长;(2)求平面a1b1c与平面bb1c1c夹角的余弦值.解:(1)连接ao,在aoa1中,作oeaa1于点e.aa1bb1,oebb1.a1o平面abc,a1obc.ab=ac,ob=oc,aobc.bc平面aa1o,bcoe.oe平面bb1c1c.又ao=1,aa1=,ae=.(2)如图,分别以oa,ob,oa1