数学技术导论1.pdf

2012 10 181 何远航 郭香华 魏继峰 2012 10 182 参考书目 3 薛定宇 陈阳泉 高等应用数学问题的MatLab求解 清华大学出版社 2008 1 黄克智 张量分析 第二版 清华大学出版社 2003 2 Nayfeh A H Problems in Perturbation John Wiley and Sons 1985 成绩计算 平时30 期末70 2012 10 183 1 1 课程的内容 性质和任务课程的内容 性质和任务 第一章 绪 论 本课程本课程 高等数学高等数学 专业学习专业学习科学研究科学研究 力学 电磁学力学 电磁学 基础知识基础知识 2012 10 184 技术技术就是运用知识 工具和技能解决 探索一些实际 问题 用以扩展人的能力的手段与方法体系之和 人类文明发展史 是生产工具 技术 发展过程 2012 10 185 数学技术数学技术一般指实现数学运算 推理 应用的信息技术 数学的原理 思想 方法 现代信 息技术 数学技术数学技术 111 1 1 sin cos nnn nnn nnn iyxz bary aarx z 为Mandelbrot集 Czz nn 2 1 2012 10 186 望远镜 显微镜 计算机数学家 生物学家 天文学家 只需纸和笔 R 在计算机上证明四色定理 Appel and Haken R 用代数方法证明欧氏几何已知的一切定理 吴文俊 2012 10 187 数学的特征 数学的特征 思维的抽象性 推理的严谨性 应用的广泛性 计算机的特征 计算机的特征 运算速度快 运算精度高 多媒体形象逼真 波音777的无纸化生产 X 32 2012 10 188 数学发展的几个主要阶段 数学发展的几个主要阶段 N 初等数学时期 5 17世纪 N 变量数学时期 17 19世纪初 N 近代数学时期 19世纪初 20世纪中 欧几里得 牛顿 莱布尼茨 黎曼 哥德尔 Printed with FinePrint trial version purchase at 2012 10 189 当前发展的数学 当前发展的数学 与现代社会与经济各领域深入融合 从科学技术的幕后直接走到前台 高技术 本质上是数学技术 枪声定位 2012 10 1810 5 21 evalf evalf Pi 40 abs 3 5 I 3 4 I 1 I factor x 4 2 x 3 12 x 2 40 x 64 expand x 1 5 expand cos 4 x 4 cos 2 x 3 trig simplify sin x 2 cos x 2 int x x 3 1 x combine 4 cos x 3 trig solve x 2 3 x 2 x glsys 2 x 3 y z 1 x y z 4 3 x 7 z 3 solve glsys fsolve x 2 y 2 10 x y 2 x y 基 本 多 项 式 方 程 2012 10 1822 误差的基本概念误差的基本概念 绝对误差 xxxe 准确值 近似值 未知的未知的 可正可负可正可负 xxxe 绝对误差限一般可知一般可知 xx一般记为 2012 10 1823 相对误差可正可负 未知的 无量纲可正可负 未知的 无量纲 相对误差限一般可知一般可知 x xe x xx xer x xx xer x xe x xx xer 通常用作为的相对误差 x 0 1 2 2 2 x xe x xe xexx xe xx xe x xe x xe 2012 10 1824 函数的误差传递函数的误差传递 设多元函数 21n xxxfAL 1 n xxfAL 2 1 n xxxL 近似值 n xxx 21 L 精确值 21 1 nn xxxfxxfAALL 1 jj n j j xx x xf 11 j n j j j n j j xe x xf Aexe x xf Ae Taylor展开 忽略高阶项 绝对误差绝对误差 Printed with FinePrint trial version purchase at 2012 10 1825 1 j N j r j j r xe x xf xf x A Ae Ae 相对误差相对误差 er xj 对er A 的 影响程度 计算问题的条件数计算问题的条件数 初始数据的微小误差可引起结果初始数据的微小误差可引起结果A 的的很大很大误差误差 j x 1 j n j j xe x xf Ae 1 j N j r j j r xe x xf xf x A Ae Ae ye yx y xe yx x yxe yexeyxe rrr yxyxf 1 2012 10 1826 yxyxf 3 0 0 yx 1 2 yexe y x e ye y x xe yy x e rrr xxf 4 2 1 2 1 xexe xe x xe rr n xxf 5 1 xnexe xenxxe r n r nn xyyxf 2 yexexyeb yxexyexyea rrr 2012 10 1827 在乘在乘 除除 开方运开方运算算时时 问题数据的相对误差对计算结 问题数据的相对误差对计算结 果的相对误差果的相对误差影响不大 影响不大 rrr ye yx y xe yx x yxe 当x 与 y 同号且 x y 0 时 至少有至少有一个绝对一个绝对值大于值大于1 x y 时时 至少有至少有一个的绝对一个的绝对值很大值很大 rr yexe y x yxe y很小时 x y可能很大 尽尽量量避免两避免两相相近近数的数的减法运减法运算算 不宜用不宜用绝对绝对值很值很小的数小的数做除做除数数 2012 10 1828 模型误差对物理规律的理解 化繁为简 观测误差 截断误差 舍入误差 手段限制 测不定原理 LL 1 2 1 11 n e 8 2 1L ndx x x y n n 1 0 5 例例 当时 求积分的值 解 显然 yn 单调单调递递减减 且yn 0 误差的误差的来源与来源与分分类类 2012 10 1829 n dxxdx x xx yy n nn nn 1 5 5 5 1 0 1 1 0 1 1 即1 5 1 nn y n y 5ln6ln 5 1 0 0 x dx y 3 182 0位有效数字保留 090 051 01 yy 050 05 2 1 12 yy 083 05 3 1 23 yy 165 05 4 1 34 yy 23 yy n n Sn 误差 计算量太大 各项的舍入误差会损失和的有效数字 LL m x m xxx x x 242 12 1 5 1 3 1 1 2 1 1 ln b 由级数 取 则 3 1 x LL m m 242 3 1 12 1 3 1 5 1 3 1 3 1 1 3 2 ln2 用前 9 项 即取 m 8 计算就能达到精度要求 2012 10 1834 应避免出应避免出现现 大大数数吃吃小数小数 若出若出现现 溢出溢出 应立即中断应立即中断 例例 4位有效数字舍入运算 1234 0 4 0 3 0 2 0 1 1234 0 4 0 3 0 2 0 1 1234 1235 2 1 22 ba 例例 求 max bac 设 2 1 22 ba 2 1 22 c b c a c 则 可可防溢出防溢出 2012 10 1835 泛泛 函函 定义定义 若对已知函数集 y x 中任一函数y x 都有某个确定 的数 实数或复数 与之对应 则称此对应关系是定义 于集 y x 上的一个泛泛函函 记为 I y 或I y x 泛函是以函数函数集集为定义域定义域的实值函数 泛函建立了函数与数之间的对对应关系应关系 除非特别说明 本课程中泛函值为实数 函数的函数 1 2 数学基础数学基础 2012 10 1836 多元变量函数的泛函 例如 V dVf z f y f x f zyxfI2 222 多个函数的泛函 例如 2 1 1 22 x x dxxzxyzyI gbIfaIbgafI 线线性性泛泛函函 对任意函数f g及其线性组合af bg 都有Rba 线性泛函的定义域为线性空间 2012 10 1837 几几种泛种泛函函变变分分规则规则 1 如果 则 drrfrI dr rf rf r rf I rdrrrr 由积分的定义 求和 取极限 可得 drrfr rf rrrfr rf n m mm n 同理 rr rf rf 2012 10 1838 2 如果 则 drrfrI drrfr rfrf I drrrf rf drrrf rf drrfr rf r 上式中 我们假设在边界上在边界上 0 rfrdrrfr 2012 10 1839 3 如果 则 drrfFI drrfF rfrf I drrr rf F dr rf rf rf F rf F 非线性函数的变分规则与复合函数的偏导数类似类似 1 rnfdrrf rf nn 比如 2012 10 1840 4 如果 则 drrfrfrFI rfrfrf drffffrFffI fIffII drffrFffffrF 泛函增量 若充分光滑 由Taylor展开 得 f r f r Printed with FinePrint trial version purchase at 2012 10 1841 drfFffFfF fFfFI ffffff ff 2 2 1 2 2 L L II 2 drfFffFfFI ffffff 2 2 1 2 22 M drfFfFI ff 这里 称为泛函 I 的一一次变次变分分 二次变二次变分分 通常一次变分 I 称为泛函I的变变分分 2012 10 1842 标标量量 scalar 矢矢量量 vector 质量 温度等 速度 重力 电磁场等 ii aaaaeeeea 332211 3 2 1 i 是单位矢量 重复下标表示Einstein求求和和i e 2012 10 1843 iii xba 是违约的 求和时要保留求和符号 n 1i iii xba 无特别说明 3 2 1 kji2 1 例如 332211 xaxaxaxa ii 332211 eeeecccc mm 332211 bbbbjj 2211 jiij ij jiij xxaxxaS 3 1 3 1 313321321131 322322221221 311321121111 xxaxxaxxa xxaxxaxxa xxaxxaxxa 9项 2012 10 1844 三重求和 27项 kjiijk ijk kjiijk xxxaxxxaS 3 1 3 1 3 1 例外 111 ECR 222 ECR 333 ECR iii ECR i 是一个自由指标 只是在数值上等于i 并不与 i 求和 i 又如 333222111 2 3 2 2 2 1 iiiiiiiiiii 可记为 2012 10 1845 并矢并矢 dyad baab 任意两个矢量a和b并写在一起ab 又称两个矢量的 张量积 一般情况下 ba 两个矢量的并矢是二阶张量 jiijjiji TbaeeeeabT 矩阵表示 332313 322212 312111 bababa bababa bababa ab 2012 10 1846 类似地 可以定义多个矢量的并矢 称为多并矢 abcabcd 结结合律合律 分分配律配律 转置转置 abbabaabmmmm abcbcacab abbamnnm acabcba bcaccba cdabcdabmmm bdbcadacdcba baab T abba T 或 2012 10 1847 张张量量 tensor 由满足坐标转换关系的有序数组成的集合 称为张张 量量 如应力 应变和刚度等 jiij ee eeeeee eeeeee eeeeee 333323321331 322322221221 311321121111 矢量是一阶张量 二阶张量 三阶张量 ijk e 四阶张量 SC 2012 10 1848 1 3 力学基础力学基础 弹性动力学初值问题基本方程 1 平衡方程 0 ijiji fr 2 1 xxxx 2313 2 23 2 1312332211 WW 66 55 4544 3633 262322 16131211 0 0 00 00 00 C C CC CC CCC CCCC C Only 13 elastic constants 单斜晶体 如正长石 2012 10 1854 66 55 44 33 2322 131211 0 00 000 000 000 C C C C CC CCC C Reflective Symmetry 112233 xx xxxx 2 23 2 13 2 12332211 WW orthotropic 9 independent elastic constants 正交各向异性 有三个正交对称面 如木材等 2012 10 1855 Transverse Isotropy 11221122 22 112212112212 2222 13231323 ijij 5 independent elastic constants 33 2 23 2 13 2 1222112211 ij WW 1211 44 44 33 1311 131211 2 0 00 000 000 000 CC C C C CC CCC C 横观各向同性 如地壳 2012 10 1856 ijkkijij 2 jkiljlikklijijkl C Voigt Symmetry La