高中数学 第一章 基本初等函数（Ⅱ）1.3.3 已知三角函数值求角学案 新人教B版必修4.doc

1.3.3已知三角函数值求角 学习目标1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法.2.了解符号arcsin x，arccos x，arctan x的含义，并能用这些符号表示非特殊角知识链接已知角x的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？答不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个预习导引1arcsin y的含义一般地，对于正弦函数ysin x，如果已知函数值y(y1,1)，那么在上有唯一的x值和它对应，记为xarcsin_y，即arcsin y(|y|1)表示上正弦值等于y的一个角2arccos y的含义一般的对于余弦函数ycos x，如果已知函数值y(y1,1，那么在0，上有唯一的x值和它对应，记作xarccos_y(1y 1,0x)3arctan y的含义一般地，如果正切函数ytan x(yr)且x，那么对每一个正切值，在开区间内有且只有一个角x，使tan xy，记作xarctan_y.要点一已知正弦值，求角例1已知sin，求x.解设xt，则有sin t.t时，tarcsin，又sin t，所以t是第三、四象限角，且t1arcsin是第四象限角又sinsin，且arcsin是第三象限角，所以t2arcsin.由正弦函数周期性可知t2kt1或t2kt2(kz)时，sin x.所以t2karcsin(kz)，或t2karcsin(kz)因此x的集合为，.规律方法方程ysin xa，|a|1的解集可写为x|x2karcsin a，或(2k1)arcsin a，kz也可化简为x|xk(1)karcsin a，kz跟踪演练1已知sin x.(1)当x时，求x的取值集合；(2)当x0,2时，求x的取值集合；(3)当xr时，求x的取值集合解(1)ysin x在上是增函数，且知sin.满足条件的角只有x.x的取值集合为.(2)sin x0，x为第一或第二象限角且sinsin.在0,2上符合条件的角x或x.x的取值集合为.(3)当xr时，x的取值集合为.要点二已知余弦值，求角例2已知cos x.(1)当x0，时，求x；(2)当x0,2时，求x；(3)当xr时，求x的取值集合解(1)cos x，且x0，xarccosarccos.(2)x0,2且cos x0.x为第二象限角或第三象限角xarccos 或xarccos .(3)当xr时，x与arccos 终边相同或者与arccos 终边相同x2karccos (kz)或x2karccos (kz)x的取值集合是.规律方法方程cos xa，|a|1的解集可写成x|x2karccos a，kz跟踪演练2若cos 2x，其中x，则x的值为()a. b. c. d.答案b解析x，x.要点三已知正切值，求角例3(1)已知tan 2，且，求；(2)已知tan 2，且0,2，求；(3)已知tan 2，r，求.解(1)由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tan 2的角只有一个，故arctan(2)(2)tan 20，是第二或第四象限角又0,2由正切函数在区间，上是增函数，知符合tan 2的角有两个，tan()tan(2)tan 2且arctan(2).arctan(2)或2arctan(2)(3)r，则karctan(2)(kz)规律方法 方程tan xa，ar的解集为x|xkarctan a，kz跟踪演练3已知tan x1，求x，并写出在区间2，0内满足条件的x.解因为tan x1，所以满足条件的x的解集为x|xkarctan(1)，kzx|xk，kz，在xk中，令k0或1，得x或x，即在2，0内正切值为1的角x有2个：与.1已知是三角形的内角，sin ，则角等于()a. b. c.或 d.或答案d2若sin x，x，则x等于()aarcsin barcsin c.arcsin darcsin 答案b3若cos x，x，则x_.答案arccos 4arcsin(1)arctan _.答案1.理解符号arcsin x、arccos x、arctan x的含义每个符号都要从以下三个方面去理解，以arcsin x为例来说明(1)arcsin x表示一个角；(2)这个角的范围是；(3)这个角的正弦值是x，所以|x|1.例如：arcsin 2，arcsin 都是无意义的2已知三角函数值求角的大致步骤(1)由三角函数值的符号确定角的象限(2)求出0,2)上的角(3)根据终边相同的角写出所有的角.一、基础达标1下列叙述错误的是()aarctan y表示一个内的角b若xarcsin y，|y|1，则sin xyc若tan y，则x2arctan ydarcsin y、arccos y中的y1,1答案c2若是三角形内角，且sin ，则等于()a30 b30或150c60 d120或60答案b解析sin 30，sin(18030)sin 30，30或150.3已知cos x，x2，则x等于()a. b. c. d.答案a解析符合条件cos x0的锐角x0，而coscos ，x.4若tan x，0x2，则角x等于()a.或 b.或c.或 d.或答案d解析tan x0，为第一象限角或第四象限角与或终边相同2k，kz，x4k，kz.9直线x2y10的倾斜角为()aarctan barctan carcsin darccos答案d解析a，b，c均表示负锐角，只有d选项中arccos表示钝角故选d.10已知sin ，若，用反正弦符号表示为_答案arcsin 解析满足sin 的锐角为0arcsin .且sin(0)sin 0，0arcsin .11用反三角函数的形式把下列各式中的x表示出来(1)cos x ，(2)sin x ，(3)3tan x10 (0x0)的倾斜角(结果含a、b)解ab0，axbyc0.yx，k.由k0，直线axbyc0