高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）课件2 新人教A版必修4.ppt

1 4 2正弦函数 余弦函数的性质 二 正弦函数 余弦函数的图象和性质 1 1 1 1 2k 2k 2k 2k 2k 2k 1 判一判 正确的打 错误的打 1 函数y cos2x在上是减函数 2 满足2sinx 3的x不存在 3 在区间 0 2 上 函数y cosx仅在x 0时取得最大值1 解析 1 错误 函数y cos2x在上是增函数 2 正确 sinx 1 故sinx 无解 3 错误 在区间 0 2 上 函数y cosx在x 0与x 2 时取得最大值1 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 函数的单调减区间是 2 若cosx 2m 1有意义 则m的取值范围是 3 函数y cosx x 的值域为 解析 2 1 由2k x 2k k z 可得 2k x 2k k z 即2k x 2k k z 答案 2 由于 1 cosx 1 即 1 2m 1 1 解得 0 m 1 答案 0 1 3 y cosx在上是增函数 在上是减函 且因此当时 当x 0时 ymax 1 故函数y cosx x 的值域为答案 要点探究 知识点1正弦 余弦函数的单调性对正弦 余弦函数单调性的三点说明 1 正弦 余弦函数在定义域r上均不是单调函数 但存在单调区间 2 求解 或判断 正弦函数 余弦函数的单调区间 或单调性 是求值域 或最值 的关键一步 3 确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂的函数单调性时 要注意使用复合函数的判断方法来判断 微思考 1 正弦函数在定义域上是增函数 而余弦函数在定义域上是减函数 这种说法对吗 提示 不正确 正弦函数在每个闭区间上是增函数 并不是在整个定义域上是增函数 余弦函数在闭区间 2k 2k k z 上是减函数 并不是在整个定义域上是减函数 2 当 0时 求y asin x 的单调区间时应对解析式如何处理 提示 可先运用诱导公式将其化为y asin x 则y asin x 的增区间即为原函数的减区间 减区间为原函数的增区间 即时练 1 下列函数在上是增函数的是 a y sinxb y cosxc y sin2xd y cos2x 解析 选d y cos2x在上为减函数 上为增函数 2 函数y cosx在区间上是 a 增函数b 减函数c 先减后增函数d 先增后减函数 解析 选c y cosx在上为减函数 在上为增函数 故选c 3 求函数的单调增区间 解析 令则y 2sinz 求y 2sinz的增区间 即取y sinz的减区间 所以所以即所以的单调增区间是 知识点2正弦函数 余弦函数的最值对正弦函数 余弦函数最值的三点说明 1 明确正 余弦函数的有界性 即 sinx 1 cosx 1 2 对有些函数 其最值不一定是1或 1 要依赖函数定义域来决定 3 形如y asin x a 0 0 的函数的最值通常利用 整体代换 即令 x z 将函数转化为y asinz的形式求最值 知识拓展 正弦曲线与余弦曲线的对称性探究 1 正弦曲线 余弦曲线的对称轴分别过曲线的最高点或最低点 正弦曲线的对称轴是直线x k k z 余弦曲线的对称轴是直线x k k z 2 正弦曲线 余弦曲线的对称中心分别是正弦曲线 余弦曲线与x轴的交点 正弦曲线的对称中心是 k 0 k z 余弦曲线的对称中心是 微思考 1 正弦函数 余弦函数的图象有怎样的对称性 提示 正弦函数 余弦函数的图象既是轴对称图形 也是中心对称图形 并且在定义域内对称轴和对称中心不唯一 2 求三角函数的值域或最值时首先需要确定什么 提示 需要确定函数的定义域 即时练 下列关于函数y 3cosx 1的说法错误的是 a 最小值为 4b 是偶函数c 当x k k z时 函数取最大值d 是周期函数 最小正周期是2 解析 选c 当x k k z时 y cosx可取到最大值 也可取最小值 故函数y 3cosx 1 不仅能取到最大值 也能取到最小值 题型示范 类型一正弦 余弦函数的单调性以及应用 典例1 1 2014 怀柔高一检测 已知 为锐角三角形的两个内角 则以下结论正确的是 a sin cos 2 2014 汉沽高一检测 比较下列各组数的大小 解题探究 1 题 1 中锐角三角形的各个角有怎样的关系 2 题 2 中利用三角函数的单调性在比较大小时应注意什么 探究提示 1 锐角三角形的每一个角都小于90 即任意两个内角的和都大于90 2 在利用三角函数的单调性在比较大小时应注意把角放在同一单调区间内 自主解答 1 选b 为锐角三角形的两个内角 所以 2 因为而y cosx在 0 上单调递减 所以即 因为而且y sinx在上单调递增 所以即cos1 sin1 方法技巧 比较三角函数值大小的策略 1 利用诱导公式转化为锐角三角函数值 2 不同名的函数化为同名函数 3 自变量不在同一单调区间化至同一单调区间 变式训练 1 2014 包头高一检测 cos1 cos2 cos3的大小关系是 用 连接 解析 由于0cos2 cos3 答案 cos1 cos2 cos3 2 已知函数f x 2sin x 其中常数 0 若y f x 在上单调递增 求 的取值范围 解析 因为函数y f x 在上单调递增 且 0 所以且所以 补偿训练 已知 且cos sin 则 与的大小为 解析 因为 所以又cos sin 所以而y sinx x 为增函数 所以答案 类型二正弦 余弦函数的最值问题 典例2 1 2014 运城高一检测 已知函数y sinx x 的值域为 2 设f x acosx b的最大值是1 最小值是 3 试确定的最大值 解题探究 1 题 1 中欲求函数的值域时首先注意什么 2 题 2 中当cosx取1和 1时函数能取到最值 需要对a进行分类讨论吗 探究提示 1 求此函数的值域时应首先看清该函数的定义域为应在此定义域内求值域 2 需要对a进行分类讨论 当a 0时 此时函数最大值为a b 最小值为 a b 当a 0时 此时函数最大值为 a b 最小值为a b 自主解答 1 y sinx在上为增函数 在上为减函数 当时 y sinx有最小值当时 y sinx有最大值1 所以值域为答案 2 由题意 a 0 当a 0时 所以此时其最大值为1 当a 0时 所以此时g x 其最大值为1 综上知 g x 的最大值为1 延伸探究 若将题 1 中的函数改为 y sin2x 3sinx 1 定义域仍为此时该函数的值域又如何求 解析 由本例 1 知 x 时 sinx 设t sinx 则y t2 3t 1 t 而y t2 3t 1在上单调递减 所以值域为 方法技巧 求正弦 余弦函数值域的关注点 1 形如y asinx 或y acosx 的函数的最值要注意对a的讨论 2 将函数式转化为y asin x 或y acos x 的形式 3 换元后配方利用二次函数求最值 变式训练 2014 邢台高一检测 求在上的最大值和最小值 解题指南 利用数形结合的思想方法直观简单地求出函数在规定区间上的最值 解析 当x 时 由函数图象知 f x 所以 f x 在上的最大值和最小值分别为 补偿训练 函数的最大值与最小值之和为 a b 0c 1d 解题指南 本题考查三角函数的性质 可利用整体代入法求出最大值和最小值 解析 选a 因为0 x 9 所以所以所以所以所以函数的最大值与最小值之和为 规范解答 求三角函数的单调区间时忽视x的系数的正负致误 典例 12分 2014 晋城高一检测 求函数的单调递增区间 审题 抓信息 找思路 解题 明步骤 得高分 点题 警误区 促提升失分点1 在解答过程中 若没有把化为 处的形式 则后面求该函数的单调增区间会出现相反的结论 这在考试中几乎不得分 失分点2 在解答过程中 若对y cos 的单调递增区间即 处的不等式表达成2k 2k k z 的错误结果 则后面会出现求得原函数的单调减区间的错误结论 这在考试中最多得6分 失分点3 在解答过程中 若无 处则解答不完整 不规范 考试时最多得10分 这是考试中最不应该失分的地方 悟题 提措施 导方向1 注重整体代换的意识求y asin x