高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制课件3 新人教A版必修4.ppt

1 1 2弧度制 1 度量角的两种制度 半径长 rad 弧度 度 2 角度制与弧度制的换算 1 弧度数 正角的弧度数是一个 负角的弧度数是一个 零角的弧度数是 正数 负数 0 2 弧度数的计算 如图 3 角度制与弧度制的换算 3 扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为r 弧长为l 0 2 为其圆心角 则 1 弧长公式 l 2 扇形面积公式 s r 1 判一判 正确的打 错误的打 1 度 与 弧度 是相同的 都是用来度量角的单位 2 1rad的角和1 的角大小不一样 3 1弧度角是指弦长等于半径的弦所对的圆心角 解析 1 错误 度 与 弧度 虽然都是用来度量角的单位 但它们不一样 2 正确 1rad的角约等于57 3 与1 的角的大小不一样 3 错误 1弧度角是指弧长等于半径的弧所对的圆心角 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 18 rad 3 2rad 4 若扇形弧长为 面积为 则扇形的半径是 解析 1 18 答案 2 答案 54 2 57 3 114 6 答案 114 6 4 弧长l 设扇形的半径为r 由于s扇 所以 r 即r 2 所以圆的半径为2 答案 2 要点探究 知识点1角度制与弧度制概念1 角度 与 弧度 的区别与联系 2 弧度制与角度制的互化技巧弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形 具体变化时 可牢记以下公式 只要将已知数值填入相应位置 解出未知的数值 再添上相应的单位即可 3 常见的角度与弧度的换算结论 知识拓展 1 用圆心角所对的弧长与半径的比来度量圆心角的合理性当圆心角 一定时 圆心角所对的弧长与半径之比 与所取半径大小无关 如图所示 设 为n n 0 的角 弧ab和a b 的长分别是l和l 点a和a 到点o的距离 即圆的半径 分别是r r 0 和r r 0 由初中学过的弧长公式可得 于是因此用圆心角所对的弧长与半径之比来度量这个圆心角是合理的 2 引入弧度制的意义引入了弧度制后 统一了角度与长度的单位 使角的集合与实数集之间建立了一一对应的关系 即每一个角都有唯一一个实数 即这个角的弧度数 与它对应 反过来 每一个实数也都有唯一一个角 角的弧度数就等于这个实数 与它对应 为下面学习三角函数做了知识上的铺垫 微思考 1 角 1这种表达方式正确吗 提示 正确 用弧度制表示角时 弧度 二字或 rad 通常略去不写 角 1就表示 是1rad的角 2 单位长度的弧长所对的圆心角是1弧度吗 提示 不是 只有在以单位长度为半径的圆中 单位长度的弧所对的圆心角才是1弧度的角 即时练 1 下列说法正确的是 a 1弧度是1度的圆心角所对的弧b 1弧度是长度为半径的弧c 1弧度是1度的弧与1度的角之和d 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 它是角的一种度量单位 解析 选d 根据1弧度的定义 我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 即可判断d正确 2 2014 抚顺高一检测 下列说法不正确的是 a 度 与 弧度 是度量角的两种不同的度量单位b 1度的角是圆周的所对的圆心角 1弧度的角是圆周的所对的圆心角c 根据弧度的定义知 180度一定等于 radd 不论是用角度制还是用弧度制度量角 它们都与圆的半径的长短有关 解析 选d 根据角度与弧度的定义可知 无论是角度制还是弧度制 角的大小都与半径的长短无关 所以d错误 知识点2弧度制下弧长公式 扇形面积公式对弧度制下弧长公式和扇形面积公式的三点说明 1 由公式可知 由 l r s中的两个量可以求出另外的两个量 即知二求二 2 运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多 但要注意它的前提是在弧度制的前提下 3 在运用公式时 还应熟练地掌握这两个公式的变形应用 l r 微思考 扇形的两种面积公式选择的依据是什么 提示 若已知弧长时 可使用若已知圆心角 时 可使用无论使用哪种公式 都必须有半径r 即时练 1 已知扇形的半径是16 圆心角是2弧度 则扇形的弧长是 解析 1 因为r 16 2rad 所以l r 2 16 32 答案 32 2 已知扇形的半径为1 圆心角为1弧度 则其面积是 解析 由弧长公式可得扇形的弧长为1 故其面积为答案 题型示范 类型一角度和弧度的互化及应用 典例1 1 将下列角度与弧度进行互化 20 15 2 把 1480 写成 2k k z 的形式 其中0 2 在 0 4 中找出与角终边相同的角 解题探究 1 题 1 中角度和弧度换算的依据是什么 2 解题 2 的关键是什么 解题 2 的关键是什么 探究提示 1 角度与弧度换算的关键是1 2 解题 2 时关键是将角度换算为弧度 解题 2 时关键是将弧度换算为角度 自主解答 1 20 答案 15 答案 答案 105 答案 396 2 因为 1480 所以其中 因为所以终边与角相同的角为 72 k 360 k z 当k 0时 72 当k 1时 432 所以在 0 4 中与角终边相同的角为 方法技巧 角度制与弧度制的互化的原则 方法以及注意点 1 原则 牢记180 rad 充分利用1 和1rad 进行换算 2 方法 设一个角的弧度数为 角度数为n 则 rad 3 注意点 以 弧度 为单位度量角时 弧度 二字或 rad 可以省略不写 以 弧度 为单位度量角时 常常把弧度数写成多少 的形式 如无特别要求 不必把 写成小数 度化弧度时 应先将分 秒化成度 再化成弧度 变式训练 将下列各角化成2k 0 2 k z 的形式 并指出它们是第几象限角 1 1725 2 870 解析 1 因为 1725 5 360 75 所以所以 1725 与的终边相同 故 1725 是第一象限角 2 870 角870 与终边相同 故870 是第二象限角 补偿训练 设集合n 则m n 解析 分别取k 1 0 1 2 得所以m n 答案 类型二弧长公式及扇形面积公式的应用 典例2 1 2014 福州高一检测 已知扇形的圆心角为120 半径为cm 则此扇形的面积为 2 已知扇形的周长为10cm 面积为4cm2 求扇形圆心角的弧度数 解题探究 1 题 1 中据已知条件 可利用扇形的哪个面积公式求面积 2 题 2 中需选用扇形的哪个面积公式 探究提示 1 由于已知扇形的圆心角和半径 可利用 扇形面积公式s 2 已知周长与面积 故可选用公式 自主解答 1 设扇形弧长为l 因为120 所以所以答案 cm2 2 设扇形圆心角的弧度数为 02 rad舍去 当r 4时 l 2 cm 此时 延伸探究 在本题 2 中 若扇形的周长10cm改为40cm 又如何求它的半径和圆心角取什么值时 才能使扇形的面积最大 最大面积是多少 解析 设扇形的圆心角为 半径为r 弧长为l 面积为s 则l 2r 40 所以l 40 2r 所以所以当半径r 10cm时 扇形的面积最大 这个最大值为100cm2 这时 方法技巧 弧度制下有关弧长 扇形面积问题的解题策略 1 明确弧度制下弧长公式l r 扇形的面积公式是s 其中l是扇形的弧长 是扇形的圆心角 2 涉及扇形的周长 弧长 圆心角 面积等的计算 关键是先分析题目已知哪些量求哪些量 然后灵活运用弧长公式 扇形面积公式直接求解或列方程 组 求解 变式训练 已知扇形aob的圆心角为半径长为6 求 1 弧ab的长 2 扇形所含弓形的面积 解题指南 1 将角度化为弧度 再根据公式求解弧长 2 利用扇形面积减去三角形面积 解析 1 l r 所以弧ab的长为4 2 s扇形oab 如图所示 过点o作od ab 交ab于d点 所以 aod 60 于是有s oab 所以弓形的面积为s扇形oab s oab 所以弓形的面积是 补偿训练 已知一扇形的圆心角为半径为r 则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为 解题指南 先求出圆的半径r与扇形半径r的比为1 3 再求它们的面积的比 解析 据题意 设内切圆的半径为r 则故3r r 即故内切圆面积为s内切 r2 扇形面积s扇 故故面积之比为2 3 答案 2 3 易错误区 运算时角度制和弧度制混用而致错 典例 2014 西安高一检测 将 1485 化成2k 0 2 k z 的形式为 解析 因为 1485 4 360 45 4 360 360 315 5 360 315 又 5 360 10