高考数学大一轮复习 第十篇 计数原理 概率 随机变量及其分布 第7节 二项分布与正态分布课件 理.ppt

第7节二项分布与正态分布 最新考纲 考点专项突破 知识链条完善 解题规范夯实 知识链条完善把散落的知识连起来 教材导读 1 条件概率和一般概率的关系是什么 提示 一般概率的性质对条件概率都适用 是特殊与一般的关系 2 事件a b相互独立的意义是什么 提示 事件a发生的概率对事件b发生的概率没有影响 4 正态分布中最为重要的是什么 提示 概念以及正态分布密度曲线的对称性 知识梳理 1 条件概率 1 条件概率的概念 一般地 设a b为两个事件 且p a 0 称p b a 为在事件a发生的条件下 事件b发生的条件概率 p b a 读作a发生的条件下b发生的概率 2 条件概率的性质 性质1 任何事件的条件概率都在0和1之间 即0 p a b 1 必然事件的条件概率等于1 不可能事件的条件概率等于0 性质2 如果b c是两个互斥事件 则p b c a p b a p c a 2 事件的独立性设a b为两个事件 如果p ab 则称事件a与事件b相互独立 p a p b 3 独立重复试验与二项分布 1 独立重复试验 一般地 在相同条件下做的n次试验称为n次独立重复试验 重复 2 二项分布 一般地 在n次独立重复试验中 设事件a发生的次数为x 在每次试验中事件a发生的概率为p 那么在n次独立重复试验中 事件a恰好发生k次的概率为p x k k 0 1 2 n 此时称随机变量x服从二项分布 记作x b n p 并称p为成功概率 其均值e x np 方差d x np 1 p 2 正态密度曲线的性质 曲线位于x轴上方 与x轴不相交 曲线是单峰的 它关于直线x 对称 曲线在x 处达到峰值 曲线与x轴之间的面积为1 当 固定时 曲线的位置由 确定 曲线随着 的变化而沿x轴平移 当 固定时 曲线的形状由 确定 越小 曲线越 瘦高 越大 曲线越 矮胖 这反映了总体分布的集中与分散的程度 3 正态分布 若x是一个随机变量 对任给区间 a b p a x b 恰好是正态密度曲线下方和x轴上 a b 上方所围成的图形的面积 我们就称随机变量x服从参数为 和 的正态分布 简记为x n 2 拓展提升 1 p a a p b b p c c 则事件a b c至少有一个发生的概率为1 1 a 1 b 1 c 2 x n 2 若p xb 则正态密度曲线关于直线x 对称 对点自测 1 在5道题中有3道理科题和2道文科题 不放回地依次抽取2道题 则在第一次抽到理科题的条件下 第二次抽到理科题的概率是 c 解析 第一次抽到理科题后 由于是不放回的抽取 还有4道试题 其中2道理科题 2道文科题 抽取一道题 为理科题的概率为 b 2 在一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2张 在第一次抽到a的条件下第二次也抽到a的概率是 3 某射手每次击中目标的概率均是0 9 每次射击的结果相互独立 在四次射击中 第一次未击中目标 后三次都击中目标的概率是 答案 0 0729 4 甲 乙两选手比赛 每局甲取胜的概率为0 6 乙取胜的概率为0 4 若采取三局二胜制 则甲获胜的概率是 解析 在3局2胜制中 x b 3 0 6 事件 x 2 表示 甲获胜 所以甲获胜的概率为p x 2 p x 2 p x 3 0 62 0 4 0 63 0 648 答案 0 648 5 若x n 5 1 则p 6 x 7 答案 0 1359 考点专项突破在讲练中理解知识 条件概率 考点一 例1 导学号18702600某射击手射击一次击中目标的概率是0 7 连续两次均击中目标的概率是0 4 已知某次射中 则随后一次射中的概率是 反思归纳 1 一般情况下条件概率的计算只能按照条件概率的定义套用公式进行 在计算时要注意搞清楚事件的含义 特别注意在事件a包含事件b时 ab b 2 对于古典概型的条件概率 计算方法有两种 可采用缩减基本事件全体的办法计算p b a 直接利用定义计算p b a 即时训练 1 2016 全国大联考 已知3件次品和2件正品混在一起 现需要通过检测将其区分 每次随机检测一件产品 检测后不放回 则在第一次取出次品的条件下 第二次取出的也是次品的概率是 答案 1 c 2 某种家用电器能使用三年的概率为0 8 能使用四年的概率为0 4 已知这种家用电器已经使用了三年 则它能够使用到四年的概率是 答案 2 0 5 独立事件的概率 考点二 例2 导学号18702601红队队员甲 乙 丙与蓝队队员a b c进行围棋比赛 甲对a 乙对b 丙对c各一盘 已知甲胜a 乙胜b 丙胜c的概率分别为0 6 0 5 0 5 假设各盘比赛结果相互独立 1 求红队至少两名队员获胜的概率 2 用 表示红队队员获胜的总盘数 求 的分布列 1 分别求乙 丙两人各自做对这道题的概率 2 求甲 乙 丙三人恰有一人做对这道题的概率 二项分布 考点三 例3 导学号18702602某地举行高中生象棋比赛 规则如下 两名选手比赛时 每局胜者得1分 负者得0分 比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束 假设选手甲与选手乙比赛时 甲每局获胜的概率皆为 且各局比赛胜负互不影响 1 求比赛进行4局结束 且乙比甲多得2分的概率 2 设 表示比赛停止时已比赛的局数 求随机变量 的分布列和数学期望 反思归纳如果某个随机事件每次发生的概率相同 该事件重复发生 每次发生的概率之间没有影响 该类问题就是独立重复试验概型 是一类重要的概率模型 如果事件a每次发生的概率为p 则在n次独立重复试验中事件a发生k次的概率p x k pk 1 p n k k 0 1 2 n 实际问题中可能是两个独立重复试验同时发生 此时结合独立事件同时发生的概率乘法公式求解 也可能是一个事件中部分是独立重复试验 部分不是独立重复试验 在独立重复试验部分使用独立重复试验概型的计算方法 即时训练 2016 广东惠州一调 4月23日是世界读书日 惠州市某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动 为了解本校学生课外阅读情况 学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查 下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间 单位 分钟 的频率分布直方图 且将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为 读书迷 低于60分钟的学生称为 非读书迷 1 根据已知条件完成下面2 2列联表 并据此判断是否有99 的把握认为 读书迷 与性别有关 2 将频率视为概率 现在从该校大量学生中用随机抽样的方法每次抽取1人 共抽取3次 记被抽取的3人中 读书迷 的人数为x 若每次抽取的结果是相互独立的 求x的分布列 数学期望e x 和方差d x 正态分布 考点四 例4 导学号18702603有关部门从某企业的led产品中抽取1000件 测量这些产品的一项质量指标值 由测量结果得如下频率分布直方图 1 求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2 同一组数据用该区间的中点值作代表 2 由频率分布直方图可以认为 这种产品的质量指标值z服从正态分布n 2 其中 近似为样本平均数 2近似为样本方差s2 利用该正态分布 求p 175 6 z 224 4 某用户从该企业购买了100件这种产品 记x为这100件产品中质量指标值位于区间 175 6 224 4 的产品件数 利用 的结果 求e x 附 12 2 若z n 2 则p z 0 6826 p 2 z 2 0 9544 解 2 由 1 知 z n 200 150 从而p 175 6 z 224 4 p 200 2 12 2 z 200 2 12 2 0 9544 由 知 一件产品的质量指标值位于区间 175 6 224 4 的概率为0 9544 依题意知x b 100 0 9544 所以e x 100 0 9544 95 44 反思归纳 1 正态分布的核心在正态密度曲线的对称性 利用对称性 可以由已知区间上的概率求未知区间上的概率 2 正态分布在三个标准差范围的概率都有固定值 如果需要试题会给出 3 如果某个总体服从正态分布 则某个个体在指定区间内的概率就是一个固定值 若干个个体在该区间上出现的情况就是独立重复试验 即时训练 1 2016 广东揭阳5月模拟 某小区有1000户 各户每月的用电量近似服从正态分布n 300 100 则用电量在320度以上的户数估计约为 参考数据 若随机变量 服从正态分布n 2 则p 68 26 p 2 2 95 44 p 3 3 99 74 a 17 b 23 c 34 d 46 解析 1 用电量在320度以上的概率为 0 0228 所以用电量在320度以上的估计值为1000 0 0228 23 故选b 2 2016 福建厦门一检 甲 乙两厂生产的一批零件尺寸服从n 5 0 12 如果零件尺寸在 3 3 以外 我们就有理由认为生产中可能出现了异常情况 现从甲 乙两厂各抽取10件零件检测 尺寸如茎叶图所示 解析 2 由甲 乙两厂生产的一批零件尺寸服从n 5 0 12 得 5 0 1 区间 3 3 即区间 4 7 5 3 根据茎叶图可知 甲厂生产的零件有1件尺寸超出上述区间 乙厂生产的零件尺寸均在上述区间 所以甲厂生产出现异常 乙厂生产正常 故选d 则以下判断正确的是 a 甲 乙两厂生产都出现异常 b 甲 乙两厂生产都正常 c 甲厂生产正常 乙厂出现异常 d 甲厂生产出现异常 乙厂正常 备选例题 例1 2014 辽宁卷 一家面包房根据以往某种面包的销售记录 绘制了日销售量的频率分布直方图 如图所示 将日销售量落入各组的频率视为概率 并假设每天的销售量相互独立 1 求在未来连续3天里 有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率 解 1 设a1表示事件 日销售量不低于100个 a2表示事件 日销售量低于50个 b表示事件 在未来连续3天里 有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个 因此p a1 0 006 0 004 0 002 50 0 6 p a2 0 003 50 0 15 p b 0 6 0 6 0 15 2 0 108 2 用x表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数 求随机变量x的分布列 期望e x 及方差d x 1 求甲 乙两人所付租车费用相同的概率 2 设甲一周内有四天 每天租车一次 均租车上班 x表示一周内租车费用不超过2元的次数 求x的分布列与数学期望 解题规范夯实把典型问题的解决程序化 解概率统计应用题的基本步骤 典例 12分 2016 全国 卷 某险种的基本保费为a 单位 元 继续购买该险种的投保人称为续保人 续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下 审题突破 1 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率 2 若一续保人本年度的保费高于基本保费 求其保费比基本保费高出60 的概率 3 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值 满分展示 解 1 设a表示事件 一续保人本年度的保费高于基本保费 则事件a发生当且仅当一年内出险次数大于1 故p a 0 2 0 2 0 1 0 05 0 55 4分 3 记续保人本年