高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件4 新人教A版选修11.ppt

第二章圆锥曲线与方程2 1椭圆2 1 1椭圆及其标准方程 自主预习 1 椭圆的定义 1 定义 平面内与两个定点f1 f2的距离之和等于 大于 f1f2 的点的轨迹 2 焦点 两个定点f1 f2 常数 3 焦距 两焦点间的距离 f1f2 4 几何表示 mf1 mf2 常数 且2a f1f2 2a 2 椭圆的标准方程 c 0 c 0 0 c 0 c a2 b2 c2 即时小测 1 椭圆 1的左 右焦点分别为f1 f2 点p在椭圆上 若 pf1 4 则 pf2 解析 由椭圆的定义知 pf1 pf2 6 所以 pf2 6 pf1 6 4 2 答案 2 2 椭圆25x2 16y2 400的焦点坐标为 焦距为 解析 把方程化为标准形式为 1 可知焦点在y轴上 则a2 25 b2 16 所以c2 25 16 9 则c 3 所以焦点为 0 3 焦距为2c 6 答案 0 3 6 知识探究 探究点1椭圆的定义1 平面内动点m到两定点f1 f2的距离之和等于常数 2a 且2a f1f2 若2a f1f2 则m的轨迹是什么 若2a f1f2 则m的轨迹是什么 提示 当2a f1f2 时 点m的轨迹是线段f1f2 当2a f1f2 时 点m的轨迹不存在 2 确定椭圆的标准方程需要知道哪些量 提示 a b的值及焦点所在的位置 归纳总结 对椭圆定义的三点说明 1 椭圆是在平面内定义的 所以 平面内 这一条件不能忽视 2 定义中到两定点的距离之和是常数 而不能是变量 3 常数 2a 必须大于两定点间的距离 否则轨迹不是椭圆 这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件 探究点2椭圆的标准方程1 在椭圆的标准方程中a b c一定成立吗 提示 不一定 只要a b a c即可 b c大小关系不定 2 根据椭圆方程 如何确定焦点位置 提示 把方程化为标准形式 x2 y2的分母哪个大 焦点就在相应的轴上 归纳总结 对椭圆标准方程的两点认识 1 标准方程的几何特征 椭圆的中心在坐标原点 焦点在x轴或y轴上 2 标准方程的代数特征 方程右边为1 左边是关于与的平方和 并且分母为不相等的正值 特别提醒 焦点所在坐标轴不同 其标准方程的形式也不同 类型一求椭圆的标准方程 典例 1 2016 武汉高二检测 过点 3 2 且与 1有相同焦点的椭圆的方程是 2 根据下列条件 求椭圆的标准方程 1 两个焦点坐标分别是 0 5 0 5 椭圆上一点p到两焦点的距离和为26 2 经过点两焦点间的距离为2 焦点在x轴上 解题探究 1 典例1中已知椭圆的焦点在哪个轴上 提示 椭圆的焦点在x轴上 因为已知方程中x2项的分母较大 2 典例2 1 中焦点在y轴上的椭圆标准方程是怎样的 典例2 2 中焦点在x轴上的椭圆标准方程是怎样的 提示 1 1 a b 0 2 1 a b 0 解析 1 选a 由方程 1可知 其焦点的坐标为 0 即c 设所求椭圆方程为 1 a b 0 因为过点 3 2 代入方程得 1 a b 0 解得a2 15 a2 3舍去 故方程为 1 2 1 因为椭圆的焦点在y轴上 所以设它的标准方程为 1 a b 0 因为2a 26 所以a 13 又c 5 所以b2 a2 c2 144 所以所求椭圆方程为 1 2 设椭圆的标准方程为 1 a b 0 因为焦点在x轴上 2c 2 所以a2 b2 1 又椭圆经过点所以 1 解得b2 3 所以a2 4 所以椭圆的标准方程为 1 延伸探究 将典例2 1 改为两个焦点坐标分别是 5 0 5 0 其他条件不变 求椭圆的标准方程 解析 因为椭圆的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 1 a b 0 因为2a 26 所以a 13 又c 5 所以b2 a2 c2 144 所以所求椭圆方程为 1 方法技巧 求椭圆标准方程的方法利用待定系数法求椭圆的标准方程 1 先确定焦点位置 2 设出方程 3 寻求a b c的等量关系 4 求a b的值 代入所设方程 特别提醒 若椭圆的焦点位置不确定 需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论 也可设椭圆方程为mx2 ny2 1 m n m 0 n 0 变式训练 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 焦点在x轴上 且a 4 c 2 2 经过点a 0 2 和 解析 1 a2 16 c2 4 所以b2 16 4 12 且焦点在x轴上 故椭圆的标准方程为 1 2 设所求椭圆的标准方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 因为椭圆经过a 0 2 和两点 所以解得所以所求椭圆方程为x2 1 类型二椭圆的定义及应用 典例 2016 潍坊高二检测 设p是椭圆 1上一点 f1 f2是椭圆的焦点 若 f1pf2 60 求 f1pf2的面积 解题探究 1 你能写出 pf1 pf2 与 f1f2 的大小吗 提示 1 根据椭圆的定义即可写出 2 在 f1pf2中 怎样得到 f1f2 pf1 pf2 之间的关系式 提示 在 f1pf2中 利用余弦定理可以得到 f1f2 pf1 pf2 之间的关系式 解析 由椭圆方程知 a2 25 b2 所以c2 所以c 2c 5 在 pf1f2中 f1f2 2 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 cos60 即25 pf1 2 pf2 2 pf1 pf2 由椭圆的定义得10 pf1 pf2 即100 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 得3 pf1 pf2 75 所以 pf1 pf2 25 所以 pf1 pf2 sin60 延伸探究 1 将典例中的 f1pf2 60 改为 f1pf2 30 其余条件不变 求 f1pf2的面积 解析 由椭圆方程知 a2 25 b2 所以c2 所以c 2c 5 在 pf1f2中 f1f2 2 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 cos30 即25 pf1 2 pf2 2 pf1 pf2 由椭圆的定义得10 pf1 pf2 即100 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 得 2 pf1 pf2 75 所以 pf1 pf2 75 2 所以 pf1 pf2 sin30 2 2 将典例中椭圆的方程改为 1 其余条件不变 求 f1pf2的面积 解析 pf1 pf2 2a 20 又 f1f2 2c 12 由余弦定理知 2c 2 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 cos60 即144 pf1 pf2 2 3 pf1 pf2 所以 pf1 pf2 所以 pf1 pf2 sin60 方法技巧 椭圆定义的应用技巧 1 椭圆的定义具有双向作用 即若 mf1 mf2 2a 2a f1f2 则点m的轨迹是椭圆 反之 椭圆上任意一点m到两焦点的距离之和必为2a 2 涉及曲线上的点到焦点的距离问题时 应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解 拓展延伸 椭圆中的焦点三角形椭圆上一点p与椭圆的两个焦点f1 f2构成的 pf1f2 称为焦点三角形 解关于椭圆的焦点三角形的问题 通常要利用椭圆的定义 结合正弦定理 余弦定理等知识求解 补偿训练 如图所示 已知椭圆的方程为 1 若点p是椭圆上第二象限内的点 且 pf1f2 120 求 pf1f2的面积 解题指南 由椭圆定义和余弦定理可求得三角形边长 解析 由已知a 2 b 所以c 1 f1f2 2c 2 在 pf1f2中 由余弦定理 得 pf2 2 pf1 2 f1f2 2 2 pf1 f1f2 cos120 即 pf2 2 pf1 2 4 2 pf1 由椭圆定义 得 pf1 pf2 4 即 pf2 4 pf1 将 代入 解得 pf1 所以即 pf1f2的面积是 类型三与椭圆有关的轨迹问题 典例 1 2016 合肥高二检测 已知点m在椭圆 1上 mp 垂直于椭圆焦点所在的直线 垂足为p 并且m为线段pp 的中点 则p点的轨迹方程为 2 一动圆与已知圆o1 x 3 2 y2 1外切 与圆o2 x 3 2 y2 81内切 试求动圆圆心的轨迹方程 解题探究 1 典例1中动点p与哪个动点有关 本题可采用什么方法求动点p的轨迹方程 提示 动点p与点m有关 因为点m在已知椭圆上运动 所以本题可采用代入法求动点p的轨迹方程 2 典例2中两圆内切时能得到什么条件 提示 两圆内切时 两圆的圆心距等于两圆的半径之差 解析 1 设点p的坐标为 x y m点的坐标为 x0 y0 因为点m在椭圆 1上 所以 1 因为m是线段pp 的中点 所以把代入 1 得 1 即x2 y2 36 所以点p的轨迹方程为x2 y2 36 答案 x2 y2 36 2 两定圆的圆心和半径分别为o1 3 0 r1 1 o2 3 0 r2 9 设动圆圆心为m x y 半径为r 则由题设条件可得 mo1 1 r mo2 9 r 所以 mo1 mo2 10 而 o1o2 6 10 故由椭圆的定义知 m在以o1 o2为焦点的椭圆上 且a 5 c 3 所以b2 a2 c2 25 9 16 故动圆圆心的轨迹方程为 1 方法技巧 解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法 1 定义法 用定义法求椭圆方程的思路是 先观察 分析已知条件 看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义 若符合椭圆的定义 则用待定系数法求解即可 2 相关点法 代入法 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的 只要把所求动点的坐标 转移 到另一个动点在运动中所遵循的条件中去 即可解决问题 这种方法称为相关点法 易错警示 求轨迹方程时注意求得的方程中的自变量的取值范围 变式训练 已知圆a x 3 2 y2 100 圆a内一定点b 3 0 圆p过点b且与圆a内切 如图 求圆心p的轨迹方程 解析 设 pb r 因为圆p与圆a内切 圆a的半径为10 所以两圆的圆心距 pa 10 r 即 pa pb 10 而 ab 6 所以 pa pb ab 所以圆心p的轨迹是以a b为焦点的椭圆 所以2a 10 2c ab 6 所以a 5 c 3 所以b2 a2 c2 25 9 16 所以圆心p的轨迹方程为 1 补偿训练 已知两定点f1 1 0 f2 1 0 且 f1f2 是 pf1 与 pf2 的等差中项 求动点p的轨迹方程 解析 因为 f1f2 是 pf1 和 pf