高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用课件4 新人教A版必修4.ppt

1 6三角函数模型的简单应用 知识提炼 三角函数的应用 1 根据实际问题的图象求出函数解析式 2 三角函数作为描述现实世界中 的一种数学模型 因此可将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型 3 利用搜集的数据 作出 通过观察散点图进行 而得到函数模型 最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题 周期现象 散点图 函数拟合 即时小测 1 思考下列问题 1 能用三角函数模型解决的实际问题中通常具有什么现象 提示 具有周期现象 如钟摆 潮汐等 2 从实际问题中抽象建立起的函数模型 其自变量的取值范围有什么特点 提示 自变量的取值范围通常受到实际情境的影响 2 做简谐运动的物体 其位移随时间的变化规律为y 2sin 50 t cm 则它的周期为 s 解析 t 0 04 答案 0 04 3 如图为某简谐运动的图象 则这个简谐运动需要 s往复一次 解析 由图象知周期t 0 8 0 0 8 则这个简谐运动需要0 8s往复一次 答案 0 8 4 某人的血压满足函数式f t 24sin160 t 110 其中f t 为血压 t为时间 单位 分钟 则此人每分钟心跳的次数为 解析 因为 所以答案 80 5 如图 是一弹簧振子作简谐振动的图象 横轴表示振动的时间 纵轴表示振子的位移 则这个振子振动的函数解析式是 解析 设y asin t 0 则a 2 t 2 0 5 0 1 0 8 所以所以y 2sin t 因为2 2sin 0 1 所以sin 1 所以 所以答案 知识探究 知识点三角函数模型的简单应用观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 三角函数应用题有几种模式 问题2 解三角函数模型应用问题的步骤是什么 总结提升 1 三角函数应用题的三种模式 1 给定呈周期变化规律的三角函数模型 根据所给模型 结合三角函数的性质 解决一些实际问题 2 给定呈周期变化的图象 利用待定系数法求出函数模型 再解决其他问题 3 整理一个实际问题的调查数据 根据数据作出散点图 通过拟合函数图象 求出可以近似表示变化规律的函数模型 进一步用函数模型来解决问题 2 三角函数模型应用的步骤 1 建模问题步骤 审读题意 建立三角函数式 根据题意求出某点的三角函数值 解决实际问题 2 建立数学模型的关键 先根据题意设出代表函数 再利用数据求出待定系数 然后写出具体的三角函数式 3 三角函数模型应用注意点 1 一般地 所求出的函数模型只能近似地刻画实际情况 因此应特别注意自变量的取值范围 2 应用数学知识解决实际问题时 应注意从背景中提取基本的数学关系 并利用相关知识来理解 题型探究 类型一三角函数图象与解析式的对应问题 典例 1 2015 青岛高一检测 函数y f x 4cosx e x e为自然对数的底数 的图象可能是 2 已知函数y sinax b a 0 的图象如图所示 则函数y loga x b 的图象可能是 解题探究 1 典例1中的函数有什么明显的性质 提示 函数定义域是r 且是偶函数 2 典例2中a 1还是0 a 1 b的取值范围是什么 提示 由周期大于2 知0 a 1 由x 0 y b知b 0 1 解析 1 选a 因为f x 4cos x e x 4cosx e x f x 所以函数y 4cosx e x 为偶函数 图象关于y轴对称 排除b d 又因为f 0 4cos0 e 0 4 1 3 所以只有a适合 2 选c 由图象知 此函数的周期t 2 又a 0所以0 a 1 当x 0时y b 由图象知0 b 1 又因为y logax的图象向左平移b个单位得y loga x b 的图象 所以选c 方法技巧 解决函数图象与解析式对应问题的策略 1 一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决 如函数的奇偶性 周期性 对称性 单调性 值域 此外零点也可以作为判断的依据 2 利用图象确定函数y asin x 的解析式 实质就是确定其中的参数a 其中a由最值确定 由周期确定 而周期由特殊点求得 由点在图象上求得 确定 时 注意它的不唯一性 一般要求 中最小的 变式训练 函数f x x 的图象为 解析 选a 函数f x x 的定义域为 x r x 0 排除d 故f x 是奇函数 排除b 因为故排除c 类型二三角函数在物理学中的应用 典例 1 一根长lcm的线 一端固定 另一端悬挂一个小球 小球摆动时离开平衡位置的位移s cm 与时间t s 的函数关系式是s 3cos 其中g是重力加速度 当小球摆动的周期是1s时 线长l等于 2 交流电的电压e 单位 v 与时间t 单位 s 的关系可用来表示 求 1 开始时电压 2 电压值重复出现一次的时间间隔 3 电压的最大值和第一次获得最大值的时间 解题探究 1 典例1中 周期如何计算出来的 提示 周期2 典例2中 第 1 2 3 问分别转化为什么函数问题 提示 1 t 0时的函数值 2 求函数的周期 3 解三角函数方程问题 解析 1 所以 2 所以l 答案 2 1 当t 0时 e 110 v 即开始时的电压为110v 2 t 0 02 s 即时间间隔为0 02s 3 电压的最大值为220v 当100 t 即t s时第一次取得最大值 方法技巧 处理物理学问题的策略 1 常涉及的物理学问题有单摆 光波 电流 机械波等 其共同的特点是具有周期性 2 明确物理概念的意义 此类问题往往涉及诸如频率 振幅等概念 因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题 变式训练 已知如图表示电流强度i与时间t的关系i asin t a 0 0 的图象 1 试根据图象写出i asin t 的解析式 2 为了使i asin t a 0 0 中t在任意一段秒的时间内电流强度i能同时取得最大值a与最小值 a 那么正整数 的最小值是多少 解析 1 由图知 所以因为 0 是该函数图象的第一个点 五点作图法 所以所以所以i 300sin 100 t t 0 2 问题等价于t 即所以 200 所以最小的正整数 为629 补偿训练 单摆从某点开始来回摆动 离开平衡位置的距离s cm 和时间t s 的关系式为s 6sin 2 t 1 作出它的图象 2 单摆开始摆动 t 0 时 离开平衡位置多少厘米 3 单摆摆到最右边时 离开平衡位置多少厘米 4 单摆来回摆动一次需多长时间 解析 1 列表如下 描点作图 2 t 0时 s 3cm 此时离开平衡位置3厘米 3 离开平衡位置6厘米 4 因为t 1 所以来回摆动一次所需的时间为1秒 类型三三角函数在实际生活中的应用 典例 2015 宜昌高一检测 在某个以旅游业为主的地区 每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化 现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数 f n 100 acos n 2 k 来刻画 其中 正整数n表示月份且n 1 12 例如n 1时表示1月份 a和k是正整数 0 cos 2 1 cos 2 1 统计发现 该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律 每年相同的月份 该地区从事旅游服务工作的人数基本相同 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人 2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人 随后逐月递增到8月份达到最多 1 试根据已知信息 确定一个符合条件的f n 的表达式 2 一般地 当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时 该地区也进入了一年中的旅游 旺季 那么 一年中的哪几个月是该地区的旅游 旺季 请说明理由 解题探究 本例中参数a k的计算顺序是什么 第 2 问可转化为什么数学模型 提示 先求a 再求k 第 2 问解不等式f n 400 解析 1 根据三条规律 可知该函数为周期函数 且周期为 8 2 2 12 由此可得 由规律 可知 f n max f 8 100a 100k f n min f 2 100a 100k f 8 f 2 200a 400 a 2 又当n 2时f 2 200 cos 2 2 100k 100 所以k 3 综上可得 f n 200cos n 2 300 符合条件 2 由条件200cos n 2 300 400 可得cos n 2 2k n 2 2k k z 2k 2 n 2k 2 k z 12k 2 n 12k 2 k z 因为n 1 12 n n 所以当k 1时 6 18 n 10 18 故n 7 8 9 10 即一年中的7 8 9 10四个月是该地区的旅游 旺季 延伸探究 本例中若sin2 0 9 其他条件不变 试估算9月份旅游服务人数 解析 f 9 200cos 2 300 200cos 2 300 200sin2 300 200 0 9 300 480 人 因此9月份的旅游人数估计为480人 方法技巧 解三角函数应用问题的基本步骤 变式训练 如图 游乐场中的摩天轮匀速转动 每转一圈需要12分钟 其中心o距离地面40 5米 半径为40米 如果你从最低处登上摩天轮 那么你与地面的距离将随时间的变化而变化 以你登上摩天轮 摩天轮开始转动的时刻开始计时 请解答下列问题 1 求出你与地面的距离y 米 与时间t 分钟 的函数解析式 2 当你第4次距离地面60 5米时 用了多长时间 解析 1 可以用余弦函数来表示该函数的解析式 由已知可设y 40 5 40cos t t 0 由周期为12分钟可知当t 6时摩天轮第1次到达最高点 即此函数第1次取得最大值 所以6 即 所以y 40 5 40cost t 0 2 设转第1圈时 第t0分钟时距地面60 5米 由60 5 40 5 40cost0 得cost0 所以t0 或t0 解得t0 4或t0 8 所以t 8 分钟 时 第2次距地面60 5米 故第4次距离地面60 5米时 用了12 8 20 分钟 延伸探究 1 改变问法 本题条件不变 试计算在每圈的转动过程 你距离地面高度不低于 40 5 20 米的时间有多少 解析 设转第1圈时 第t1分钟距离地面 40 5 20 米 由40 5 20 40 5 40cost1 得cost1 所以t1 或t1 解得t1 或t1 所以每圈转动过程中 距离地面不低于 40 5 20 米的时间为 3 分钟 2 改变问法 如图 若在摩天轮左侧有一摩天大楼 中心o到此大楼距离为100 5米 其他条件不变 试求你离大楼的距离y 米 与时间t分钟的函数关系 解析 设y 100 5 40sin t t 0 由周期为12分钟可知当t 3时第一次到达离大楼最近处 即此时函数第1次取得最小值 所以3 所以y 100 5 40sint t 0 拓展类型根据数据拟合函数 备选典例 1 如表所示是芝加哥1951年到1981年的月平均气温 华氏 以月份减1为x 平均气温为y 以下四个函数模型中哪一个最适合这些数据 2 已知某海滨浴场的海浪高度y 米 是时间t 时 的函数 其中0 t 24 记y f t 下表是某日各时的浪高数据 经长期观测 y f t 的图象可近似地看成是函数y acos t b的图象 1 根据以上数据 求其最小正周期 振幅及函数解析式 2 根据规定 当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放 请依据 1 的结论 判断一天内的8 00到20 00之间 有多少时间可供冲浪者进行活动 解析 1 选c 最高气温73 0 最低气温21 4 故2a 73 0 21 4 51 6 a 25 8 因为x 月份 1 所以x 1时 y 26 0分别代入a b d均差距明显 代入c差距较小 所以选c 2 1 由表中数据可知 最小正周期t 12 所以 又t 0时y 1 5 所以a b 1 5 t 3时y 1 0得b 1 0 所以振幅为 y cost 1 2 y 1时 才对冲浪爱好者开放 所以y cost 1 1 cost 0 即2k t 2k k z 得12k 3 t 12k 3 k z 又0 t 24 所以0 t 3或9 t 15或21 t 24 所以在规定时间内只有6个小时可以进行活动 即9 t 15 方法技巧 数据拟合的通法 1 处理的关键 数据拟合是一项重要的数据处理能力 解决该类问题的关键在于如何把实际问题三角函数模型化 而散点图在这里起了关键作用 2 一般方法 数据对 作散点图 确定拟合函数 解决实际问题 规范解答利用三角函数模型解实际问题 典例 12分 2015 成都高一检测 某大型企业一天中不同时刻的用电量y 单位 万千瓦时 关于时间t 0 t 24 单位 小时 的函数y f t 近似满足f t asin t b a 0 0 0 如图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y与时间t的大致图象 1 根据图象 求a b的值 2 若某日的供电量g t 万千瓦时 与时间t 小时 近似满足函数关系式g t 1 5t 20 0 t 12 当该日内供电量小于该企业的用电量时 企业就必须停产 请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻 精确度0 1 参考数据 审题指导 1 要求a b的值 可依据最大值 最小值计算a b 依据周期及周期计算公