【世纪金榜】高中数学 第2章 解三角形单元质量评估 北师大版必修5(1).doc

第二章 解三角形(120分钟 150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在abc中，已知a=5, b=105, c=15，求此三角形中最大的边长( )(a)5 (b) (c)4 (d)32.(2011锦州高二检测）abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，又a、b、c成等比数列，且c2a，则cosb( )(a) (b) (c) (d)3.（2011保定高二检测）在abc中，若sinc=2cosasinb，则三角形必为( )（a）等腰三角形（b）正三角形（c）直角三角形（d）等腰直角三角形4.(2011天津高考）如图，在abc中，d是边ac上的点，且ab=ad，2ab=bd，bc=2bd，则sinc的值为( )(a) (b) (c) (d) 5.在abc中，角a、b、c所对的边分别是a、b、c，若b2+c2-bca2，且，则角c的值为( )(a)45 (b)60 (c)90 (d)1206.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为85，则这个三角形的面积为( )(a)20 (b)30 (c)40 (d)507.在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，角a=60，且最大边长和最小边长是方程x2-7x+11=0的两个根，则第三边的长为( )(a)2 (b)3 (c)4 (d)58.(2011惠州高二检测)在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c.若(a2+c2-b2)tanb=ac,则角b的值为( )(a) (b)(c)或 (d)或9.有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20，现要将倾斜角改为10（坡高不变），则斜坡长为_千米( )(a)1 (b)2sin10(c)2cos10 (d)cos2010.abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.若c，b，b120，则a等于( )(a) (b)2 (c) (d)11.（2011永安高二检测）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人( )（a）不能作出这样的三角形（b）能作出一个锐角三角形（c）能作出一个直角三角形（d）能作出一个钝角三角形12.在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，如果ca，角b 30，那么角c等于( )(a)120 (b)105 (c)90 (d)75二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上）13.(2011安徽高考）已知abc的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则abc的面积为_.14.在锐角三角形abc中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_.15.在abc中，已知sin2asin2c+sin2b+sincsinb，则角a的值为_16.（2011枣庄高二检测）在abc中，已知sinasinb1，c2b2+bc，则三内角a、b、c的度数依次是_.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）在abc中，若角b30，ab2，ac2，则abc的面积是多少？18.（12分）在abc中，sina=，判断这个三角形的形状.19.（12分）某观测站c在城a的南偏西20的方向(如图)，由城出发的一条公路，走向是南偏东40，在c处测得公路上b处有一人距c为31公里，正沿公路向a城走去，走了20公里后到达d处，此时cd间的距离为21公里，问这个人还要走多少公里才能到达a城？20.（12分）(2011山东高考）在abc中，内角a、b、c的对边分别为a、b、c，已知(1)求的值；（2）若cosb=，abc的周长为5，求b的长.21.（12分）在abc中，a2=b(b+c)，求a与b满足的关系.22.（12分）（2011湖南高考）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a,b,c，且满足csina=acosc.（1）求角c的大小；（2）求sina-cos(b+)的最大值，并求取得最大值时角a，b的大小.答案解析1.【解析】选b.由a+b+c=180得a= 60 ，所以b边最长.由正弦定理得b=所以选b.2.【解析】选b.a，b，c成等比数列，b2ac.又由c2a，cosb.3.【解析】选a.c=-(a+b),sinc=sin(a+b),sin(a+b)=2cosasinb，即sinacosb+cosasinb=2cosasinb,整理得sinacosb-cosasinb=0,可得sin(a-b)=0,a=b.故选a.4.【解析】选d.由题意知abd是等腰三角形，故cosadb=，sinbdc=sinadb=.在bdc中，由正弦定理知：sinc=.5.【解析】选c.由b2+c2-bca2得b2+c2-a2bc，cosa，a60.又，sinb sina，b30，c180-a-b90.6.【解析】选c.设三角形未知两边长分别为8t和5t（t0），根据余弦定理得(8t)2+(5t)2-28t5tcos60=142整理得t2=4,解得t=2所以另两边长分别为16和10.三角形面积s= 1610sin60=40.7.【解析】选c.最大边长和最小边长是方程x2-7x+11=0的两个根，则b+c=7,bc=11,a= =4.8.【解析】选d.由=cosb结合已知等式得cosbtanbsinb=，b= 或.9.【解析】选c.如图，cbda+acb20，a=10acb10.abbc1千米由余弦定理，知ac=2cos10.10.【解析】选d.由正弦定理得，sinc.又c=b,角c为锐角，c30，a30，abc为等腰三角形，ac.故选d.11.【解析】选d.根据题意，可设三条高所在的边长为5x,8x,10x，又设边长为10x的边所对的角为，则cos=，为钝角，故要制作的三角形为钝角三角形.12.独具【解题提示】由正弦定理将条件中边的等式转化为角的等式求解.【解析】选a.c=a，sinc=sina=sin(180-30-c)=sin(30+c)(sinc+cosc)，即sinc-cosc.tanc-.又0c0,x=10,sabc=106sin120=15.答案：1514.独具【解题提示】由cosc0及三角形两边之差小于第三边，求c的范围.【解析】cosc0,0，0c,又cb-a=1，1c.答案:（1，）15.【解析】在abc中，根据正弦定理2r，得：sina，sinb，sinc，即：a2c2+b2+bc，cosa=-，且角a(0，)，a.答案: 16.独具【解题提示】sinasinb=ab=1,结合余弦定理a2b2+c2-2bccosa，消去a2再利用方程求解.【解析】由题意知ab，a2b2+c2-2bccosa，得2b2b2+c2-2bccosa，又c2b2+bc，cosa，a45，sinb，b30，c105.答案:45，30，10517.独具【解题提示】已知两边及一边的对角解三角形时，要注意分类讨论【解析】由正弦定理得，sinc=.abac，c60或120.当角c60时，sabcacabsina22sin902； 当角c120时，sabcacabsina22sin30.所以abc的面积是2或.独具【方法技巧】在解决三角形问题中，面积公式s=absinc=bcsina=acsinb最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.18.【解析】应用正弦定理、余弦定理，可得a=，所以b（a2-b2）+c（a2-c2）=bc（b+c）,所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）,所以a2=b2-bc+c2+bc,所以a2=b2+c2.所以abc是直角三角形.独具【方法技巧】三角形形状的判断（1）判断三角形的形状，主要有两条思路：一是化角为边，二是化边为角.（2）若等式两边是关于三角形的边或内角的正弦函数齐次式，则可以根据正弦定理互相转化.如asina+bsinb=csinca2+b2=c2sin2a+sin2bsin2c19.【解析】在cdb中，212202+312-22031cosb,解得cosb，sinacbsin(120-b).设adx，在abc中，由正弦定理，x15.答：这个人还要走15公里才能到达a城20.【解析】（1）由正弦定理得a=2rsina,b=2rsinb,c=2rsinc所以所以sinbcosa-2sinbcosc=2sinccosb-sinacosb即有sin(a+b)=2sin(b+c)即sinc=2sina所以=2.(2)由（1）知=2，所以有=2,即c=2a.又因为abc的周长为5，所以b=5-3a由余弦定理得：b2=c2+a2-2accosb即（5-3a）2=(2a)2+a2-4a2解得a=1或a=5(舍去）所以b=2.21.【解析】由已知a2=b(b+c)a2=b2+bc,移项得：b2-a2=-bc由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosa,移项得：2bccosa=b2-a2+c22bccosa=-bc+c2,2bcosa=-b+c由正弦定理：22rsinbcosa=-2rsinb+2rsinc2sinbcosa=-sinb+sinc=-sinb+sin(a+b)=-sinb+sinacosb+sinbcosasinb=sinacosb-sinbcosa=sin(a-b)b=a-b或b+（a-b）=（舍去）即a与b满足的关系为a=2b独具【方法技巧】由正弦定理、余弦定理进行边角转化一般的，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要多考虑用余弦定理；反之，若是遇到的式子含角的正弦或边的一次式，则大多用