高中数学 第一章 三角函数 1.1.1 任意角学案 苏教版必修4.doc

11任意角、弧度11.1任意角学习目标1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角知识链接1闹钟慢了5分钟，如何校准？闹钟快了1.5小时，又如何校准？答可将分针顺时针方向旋转30；可将时针逆时针方向旋转45.2在初中角是如何定义的？答定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角3初中所学角的范围是什么？答角的范围是0，360预习导引1角的概念(1)角的概念：角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角2.象限角以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角3终边相同的角一般地，与角终边相同的角的集合为|k360，kz.要点一任意角概念的辨析例1在下列说法中：第二象限角大于第一象限角；钝角都是第二象限角；小于90的角都是锐角其中错误说法的序号为_(错误说法的序号都写上)答案解析120是第二象限角，390是第一象限角，显然390120，所以不正确钝角的范围是(90，180)，显然是第二象限角，所以正确锐角的范围是(0，90)，小于90的角也可以是零角或负角，所以不正确规律方法判断说法错误，只需举一个反例即可解决本题关键在于正确理解各类角的定义随着角的概念的推广，对角的认识不能再停留在初中阶段，否则判断容易出错跟踪演练1设a小于90的角，b锐角，c第一象限角，d小于90而不小于0的角，那么下列正确的是_bca；bac；d(ac)；cdb.答案解析锐角、090的角、小于90的角及第一象限角的范围，如下表所示.角集合表示锐角b|090小于90而不小于0d|090小于90的角a|90第一象限角c|k360k36090，kz要点二象限角的判定例2在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角(1)150；(2)650；(3)95015.解(1)因为150360210，所以在0360范围内，与150角终边相同的角是210角，它是第三象限角(2)因为650360290，所以在0360范围内，与650角终边相同的角是290角，它是第四象限角(3)因为95015336012945，所以在0360范围内，与95015角终边相同的角是12945角，它是第二象限角规律方法本题要求在0360范围内，找出与已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础跟踪演练2给出下列四个说法：75角是第四象限角；225角是第三象限角；475角是第二象限角；315是第一象限角其中正确的为_答案解析对于：如图1所示，75角是第四象限角；对于：如图2所示，225角是第三象限角；对于：如图3所示，475角是第二象限角；对于：如图4所示，315角是第一象限角要点三终边相同的角的应用例3在与角10 030终边相同的角中，求满足下列条件的角(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)(360，720)的角解(1)与10 030终边相同的角的一般形式为k36010 030(kz)，由360k36010 0300，得10 390k36010 030，解得k28，故所求的最大负角为50.(2)由0k36010 030360，得10 030k3609 670，解得k27，故所求的最小正角为310.(3)由360k36010 030720，得9 670k3609 310，解得k26，故所求的角为670.规律方法求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值跟踪演练3写出与1 910终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720360的元素写出来解由终边相同的角的表示知，与角1 910终边相同的角的集合为|k3601 910，kz720360，即720k3601 910360(kz)，3k6(kz)故取k4,5,6.k4时，43601 910470；k5时，53601 910110；k6时，63601 910250.要点四区域角的表示例4写出终边落在阴影部分的角的集合解设终边落在阴影部分的角为，角的集合由两部分组成：|k36030k360105，kz|k360210k360285，kz角的集合应当是集合与的并集：|k36030k360105，kz|k360210k360285，kz|2k180302k180105，kz|(2k1)18030(2k1)180105，kz|2k180302k180105或(2k1)18030(2k1)180105，kz|n18030n180105，nz规律方法解答此类题目应先在0360上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简本题还要注意实线边界与虚线边界的差异跟踪演练4已知集合a|k18030k18090，kz，集合b|k36045k36045，kz求：(1)ab；(2)ab.解在直角坐标系中，分别画出集合a，b所包含的区域，结合图形可知，ab|30k36045k360，kz，ab|k36045k36090或k360210k360270，kz.1361的终边落在第_象限答案四2下列各角中与330角终边相同的角有_(填写所有正确的序号)30；390；690；1 050.答案3若角满足180360，角5与有相同的始边，且又有相同的终边，那么角_.答案270解析由于5与的始边和终边相同，所以这两角的差应是360的整数倍，即54k360.又180360，令k3，得270.4写出终边落在坐标轴上的角的集合s.解终边落在x轴上的角的集合：s1|k180，kz；终边落在y轴上的角的集合：s2|k18090，kz；终边落在坐标轴上的角的集合：ss1s2|k180，kz|k18090，kz|2k90，kz|(2k1)90，kz|n90，nz1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”2关于终边相同角的认识一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合s|k360，kz，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和注意：(1)为任意角；(2)k360与之间是“”号，k360可理解为k360()；(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍；(4)kz这一条件不能少一、基础达标1与405角终边相同的角是_答案k36045，kz2如图，终边落在直线yx上的角的集合是_答案|k9045，kz3若是第四象限角，则180是第_象限角答案三解析可以给赋一特殊值60，则180240，故180是第三象限角4在390，885，1 351，2 012这四个角中，其中第四象限角的个数为_答案2解析390360(30)，30是第四象限角，390是第四象限角；8853360195，195是第三象限角，885是第三象限角；1 3513360271，271是第四象限角，1 351是第四象限角；2 0125360212，212是第三象限角，2 012是第三象限角5已知(0，360)，的终边与60角的终边关于x轴对称，则_.答案606下列说法中，正确的是_(填序号)终边落在第一象限的角为锐角；锐角是第一象限的角；第二象限的角为钝角；小于90的角一定为锐角；角与的终边关于x轴对称答案解析终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400的角是第一象限的角，但不是锐角，故的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故的说法也是错误的；小于90的角不一定为锐角，比如负角，故的说法是错误的7在与角2 013终边相同的角中，求满足下列条件的角(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)720，720)内的角解(1)2 0136360147，与角2 013终边相同的最小正角是147.(2)2 0135360(213)，与角2 013终边相同的最大负角是213.(3)2 0136360147，与2 013终边相同也就是与147终边相同由720k360147720，kz，解得k2，1,0,1.代入k360147依次得：573，213，147，507.二、能力提升8集合m，px|x90，kz，则m、p之间的关系为_答案mp解析对集合m来说，x(2k1)45，即45的奇数倍；对集合p来说，x(k2)45，即45的倍数9集合|k18045k18090，kz中，角所表示的范围(阴影部分)正确的是_答案10角，的终边关于y轴对称，若30，则_.答案150k360，kz解析30与150的终边关于y轴对称，的终边与150角的终边相同150k360，kz.11已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合解(1)x|k360135xk360135，kz(2)x|k36030xk36060，kzx|k360210xk360240，kzx|2k18030x2k18060或(2k1)18030x(2k1)18060，kzx|n18030xn18060，nz12已知角的终边在直线xy0上(1)写出角的集合s；(2)写出s中适合不等式360720的元素解(1)如图，直线xy0过原点，倾斜角为60，在0360范围内，终边落在射线oa上的角是60，终边落在射线ob上的角是240，所以以射线oa、ob为终边的角的集合为s1|60k360，kz，s2|240k360，kz，所以，角的集合ss1s2|60k360，kz|60180k360，kz|602k180，kz|60(2k1)180，kz|60n180，nz(2)由于360720，即36060n180720，nz.解得n，nz，所以n2，1,0,1,2,3.所以s中适合不等式360720的元素为602180300；601180120；60018060；601180240；602180420；603180600.三、探究与创新13若是第一象限角，问，2，是第几象限角？解是第一象限角，k360k36090(kz)(1)k36090k360(kz)，所在区域与(90，0)范围相同，故是第四象限角(2)2k36022k360180(kz)，2所在区域与(0，180)范围相同，故2是第一、二象限角或终边在y轴的非负半轴