高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（1）课件2 新人教A版必修4.ppt

1 4 2正弦函数 余弦函数的性质 一 知识提炼 1 函数的周期函数 1 周期函数 非零 f x t f x 周期函数 非零常数 周期 2 最小正周期 正数 正数 2 正弦函数 余弦函数的周期性和奇偶性 2 2 奇函数 偶函数 即时小测 1 判断 1 当x 2k k z 时 sin x sinx 所以是函数y sinx的周期 2 因为sin sin 所以函数y sin的周期为2 3 函数y 3sin2x是奇函数 4 函数y cosx是偶函数 提示 1 错误 对任意x r都有sin x sinx 才能说是函数y sinx的周期 实际上x 时 sin x sinx 2 错误 因为sin 2 sin x 10 所以设f x sin 则有f x 10 f x 所以y sin的周期为10 3 正确 f x 3sin2x的定义域为r 且f x 3sin2 x 3sin2x f x 所以f x 3sin2x是奇函数 4 正确 g x cosx的定义域为r且g x cos x cosx g x 所以g x cosx是偶函数 答案 1 2 3 4 2 下列是定义在r上的四个函数图象的一部分 其中不是周期函数的是 解析 选d 结合周期函数的定义可知a b c均为周期函数 d不是周期函数 3 函数y 3sinx 5的最小正周期是 解析 设f x 3sinx 5 对任意x r f x 2 3sin x 2 5 3sinx 5 f x 所以y 3sinx 5的最小正周期是2 答案 2 4 若函数f x 是周期为3的周期函数 且f 1 2015 则f 2 解析 因为函数f x 是周期为3的周期函数 所以f 2 f 2 3 f 1 2015 答案 2015 5 函数f x sinxcosx是 填 奇 或 偶 函数 解析 f x sinxcosx的定义域为r且f x sin x cos x sinx cosx sinxcosx f x 所以f x sinxcosx是奇函数 答案 奇 知识探究 知识点1函数的周期性观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 所有的函数都具有周期性吗 问题2 周期函数的周期是唯一的吗 总结提升 1 对函数周期的三点说明 1 存在一个不等于零的常数t 2 对于定义域内的每一个值x 都有x t属于这个定义域 3 满足f x t f x 2 对周期函数的三点说明 1 并不是每一个函数都是周期函数 若函数具有周期性 则其周期也不一定唯一 2 如果t是函数f x 的一个周期 则nt n z且n 0 也是f x 的周期 3 在周期函数y f x 中 若x d 则x nt d n z 从而要求周期函数的定义域一定为无限集 且无上下界 3 对函数最小正周期的两点说明 1 最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数 这个正数是对x而言的 如y sin2x的最小正周期是 因为y sin 2x 2 sin 2 x 即 是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数 是对x而言的 而非2x 2 并不是所有的周期函数都有最小正周期 譬如 常数函数f x c 任意一个正实数都是它的周期 因而不存在最小正周期 知识点2正弦函数 余弦函数的周期性和奇偶性观察图形 回答下列问题 问题1 正弦函数 余弦函数的周期是多少 最小正周期是多少 问题2 正弦函数 余弦函数分别是奇函数还是偶函数 其图象具有什么对称性 总结提升 1 对正弦函数 余弦函数周期性的两点说明 1 由正弦函数的图象和周期函数的定义可得 正弦函数是周期函数 2k k z且k 0 都是它的周期 最小正周期为2 2 余弦函数也是周期函数 2k k z且k 0 都是它的周期 最小正周期为2 2 正弦函数 余弦函数的奇偶性 1 正弦函数是奇函数 余弦函数是偶函数 反映在图象上 正弦曲线关于原点o对称 余弦曲线关于y轴对称 2 正弦曲线 余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形 题型探究 类型一三角函数的周期问题 典例 1 2015 重庆高一检测 函数y 1 2cos 的周期为 a 2 b 1c 4d 22 求下列函数的周期 1 y sin 2x x r 2 y sin2x x r 解题探究 1 典例1中 计算函数的周期可依据什么公式 提示 y acos x b的周期2 典例2 2 除了用周期函数的定义公式求周期外 还可以用什么方法求周期 提示 还可以采用画函数图象的方法 解析 1 选c 函数的周期2 1 方法一 令z 2x 因为x r 所以z r 函数f x sinz的最小正周期是2 就是说变量z只要且至少要增加到z 2 函数f x sinz z r 的值才能重复取得 而z 2 2x 2 2 x 所以自变量x只要且至少要增加到x 函数值才能重复取得 从而函数f x sin 2x x r 的周期是 方法二 f x sin 2x 的周期为 2 作出y sin2x 的图象 由图象可知 y sin2x 的周期为 延伸探究 将典例2 2 中的y sin2x 改为y sin2x 试求此函数的周期 解析 作出y sin2x 的图象 由图象可知 y sin2x 的周期为 方法技巧 求三角函数周期的方法 1 定义法 即利用周期函数的定义求解 2 公式法 对形如y asin x 或y acos x a 是常数 a 0 0 的函数 3 观察法 即通过观察函数图象求其周期 三种方法各有所长 要根据函数式的结构特征 选择适当的方法求解 变式训练 1 2015 南京高一检测 函数y sin x w 0 的最小正周期为 则 的值为 解析 周期t 又 0 所以 2 答案 2 2 2015 天水高一检测 已知f n sin n z 则f 1 f 2 f 3 f 2015 解析 因为f x sinx的周期2015 8 251 7 所以原式 251 f 1 f 2 f 3 f 8 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 结合图象知f 1 f 2 f 3 f 8 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 所以原式 251 0 0 0 答案 0 补偿训练 1 下列函数是以 为周期的函数的是 a y sinxb y cos2xc y 1 sin3xd y cos3x 解析 选b 对a 对b t 对c t 对d t 2 函数f x 满足求证 f x 是周期函数 并求出它的一个周期 解析 因为f x 4 f x 2 2 所以f x 是周期函数 且4是它的一个周期 类型二三角函数的奇偶性 典例 1 关于x的函数f x sin x 有以下说法 对任意的 f x 都是非奇非偶函数 存在 使f x 是奇函数 对任意的 f x 都不是偶函数 不存在 使f x 既是奇函数 又是偶函数 其中正确说法的序号是 2 判断下列函数的奇偶性 1 f x sinx tanx 2 f x 3 f x 解题探究 1 典例1中 为何值时 sin x 可化为sinx 或 sinx 的形式 为何值时 sin x 可化为cosx 或 cosx 的形式 提示 当 k k z时 sin x 可化为sinx 或 sinx 当 k k z时 sin x 可化为cosx 或 cosx 2 典例2中 判断函数奇偶性的基本步骤是什么 提示 先求定义域 判断是否关于原点对称 若对称再判断f x 与f x 的关系 解析 1 当 时 f x sin x sinx 是奇函数 当 时 f x sin x cosx 是偶函数 所以 错误 正确 无论 为何值 f x 不可能恒为0 故不存在 使f x 既是奇函数 又是偶函数 故 正确 答案 2 1 定义域为 x x k k z 关于原点对称 因为f x sin x tan x sinx tanx f x 所以函数y sinx tanx是奇函数 2 f x sin cos x r 又f x cos cos f x 所以函数f x 是偶函数 3 由1 sinx 0解得x 2k k z 所以函数f x 的定义域为 x r x 2k k z 显然定义域不关于原点对称 故函数f x 是非奇非偶函数 方法技巧 判断函数奇偶性的思路 变式训练 1 函数y xsinx的部分图象是 解析 选c 函数y xsinx是偶函数 其图象关于y轴对称 可排除b d 当x 时 y 故选c 2 判断下列函数的奇偶性 1 f x 2 f x 解析 1 f x 的定义域为r 所以f x 7cos x 7cosx f x 所以f x 为偶函数 2 由得cosx 1 故f x 0 x 2k k z 所以函数f x 既是奇函数也是偶函数 误区警示 解答本题2 2 易在求函数的定义域时出错 忽视了由cosx 1且cosx 1可推出cosx 1 补偿训练 判断下列函数的奇偶性 1 f x sin4x cos4x cos2x sin2x 2 f x 解析 1 因为sin4x cos4x cos2x sin2x sin2x cos2x sin2x cos2x cos2x sin2x 0 所以该函数既是奇函数 又是偶函数 2 因为函数y x2 y cosx的图象都关于y轴对称 则x2 cosx的解集关于原点对称 所以函数定义域是一个关于原点对称的区间 又f x f x 所以该函数是偶函数 类型三三角函数的奇偶性与周期的综合应用 典例 2015 绵阳高一检测 已知定义在r上的奇函数f x 是以 为最小正周期的周期函数 且当x 0 时 f x sinx 则f 的值为 解题探究 本例中 f x 满足哪些关系式 提示 f x f x f x f x 解析 选c 因为f x 是以 为最小正周期的周期函数 所以又因为f x 为定义在r上的奇函数 且x 0 时 f x sinx 所以 延伸探究 1 变换条件 改变问法 将本例中周期 改为4 且在 0 2 上的解析式为f x 其他条件不变 试求 解析 因为f x 是以4为周期的奇函数 所以所以 2 变换条件 改变问法 将本例中 以 为最小正周期的周期函数 改为 满足 其他条件不变 求 解析 因为所以即f x f x 又因为f x 是奇函数 所以f x f x f x 所以f x f x f x f x 所以f x 是以 为周期的周期函数 所以 方法技巧 三角函数周期性与奇偶性的解题策略 1 探求三角函数的周期 常用方法是公式法 即将函数化为y asin x 或y acos x 的形式 再利用公式求解 2 判断函数y asin x 或y acos x 是否具备奇偶性 关键是看它能否通过诱导公式转化为y asin x a 0 或y acos x a 0 其中的一个 补偿训练 2015 大同高一检测 若f x 为奇函数 当x 0时 f x x2 sinx 求当x0 f x x 2 sin x x2 sinx 因为f x 为奇函数 所以f x f x x2 sinx 即当x 0时 f x x2 sinx 延伸探究 1 变换条件 将本题中 奇 改为 偶 其他条件不变 结果又如何 解析 当x0 f x x 2 sin x x2 sinx 因为f x 为偶函数 所以f x f x x2 sinx 即当x 0时 f x x2 sinx 2 变换条件 改变问法 本题中 奇函数 改为 周期为2的周期函数 x 0 改为 x 1 1 求x 3 5 时 f x 的解析式 解析 当x 3 5 时 x 4 1 1 所以f x 4 x 4 2 sin x 4 因为函数f x 是周期为2的周期函数 所以f x f x 4 x 4 2 sin x 4 即x 3 5 时 f x x 4 2 sin x 4 巧思妙解构造法在函数奇偶性中的应用 典例 2015 淮安高一检测 已知f x ax3 bsinx 3且f 1 2014 f 1 的值为 常规解法 因为f 1 a 13 bsin1 3 a bsin1 3 2014 所以a bsin1 2011 所以f 1 a 1 3 bsin 1 3 a bsin1 3 2011 3 2008 答案 2008 巧妙解法 设g x f x 3 ax3 bsinx因为g x a x 3 bsin x