A第7章 参数估计.ppt

第七章参数估计 点估计 矩估计 最大似然估计 估计量的评选标准区间估计正态总体均值与方差的区间估计 1点估计一 点估计的概念 定义设X1 Xn是总体X的一个样本 其分布函数为F x 其中F的形式已知 但参数 未知 为参数空间 若统计量g X1 Xn 可作为 的一个估计 则称其为 的一个估计量 记为 注 F x 也可用分布律或密度函数代替 若x1 xn是样本的一个观测值 由于g x1 xn 是实数域上的一个点 现用它来估计 故称这种估计为点估计 点估计的经典方法是矩估计法与最大似然估计法 二 矩估计法 关键点 用样本矩来估计总体同阶矩 用样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计 即 1 根据矩与未知参数之间的关系 将未知参数 表示成总体矩的函数 解方程 2 然后将其中的用相应的样本矩来代替 例1 设X1 Xk为取自总体B n p 的样本 其中n已知 0 p 1未知 求p的矩估计 例 设X1 Xn为取自总体 a b 的样本试求未知参数a b的矩估计 例 设总体X N 2 X1 Xn为样本 求未知参数 和 2的矩估计 EX 设X1 Xn为取自参数为 的指数分布总体的样本 求 的矩估计 三 最大似然估计法 1 最大似然思想有两个射手 一人的命中率为0 9 另一人的命中率为0 1 现在他们中的一个向目标射击了一发 结果命中了 估计是谁射击的 一般说 事件A发生的概率与参数 有关 取值不同 则P A 也不同 因而应记事件A发生的概率为P A 若A发生了 则认为此时的 值应是在 中使P A 达到最大的那一个 这就是最大似然思想 1 设总体X为离散型随机变量 它的分布律为 现有样本观察值x1 x2 xn 其中xk取值于 ak k 1 2 问 根据最大似然思想 如何用x1 x2 xn估计q 2 设总体X为连续型随机变量 概率密度f x q 现有样本观察值x1 x2 xn 问 根据最大似然思想 如何用x1 x2 xn估计q 2 似然函数与最大似然估计 为该总体的似然函数 对离散型总体有类似定义 只需将密度函数f x 改为分布律P x 即可 定义 若有 使得 则称为 的最大似然估计 记为 3 求最大似然估计的步骤 1 写出似然函数 2 写出对数似然函数 3 列对数似然方程 若该方程有解 则其解就是 注1 若概率函数中含有多个未知参数 则需求解方程组 例4设X1 Xn为取自总体B 1 p 的样本 0 p 1未知 求p的最大似然估计 例5设X1 Xn为取自参数为 的泊松分布总体的样本 求未知参数 的最大似然估计 例6设X1 Xn为取自参数为 的指数分布总体的样本 求未知参数 的最大似然估计 例7设X1 Xn为取自总体的样本 求参数的最大似然估计 例8设X1 Xn为取自U 0 总体的样本 0未知 求参数 的最大似然估计 注2 在某些参数估计问题中 不能通过似然方程求导法得到最大似然估计 此时需要按最大似然的思想确定最大似然估计 一 无偏性 设总体X的均值为方差为 易见 7 3估计量的评选标准 例1试证明 样本k阶矩是总体k阶矩的无偏估计 例3设是总体X的一个样本 总体X的期望为E X u 求证是总体期望u的无偏估计量 例2设试考察 的矩估计和最大似然估计的无偏性 二 有效性 例4设X1 Xn为取自总体X的样本 试证 当n 2时 比这些估计量更有效 三 相合性 也称为一致性 例5设m为已知参数 p为未知参数 0 p 1 求p的最大似然估计 讨论所求估计量的相合性 7 4区间估计 定义 设总体X的分布函数F x 含有未知参数 对于给定值 0 1 若由样本X1 Xn确定的两个统计量 则称区间为 的置信水平为1 的置信区间 注 F x 也可换成概率密度或分布律 使 置信区间的意义 置信区间不同于一般的区间 它是随机区间 样本有一组观测值 就有一个具体的置信区间 置信区间的意义 反复多次抽样 得到众多的区间 在这些区间中有的包含参数真值 有的不包含 当置信度为1 时 包含真值 的比例大约为100 1 解 若以表示标准正态分布的上分位点 则 2 2 1 EX 1 b 1 因此 的置信度为1 的置信区间为 注 的1 置性区间不唯一 都是 的1 置信区间 但 1 2时区间长最短 我们总是希望求得这样的置信区间 一般寻求未知参数 的置信区间的具体做法如下 寻求一个样本X1 X2 Xn的函数W W X1 X2 Xn 它包含待估参数 注意 W不是统计量 并且W的分布已知 对于给定的置信水平1 定出两个常数a b 使P a W X1 X2 Xn b 1 通常可根据W的分布 查表确定a b的值 由a W X1 X2 Xn b得到等价的不等式 则就是 的一个置信水平为1 的置信区间 7 正态总体均值与方差的区间估计 一 单个总体的情况 均值 的置信区间 当 已知时 由上节的例子知 的置信度为1 的置信区间为 例 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布 先测得5炉铁水含碳量分别为 4 284 404 424 354 37 试求总体均值的置信区间解 当 2未知时 因此m的1 a置信区间为 1 即 例 已知某种油漆的干燥时间服从正态分布 随机抽取9个样品 测得干燥时间 小时 分别为 6 05 75 86 57 06 35 66 15 0试求总体均值的置信区间解 考虑m未知的情况 方差 2的置信区间 因此s2的置信度为1 的置信区间为 二 两个总体的情况 均值差 1 2的置信区间 可解得 1 2的1 置信区间为 2 方差比的置信区间 考虑 1 2未知的情况 7 7单侧置信区间 定义 设总体X的分布函数F x 含有未知参数 对于给定值 0 1 若由样本X1 Xn确定的统计量 则称区间为 的置信水平为1 的单侧置信