高中数学 第一章 三角函数 1.2 角的概念的推广课件2 北师大版必修4.ppt

1 2角的概念的推广 知识提炼 1 角的概念平面内一条 绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 射线 端点 终边 始边 顶点 2 角的分类 1 任意角 逆时针 顺时针 不作任 何 2 象限角 前提条件 角的顶点与 重合 角的始边与 的非负半轴重合 分类 象限角 角的终边 除端点外 在第几象限 就是 终边落在坐标轴上的角 原点 x轴 第几象限角 3 终边相同的角的表示所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个集合s 即任何一个与角 终边相同的角 都可以表示成角 与周角的 的和 k 360 k z 整数倍 即时小测 1 思考下列问题 1 角的概念推广后 角的范围是什么 提示 根据角的定义可知 角的范围推广到了任意角 即 2 在坐标系中终边相同的角不一定相等 相等的角终边一定相同吗 提示 一定 在平面直角坐标系中来讨论角时必须满足以下条件 角的顶点为坐标原点 角的始边为x轴的非负半轴 因此 相等的角终边一定相同 2 与角 80 终边相同的角是 a 180 b 100 c 240 d 280 解析 选d 因为280 80 360 故280 与角 80 终边相同 3 在0 360 范围内 与2015 角终边相同的角为 解析 因为215 2015 5 360 故在0 360 范围内 与2015 角终边相同的角为215 答案 215 4 2000 是第 象限的角 解析 因为160 2000 6 360 因为160 是第二象限的角 故 2000 是第二象限的角 答案 二 5 若角 的终边和函数y x 的图像重合 则角 的集合为 解析 由于y x 的图像是第三 四象限的平分线 故在0 360 范围内所对应的两个角分别为225 及315 从而角 的集合为s k 360 225 或 k 360 315 k z 答案 k 360 225 或 k 360 315 k z 知识探究 知识点1角的概念的推广观察图形 回答下列问题 问题1 构成角的要素有哪几个 问题2 用旋转观点定义角会出现哪几类角 旋转时 要注意哪些要素 总结提升 角的概念的四个关注点 1 三个要素 顶点 始边 终边 2 运动观点下的定义 抓住 旋转 两个字 它有正负之分 与初中学习的静止观点下的角是有区别的 3 角的大小 不仅与旋转的大小有关 还与旋转的方向有关 正角大于负角 4 角的加减法运算 角的范围推广到任意角后 类似于实数的加减法运算 知识点2象限角与终边相同的角观察图形 回答下列问题 问题1 定义象限角 终边相同的角的前提条件是什么 问题2 终边相同的角之间有什么关系 问题3 如何用集合和符号表示各象限角 总结提升 1 定义的前提条件 1 研究象限角 终边相同的角时 必须注意前提条件 角的顶点与坐标原点重合 始边与x轴的非负半轴重合 2 如果角的顶点不与坐标原点重合 或者角的始边不与x轴的非负半轴重合 则没有象限角 终边相同的角的概念 2 象限角的集合表示 3 对于终边相同的角的认识所有与角 终边相同的角 连同角 在内可以用式子k 360 k z表示 在运用时需注意以下三点 1 k是整数 这个条件不能漏掉 2 是任意角 3 k 360 与 之间用 连接 如k 360 30 应看成k 360 30 k z 题型探究 类型一角的概念的推广 典例 1 时钟的时针走过了1小时20分钟 则分针转过的角为 2 射线oa绕端点o顺时针旋转80 到ob位置 接着逆时针旋转250 到oc位置 然后再顺时针旋转270 到od位置 则 aod 解题探究 1 分针转过的圈数是多少 提示 分针转过的圈数是圈 2 题2中逆时针旋转250 是 250 还是 250 顺时针旋转270 是 270 还是 270 提示 逆时针旋转250 是 250 顺时针旋转270 是 270 解析 1 时针走过了1小时20分钟 则分针转了圈 又因为按顺时针方向旋转的角为负角 所以分针转过的角为 360 480 答案 480 2 如图 aod aob boc cod 80 250 270 100 答案 100 方法技巧 1 角的表示 1 通常用希腊字母 等表示 如 角 或 也可以简化为 2 也可以用三个大写字母表示 前面要加 如 aob 3 用图示表示角时 箭头不可以丢掉 因为箭头代表了旋转的方向 也即箭头代表着角的正负 2 理解角的概念的三个 明确 变式训练 写出图 1 2 中的角 的度数 解析 图 1 中 360 30 330 图 2 中 360 60 150 150 360 60 360 60 150 570 类型二终边相同的角 典例 2015 宿州高一检测 写出与角 2010 终边相同的角的集合s 求s中的最小正角 解题探究 与角 终边相同的角如何表示 提示 与角 终边相同的角表示为 k 360 k z 解析 与角 2010 终边相同的角的集合为s 2010 k 360 k z 因为 2010 6 360 150 故 2010 与150 的终边相同 且150 为其中的最小正角 答案 150 延伸探究 1 改变问法 求s中的最大负角 解析 因为 2010 5 360 210 故 2010 与 210 的终边相同 且 210 为其中的最大负角 答案 210 2 变换条件 求s中在 720 720 范围内的角 解析 令 2010 k 360 k z 当k 4时 2010 4 360 570 当k 5时 2010 5 360 210 当k 6时 2010 6 360 150 当k 7时 2010 7 360 510 故s中在 720 720 范围内的角为 570 210 150 510 方法技巧 1 在0 到360 范围内找与给定角终边相同的角的方法 1 一般地 可以将所给的角 化成k 360 的形式 其中0 360 k z 其中的 就是所求的角 2 如果所给的角的绝对值不是很大 可以通过如下方法完成 当所给角是负角时 采用连续加360 的方式 当所给角是正角时 采用连续减360 的方式 直到所得结果达到要求为止 2 终边相同角常用的三个结论 1 终边相同的角之间相差360 的整数倍 2 终边在同一直线上的角之间相差180 的整数倍 3 终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90 的整数倍 补偿训练 1 与 457 角的终边相同的角的集合是 a 475 k 360 k z b 97 k 360 k z c 263 k 360 k z d 263 k 360 k z 解析 选c 因为263 457 2 360 故与 457 角的终边相同的角的集合可表示为 263 k 360 k z 2 已知 的终边相同 那么 的终边在 a x轴的非负半轴上b y轴的非负半轴上c x轴的非正半轴上d y轴的非正半轴上 解析 选a 因为 的终边相同 所以 k 360 k z 所以 k 360 k z 所以 的终边在x轴的非负半轴上 类型三象限角 典例 1 2015 渭南高一检测 给出下列四个命题 其中正确的有 75 是第四象限角 225 是第三象限角 475 是第二象限角 315 是第一象限角a 1个b 2个c 3个d 4个 2 已知角 是锐角 则2 是 a 第一象限角b 第二象限角c 小于180 的正角d 第一或第二象限角3 已知角的顶点在原点 始边在x轴的非负半轴上 作出下列各角 并指出它们是第几象限角 1 50 2 780 3 680 解题探究 1 象限角有什么特点 提示 角的始边在x轴的非负半轴上 顶点在原点 角的终边旋转 角的终边在哪个象限即哪个象限的角 2 题2中角 是锐角 则 的范围是什么 提示 0 90 3 题3中如何作负角 提示 顺时针旋转即可得到负角 解析 1 选d 显然正确 因为115 475 360 故475 是第二象限的角 正确 因为45 315 360 故 315 是第一象限的角 正确 2 选c 因为 是锐角 所以0 90 所以0 2 180 3 作出各角 其对应的终边如图所示 1 50 是第四象限角 2 780 是第一象限角 3 680 是第一象限角 方法技巧 1 象限角的判定方法 1 根据图像判定 利用图像实际操作时 依据是终边相同的角的概念 因为0 360 之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系 2 将角转化到0 360 范围内 在直角坐标平面内 0 360 范围内没有两个角终边是相同的 2 2 等角的终边位置的确定方法不等式法 利用象限角的概念或已知条件 写出角 的范围 利用不等式的性质 求出2 等角的范围 利用 旋转 的观点 确定角终边的位置 例如 如果得到k 120 k 120 30 k z 可画出0 30 所表示的区域 再将此区域依次逆时针或顺时针转动120 如图所示 变式训练 2015 大庆高二检测 若 是第三象限角 则180 一定是 第一象限角b 第二象限角c 第三象限角d 第四象限角 解题指南 利用角的对称 旋转确定角的范围 解析 选d 因为 是第三象限角 故 是第二象限角 逆时针旋转180 为第四象限的角 故180 是第四象限的角 补偿训练 若角 满足 30 k 180 k z 则角 的终边落在 a 第一或第三象限b 第一或第二象限c 第二或第四象限d 第三或第四象限 解析 选c 当k 2n时 30 n 360 是第四象限角 当k 2n 1时 150 n 360 是第二象限角 易错案例象限角的判断 典例 已知 是第一象限角 那么角2 的终边位于 失误案例 错解分析 分析上面的解析过程 你知道错在哪里吗 提示 出错的根本原因是只注意到了象限角 忽视了终边在坐标轴上的角也在2 的范围内 自我矫正 因为 是第一象限