高考数学大一轮复习 第七章 数列、推理与证明 43 四种命题和充要条件课件 文.ppt

第七章数列 推理与证明 第43课四种命题和充要条件 课前热身 1 必修5p38练习4改编 已知一个直角三角形的三边的长组成等差数列 其中最小边长为3 那么该直角三角形的斜边长为 解析 设另一直角边长为b 斜边长为c 则3 c 2b 又32 b2 c2 解得c 5 激活思维 5 4 3 必修5p48习题13改编 如图所示的三角形数阵 根据图中的规律 第n行 n 2 第2个数是 4 必修5p44例4改编 某剧场有20排座位 后一排比前一排多2个座位 最后一排有60个座位 这个剧场共有 个座位 820 5 必修5p55例5改编 某人为了购买商品房 从2010年起 每年1月1日到银行存入a元一年期定期储蓄 若年利率为p且保持不变 并约定每年到期存款及利息均自动转为新一年定期存款 到2018年1月1日 当日不存只取 将所有的存款及利息全部取回 不计利息税 则可取人民币为 元 1 数列可以与函数 方程 不等式 三角函数 平面向量 解析几何等组成综合问题 灵活地运用等差 等比数列的知识分析问题 解决问题是关键 2 解答有关数列的实际应用问题 通常可分为三步 1 根据题意建立数列模型 2 运用数列知识求解数列模型 3 检验结果是否符合题意 给出问题的答案 知识梳理 课堂导学 2016 南师附中 已知实数q 0 数列 an 的前n项和为sn a1 0 对任意正整数m n 且n m sn sm qmsn m恒成立 1 求证 数列 an 为等比数列 解答 1 方法一 令m n 1 n 2 则sn sn 1 qn 1s1 a1qn 1 即an a1qn 1 n 2 n n 当n 1时 也满足上式 故an a1qn 1 所以数列 an 是首项为a1 公比为q的等比数列 子数列问题 例1 方法二 令m 1 则sn a1 qsn 1 sn 1 a1 qsn 两式相减 得an 1 anq n 2 n n 令n 2 得a2 a1q 所以数列 an 是首项为a1 公比为q的等比数列 2 若正整数i j k成公差为3的等差数列 si sj sk按一定顺序排列成等差数列 求q的值 解答 由题设条件不妨设j i 3 k i 6 若si si 3 si 6成等差数列 则2si 3 si si 6 即qis3 qi 3s3 解得q 1 若si 3 si 6 si成等差数列 则2si 6 si 3 si 2016 常州中学 已知等差数列 an 的前n项和是sn 且s3 9 s6 36 1 求数列 an 的通项公式 变式 2 是否存在正整数m k 使am am 5 ak成等比数列 若存在 求出m和k的值 若不存在 请说明理由 由于m k是正整数 故2m 1只可能取1 5 25 当2m 1 1 即m 1时 k 61 当2m 1 5 即m 3时 k 23 当2m 1 25 即m 13时 k 25 所以存在正整数m k 使am am 5 ak成等比数列 m和k的值分别是m 1 k 61或m 3 k 23或m 13 k 25 数列与函数 不等式等综合问题 例2 2 求数列 bn 的通项公式 3 设sn a1a2 a2a3 a3a4 anan 1 求当4asn bn恒成立时实数a的取值范围 当 a 1 n2 3 a 2 n 81时 由二次函数的性质知不可能恒成立 因为f n 在 1 上为单调减函数 又f 1 a 1 3a 6 8 4a 15 0 所以当a 1时 4asn bn恒成立 综上 实数a的取值范围为 a a 1 变式 2016 南通一调改编 若数列 an 中存在三项 按一定次序排列构成等比数列 则称 an 为 等比源数列 在数列 an 中 已知a1 2 an 1 2an 1 1 求数列 an 的通项公式 解答 1 由an 1 2an 1 得an 1 1 2 an 1 且a1 1 1 所以数列 an 1 是首项为1 公比为2的等比数列 所以an 1 2n 1 所以数列 an 的通项公式为an 2n 1 1 新定义数列问题 例3 2 试判断数列 an 是否为 等比源数列 并证明你的结论 解答 数列 an 不是 等比源数列 用反证法证明如下 假设数列 an 是 等比源数列 则存在三项am an ak m n k 按一定次序排列构成等比数列 因为an 2n 1 1 所以am an ak 两边同时乘以21 m 得到22n m 1 2n m 1 2k 1 1 2k m 即22n m 1 2n m 1 2k 1 2k m 1 又m n k m n k n 所以2n m 1 1 n m 1 1 k 1 1 k m 1 所以22n m 1 2n m 1 2k 1 2k m必为偶数 不可能为1 所以 数列 an 中不存在任何三项 按一定次序排列构成等比数列 综上可得 数列 an 不是 等比源数列 数列的实际应用问题 1 当k 3 a0 12时 分别求a1 a2 a3的值 2 请用an 1表示an 令bn n 1 an 求数列 bn 的通项公式 即 n 1 an n an 1 2 nan 1 2n 因为bn n 1 an 所以bn bn 1 2n bn 1 bn 2 2n 2 b1 b0 2 又b0 a0 所以bn n n 1 a0 3 是否存在正整数k k 3 和非负整数a0 使得数列 an n k 成等差数列 如果存在 请求出所有的k和a0 如果不存在 请说明理由 精要点评 数列的应用题多侧重于数列知识的考查 在实际应用中 会出现一些与平常数列知识不一样的概念 如会有a0 n有上限等 课堂评价 1 已知等比数列 an 是递增数列 sn是 an 的前n项和 若a1 a3是方程x2 5x 4 0的两个根 则s6 2 已知数列 an 的通项公式为an 2n 1 那么数据a1 a2 a3 a4 a5的方差为 63 8 4 某厂去年的产值记为1 若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10 则从今年起到第五年这五年内 这个厂的总产值约为 保留一位小数 取1 15 1 6 6 6 5 2016 苏北四市期中 已知数列 an 满足2an 1 an an 2 k n n k r 且a1 2 a3 a5 4 1 若k 0 求数列 an 的前n项和sn 解答 当k 0时 2an 1 an an 2 即an 2 an 1 an 1 an 所以数列 an 是等差数列 2 若a4 1 求数列 an 的通项公式 解答 由题意知 2a4 a3 a5 k 即 2 4 k 所以k 2 又a4 2a3 a2 2 3a2 2a1 6 所以a2 3 由2an 1 an an 2 2 得 an 2 an 1 an 1 an 2 所以数列 an 1 an 是以a2 a1 1为首项 2为公差的等差数列 所以an 1 an 2n 3 当n 2时 an