高考数学考前押题 椭　圆(1).doc

2014高考数学考前押题：椭圆椭圆的定义及应用1椭圆+=1的焦点为f1、f2,点p在椭圆上.若|pf1|=4,则|pf2|=,f1pf2的大小为.解析:由椭圆方程+=1可知a2=9,b2=2,c2=7,c=,a=3.由椭圆定义知|pf1|+|pf2|=6,由|pf1|=4,得|pf2|=2.在pf1f2中,由余弦定理的推论有cosf1pf2=-.f1pf2=120.答案:21202.已知f1、f2是椭圆c: +=1(ab0)的两个焦点,p为椭圆c上一点,且,若pf1f2的面积为9,则b=.解析:由题意可知, |=9, |2+|2=|2=(2c)2, 由椭圆定义可知,|pf1|+|pf2|=2a, 联立解得a2-c2=9,即b2=9,b=3.答案:3考点二 椭圆的方程及其简单性质应用1已知中心在原点的椭圆c的右焦点为f(1,0),离心率等于,则c的方程是()(a) + =1(b) +=1(c) +=1(d) +=1解析:因椭圆中心在原点,右焦点为(1,0),所以其方程应为+=1,且a2-b2=c2=1.又离心率=,a=2,b2=a2-c2=3.故选d.答案:d2.(2013年大纲全国卷,文8)已知f1(-1,0),f2(1,0)是椭圆c的两个焦点,过f2且垂直于x轴的直线交c于a、b两点,且=3,则c的方程为()(a)+y2=1 (b)+=1(c)+ =1(d)+=1解析:依题意设椭圆c的方程为+=1(ab0),由条件可得a（1,）,b（1,-）,因|ab|=-（-）=3,即2b2=3a,所以解得所以椭圆c的方程为+=1.故选c.答案:c3.若点o和点f分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点p为椭圆上的任意一点,则的最大值为()(a)2(b)3(c)6(d)8解析:由椭圆方程+=1可知a2=4,b2=3,c2=1,f(-1,0).设p(x0,y0),则+=1.且=(x0,y0), =(x0+1,y0),=x0(x0+1)+=+x0+3（1-）=+x0+3=(x0+2)2+2-2x02,当x0=2时,取到最大值16+2=6.答案:c椭圆离心率的求法1.已知椭圆c: +=1(ab0)的左焦点为f,c与过原点的直线相交于a,b两点,连接af,bf.若|ab|=10,|bf|=8,cosabf=,则c的离心率为()(a)(b)(c)(d)解析:|af|2=|ab|2+|bf|2-2|ab|bf|cosabf=100+64-2108=36,则|af|=6,afb=90,半焦距c=|fo|=|ab|=5,设椭圆右焦点f2,连结af2,由对称性知|af2|=|fb|=8,2a=|af2|+|af|=6+8=14,即a=7,则e=.故选b.答案:b2.设椭圆c: +=1(ab0)的左、右焦点分别为f1,f2,p是c上的点,pf2f1f2,pf1f2=30,则c的离心率为()(a) (b) (c)(d)解析:rtpf1f2中,|f1f2|=2c(c为半焦距),因为pf1f2=30,所以|pf2|=,|pf1|=,由椭圆的定义知2a=|pf1|+|pf2|=,所以e=.故选d.答案:d3.从椭圆+=1(ab0)上一点p向x轴作垂线,垂足恰为左焦点f1,a是椭圆与x轴正半轴的交点,b是椭圆与y轴正半轴的交点,且abop(o是坐标原点),则该椭圆的离心率是()(a) (b) (c) (d)解析:由题意点p(-c,y)(y0)在椭圆上,则+=1,解得y=,则kop=.又由a(a,0),b(0,b),得kab=-,所以=,即b=c,a=c,所以e=.故选c.答案:c4.设f1,f2是椭圆e: +=1(ab0)的左、右焦点,p为直线x=上一点,f2pf1是底角为30的等腰三角形,则e的离心率为()(a)(b)(c)(d) 解析:如图所示,设直线x=a与x轴的交点为q,由题意可知,f2f1p=f1pf2=30,|pf2|=|f1f2|=2c,pf2q=60,f2pq=30.|f2q|=|pf2|.即a-c=2c,e=.答案:c5.椭圆+=1(ab0)的左、右顶点分别是a、b,左、右焦点分别是f1、f2,若|af1|,|f1f2|,|f1b|成等比数列,则此椭圆的离心率为()(a)(b)(c)(d) -2解析:由题意知,|af1|=a-c,|f1f2|=2c,|f1b|=a+c.由|af1|、|f1f2|、|f1b|成等比数列可得:(2c)2=(a-c)(a+c).整理得a2=5c2,e=.答案:b6.椭圆+=1的离心率为()(a)(b) (c) (d)解析:由椭圆方程+=1可知a2=16,b2=8,c2=a2-b2=8,e=.答案:d7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是()(a)(b)(c)(d)解析:由题意可知,2a,2b,2c成等差数列,4b=2a+2c,即a+c=2b,又a2-c2=b2,=a2-c2,即5c2+2ac-3a2=0,5e2+2e-3=0,解得e=或e=-1(舍去).答案:b8.椭圆: +=1(ab0)的左、右焦点分别为f1,f2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆的一个交点满足mf1f2=2mf2f1,则该椭圆的离心率等于.解析:直线y=(x+c)过点f1(-c,0)且倾斜角为60,所以mf1f2=60,mf2f1=30,所以f1mf2=90,所以f1mf2m,在rtf1mf2中,|mf1|=c,|mf2|=c,所以e=-1.答案: -1直线与椭圆的位置关系1.已知动点m(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点n(1,0)的距离的2倍.(1)求动点m的轨迹c的方程;(2)过点p(0,3)的直线m与轨迹c交于a,b两点,若a是pb的中点,求直线m的斜率.解:(1)设m到直线l的距离为d,根据题意,d=2|mn|.由此得|4-x|=2,化简得+=1, 所以,动点m的轨迹方程为+=1.(2)法一由题意,设直线m的方程为y=kx+3,a(x1,y1),b(x2,y2).将y=kx+3代入+=1中,有(3+4k2)x2+24kx+24=0,其中,=(24k)2-424(3+4k2)=96(2k2-3)0,由求根公式得,x1+x2=-, x1x2=. 又因a是pb的中点,故x2=2x1,将代入,得x1=-,=,可得=,且k2,解得k=-或k=,所以,直线m的斜率为-或.法二由题意,设直线m的方程为y=kx+3,a(x1,y1),b(x2,y2).a是pb的中点,x1=,y1=.又+=1,+=1.联立,解得或即点b的坐标为(2,0)或(-2,0),所以,直线m的斜率为-或.2.椭圆c: +=1(ab0)的离心率e=,a+b=3.(1)求椭圆c的方程;(2)如图,a,b,d是椭圆c的顶点,p是椭圆c上除顶点外的任意一点,直线dp交x轴于点n,直线ad交bp于点m,设bp的斜率为k,mn的斜率为m.证明2m-k为定值.(1)解:因为e=,所以a=c,b=c.代入a+b=3,得c=,a=2,b=1.故椭圆c的方程为+y2=1.(2)证明:因为b(2,0),p不为椭圆顶点,则直线bp的方程为y=k(x-2)（k0,k）, 把代入+y2=1,解得p.直线ad的方程为y=x+1.与联立解得m.由d(0,1),p，n(x,0)三点共线知=,解得n.所以mn的斜率为m=,则2m-k=-k=(定值).3已知椭圆c: +=1(ab0)的焦距为4,且过点p(,).(1)求椭圆c的方程;(2)设q(x0,y0)(x0y00)为椭圆c上一点.过点q作x轴的垂线,垂足为e.取点a(0,2),连接ae,过点a作ae的垂线交x轴于点d.点g是点d关于y轴的对称点,作直线qg,问这样作出的直线qg是否与椭圆c一定有唯一的公共点?并说明理由.解:(1)因为焦距为4,所以a2-b2=4.又因为椭圆c过点p(,),所以+=1,故a2=8,b2=4,从而椭圆c的方程为+=1.(2)一定有唯一的公共点.由题意,e点坐标为(x0,0).设d(xd,0),则=(x0,-2),=(xd,-2).再由adae知,=0,即xdx0+8=0.由于x0y00,故xd=-.因为点g是点d关于y轴的对称点,所以点g（,0）.故直线qg的斜率kqg=.又因q(x0,y0)在椭圆c上,所以+2=8.从而kqg=-.故直线qg的方程为y=-（x-）.将代入椭圆c方程,得(+2)x2-16x0x+64-16=0.再将代入,化简得x2-2x0x+=0.解得x=x0,y=y0,即直线qg与椭圆c一定有唯一的公共点.4.设椭圆+=1(ab0)的左焦点为f,离心率为,过点f且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程;(2)设a,b分别为椭圆的左、右顶点,过点f且斜率为k的直线与椭圆交于c,d两点.若+=8,求k的值.解:(1)设f(-c,0),由=,知a=c.过点f且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有+=1,解得y=,于是=,解得b=,又a2-c2=b2,从而a=,c=1,所以椭圆的方程为+=1.(2)设点c(x1,y1),d(x2,y2),由f(-1,0)得直线cd的方程为y=k(x+1).由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0,则x1+x2=-,x1x2=.因为a(-,0),b(,0),所以+=(x1+,y1)(-x2,-y2)+(x2+,y2)(-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+.由已知得6+=8,解得k=.5.已知椭圆c: +=1(ab0)的一个顶点为a(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆c交于不同的两点m,n.(1)求椭圆c的方程;(2)当amn的面积为时,求k的值.解:(1)由题设知,椭圆焦点在x轴上,a=2.由e=得c=,b2=a2-c2=2.椭圆c的方程为+=1.(2)由消去y,整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.设m(x1,y1),n(x2,y2).则=(-4k2)2-4(1+2k2)(2k2-4)0()且x1+x2=,x1x2=,|mn|=设点a(2,0)到直线y=k(x-1)的距离为d,则d=.samn=|mn|d=,解得k=1,代入()式成立,k=1.6.已知椭圆+=1(ab0),点p（a,a）在椭圆上.(1)求椭圆的离心率;(2)设a为椭圆的左顶点,o为坐标原点,若点q在椭圆上且满足|aq|=|ao|,求直线oq的斜率的值.解:(1)点p（a,a）在椭圆上,+=1整理得=.e=.(2)由题意可知,点a坐标为(-a,0),|ao|=a.设直线oq的斜率为k,则其方程为y=kx,设点q坐标为(x0,y0).则消去y0,整理得=由|aq|=|ao|得(x0+a)2+k2=a2.整理得(1+k22ax0=0.由于x00,得x0=-.把代入得=,整理得(1+k2)2=4k2+4.由(1)知=,故(1+k2)2=k2+4,即5k4-22k2-15=0,解得k2=5.直线oq的斜率k=.7.设椭圆+=1(ab0)的左,右焦点分别为f1,f2,点p(a,b)满足|pf2|=|f1f2|.(1)求椭圆的离心率e;(2)设直线pf2与椭圆相交于a,b两点.若直线pf2与圆(x+1)2+(y-)2=16相交于m,n两点,且|mn|=|ab|,求椭圆的方程.解:(1)设f1(-c,0),f2(c,0)(c0),因为|pf2|=|f1f2|,所以=2c,整理得2（）2+-1=0,得=-1(舍去),或=,所以e=.(2)由(1)知a=2c,b=c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线pf2的方程为y=(x-c).a、b两点的坐标满足方程组消去y并整理,得5x2-8cx=0,解得x1=0,x2=c.得方程组的解不妨设a（c,c）,b(0,-c),所以|ab|=c.于是|mn|=|ab|=2c.圆心(-1, )到直线pf2的距离d=.因为d2+=42,所以(2+c)2+c2=16.整理得7c2+12c-52=0,解得c=-(舍去)或c=2.所以椭圆方程为+=1.8.设椭圆c: +=1(ab0)过点(0,4),离心率为.(1)求c的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被c所截线段的中点坐标.解:(1)将(0,4)代入c的方程得=1,b=4,又由e=,得=,即1-=,a=5,c的方程为+=1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3).设直线与c的交点为a(x1,y1),b(x2,y2),将直线方程y=(x-3)代入c的方程,得+=1,即x2-3x-8=0,x1+x2=3.设线段ab的中点坐标为(x,y),则x=,y=(x1+x2-6)=- ,即中点坐标为（,-）.9.如图所示,设椭圆的中心为原点o,长轴在x轴上,上顶点为a,左、右焦点分别为f1、f2,线段of1、of2的中点分别为b1、b2,且ab1b2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过b1作直线交椭圆于p、q两点,使pb2qb2,求pb2q的面积.解:(1)设椭圆的标准方程为+=1(ab0),焦距为2c,则a(0,b),|ob1|=|ob2|=.由=4得cb=4,即bc=8.又ab1b2是直角三角形,且|ob1|=|ob2|,b=.由可得b=2,c=4.a2=20.椭圆的标准方程为+=1,离心率e=.(2)由(1)知b1(-2,0),b2(2,0).由题意知,直线pq的倾斜角不为0,故可设直线pq的方程为x=my-2.代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0.(*)设p1(x1,y1),p2(x2,y2),则y1,y2是方程(*)的两根.y1+y2=,y1y2=-.又=(x1-2,y1), =(x2-2,y2).=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=-+16=-.由pb2b2q知=0,即-=0,16m2-64=0,解得m=2.当m=2时,y1+y2=,y1y2=-,|y1-y2|=.=|b1b2|y1-y2|=.当m=-2时,由椭圆的对称性可得=.综上所述,pb2q的面积为.应用椭圆的定义解决椭圆上的点到焦点的距离问题1.已知椭圆+=1的两个焦点是f1、f2,点p在该椭圆上,若|pf1|-|pf2|=2,则pf1f2的面积是.解析:由椭圆方程+=1可知c=,a=2,|pf1|+|pf2|=4.又|pf1|-|pf2|=2,|pf1|=3,|pf2|=1.又|f1f2|=2,|pf1|2=|pf2|2+|f1f2|2,pf2f1f2,=|pf2|f1f2|=12=.答案:2.已知点f1、f2分别是椭圆x2+2y2=2的左、右焦点,点p是该椭圆上的一个动点,则的最小值是.解析:设p(x,y),则x2+2y2=2,由椭圆方程+y2=1可知,a=,b=1,c=1,f1(-1,0),f2(1,0).=(-1-x,-y),=(1-x,-y),+=(-2x,-2y).|+|= =2 =2 =2 .y21,|+|的最小值是2.答案:2椭圆的方程及其简单性质应用1.定义:关于x的不等式|x-a|b的解集叫a的b邻域.已知a+b-2的a+b邻域为区间(-2,8),其中a、b分别为椭圆+=1的长半轴长和短半轴长,若此椭圆的一焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则椭圆的方程为()(a) +=1(b) +=1(c) +=1(d) +=1解析:由题意可知|x-(a+b-2)|b0)的左、右顶点,c(0,b),直线l:x=2a与x轴交于点d,与直线ac交于点p,若dbp=,则此椭圆的离心率为()(a)(b)(c)(d)解析:如图所示,由已知得a(-a,0),b(a,0),c(0,b),d(2a,0).设p(2a,y0),a、c、p共线,kac=kap,即=,y0=3b,p(2a,3b).又dbp=,且tandbp=,=,=,e=.答案:d2.已知f是椭圆c: +=1(ab0)的右焦点,点p在椭圆c上,线段pf与圆（x-）2+y2=相切于点q,且=2,则椭圆c的离心率等于()(a)(b)(c)(d)解析:记椭圆的左焦点为f,圆(x-)2+y2=的圆心为e,连接pf、qe.|ef|=|of|-|oe|=c-=,=2,=,pfqe,=,且pfpf.又|qe|=(圆的半径长),|pf|=b.据椭圆的定义知:|pf|+|pf|=2a,|pf|=2a-b.pfpf,|pf|2+|pf|2=|ff|2,b2+(2a-b)2=(2c)2,2(a2-c2)+b2=2ab,3b2=2ab,b=,c=a, = ,椭圆的离心率为.答案:a考点四 直线与椭圆的位置关系的解法1.椭圆e: +=1(ab0)的左、右焦点分别为f1,f2,焦距为2,过f1作垂直于椭圆长轴的弦pq,|pq|为3.(1)求椭圆e的方程;(2)若过f1的直线l交椭圆于a,b两点,判断是否存在直线l使得af2b为钝角,若存在,求出l的斜率k的取值范围.解:(1)依题意解得a2=4,b2=3,椭圆的方程为+=1.(2)当过f1的直线ab的斜率不存在时,不妨取a（-1,）,b（-1,-）则=,显然af2b不为钝角.直线l的斜率为k,l方程为y=k(x+1),由消去y,整理得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.直线l与椭圆交于两点,=(8k2)2-4(3+4k2)(4k2-12)=436(k2+1)0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.=(x1-1,y1), =(x2-1,y2).af2b为钝角,0.即(x1-1)(x2-1)+y1y20,整理得(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+10.即(k2+1)-(k2-1)+k2+10,整理得7k29,解得-k.存在满足条件的直线l,其斜率k的取值范围为-kb0)的右顶点和上顶点,直线lab,l与x轴、y轴分别交于c,d两点,直线ce,df为椭圆的切线,则ce与df的斜率之积kcekdf等于()(a)(b)(c)(d)解析:由+=1(ab0)可知a(a,0),b(0,b),kab=.设l方程为y=-x+m,则c,d(0,m).df方程为y=kdfx+m,由得(b2+a2)x2+2a2mkdfx+a2m2-a2b2=0,df与椭圆相切,=(2a2mkdf)2-4(b2+a2)(a2m2-a2b2)=0,得=.直线ce的方程为y=kce(x-),由得(b2+a2)x2-x+-a2b2=0.ce与椭圆相切,=(-)2-4(b2+a2)(-a2b2)=0.化简得=.=,kdfkce=.答案:c4.椭圆mx2+y2=1的焦