数理经济学04b.doc

第三章 最优化理论初步3.1 基本问题静态最优化的基本模型： i =1，2，m j =1，2，n其中，f，gi，hj都定义在开集。f称为目标函数，gi，hj称为约束条件。无约束条件的优化问题称为无约束极值问题，带有约束条件的优化问题称为约束极值问题。最优化理论研究的主要内容：1） 解的存在性条件；2） 近似算法。处理存在性的常用方法：Lagrange方法；基本定理Kuhn-Tucker定理3.2 基础知识1） 梯度 Hesse矩阵 ， i，j = 1，2，n=2）凸分析初步凸集的定义设S是Rn空间中的一个子集，若对任意的，及任意的，有则称S是Rn空间中的凸集。凸集定义的几何解释：凸集的性质：1、 凸集的交集也是凸集；2、 定义集合称为的线性和。设，都是Rn空间中的凸集，则它们的线性集也是Rn空间中的凸集；3、 设，都是Rn空间中的凸集，则它们的笛卡尔积也是Rn空间中的凸集。凸函数和凹函数的定义：定义：设S是Rn空间中的凸集，f定义在S上的实值函数，若对和，有则称f是定义在S上的凹函数。若有则称f是定义在S上的凸函数。若对任意的，上述不等式都是严格的不等式，则称函数为严格凹（凸）函数。一元凸（凹）函数的几何意义是曲线上任意两点的连线都在曲线的上（下）方。如图。注意：1、 线性函数是唯一一个既是凹函数，有是凸函数的函数。2、 一个函数有无凸性，与它的定义域有关，如函数。凹函数的一些常用性质：1、 设f是定义在凸集S上的实值凹函数，则对于，集合是凸集；2、 凹函数的非负线性组合仍是凹函数，即对于，若，是凹函数，则也是凹函数；3、 设S是Rn空间中的凸集，f是S上的实值凹函数的必要充分条件是对任意正数k，及任意的，且，有4、 设S是Rn空间中的凸集，f是S上的实值可微函数，f是凹函数的必要充分条件是对任意的，5、 设S是Rn空间中的开凸集，f是S上的实值二阶可微实值函数，则i. f 在S上是凹的，当且仅当对，是半负定的；ii. 如果对，是负定的，则f 在S上是严格凹的；iii. f 在S上是凸的，当且仅当对，是半正定的；iv. 如果对，是正定的，则f 在S上是严格凸的。设有生产函数。其中，x表示n个要素的投入量，y表示单一产品的产出。假设f是凹函数，则由性质5，对，且，有和取定i，对任意的，令，则有。现在，让i遍取1，2，n，设，则对，有即f对每个变量的偏导数都是非增的。这说明如果生产函数是凹的，则任何要素的边际产出都是非增的。特别地，若f是严格凹函数，则任何要素的边际产出都是递减的。如果f代表消费者的效用函数，则效用函数的凹性假设表明效用边际递减的特性。若进一步假定生产（效用）函数是二阶可微的，则可直接得到产出（效用）的非增性质。3）无约束极值问题一阶必要条件：；二阶充分条件：正定 极小； 负定 极大。4）等式约束与Lagrange方法问题：，i=1，2，m或者，令，则上面的问题可以改写为通常假设连续可微。设，令称为原问题的Lagrange函数。容易证明，L的无约束极值点中的是原问题的约束极值点。证明该结论的基本思想：（为简化记号，以两个变量，一个约束为例）设问题为假设由约束中可以将y解出来，记为y = k（x）。将它带入目标函数，有这样，就把约束极值问题转变为无约束极值问题了。根据极值的一阶必要条件，有注意到，在隐函数中，y对x导数为带入上式，有整理得并引入新记号则极值点的必要条件可以写为上面的三个式子正是Lagrange函数的偏导数。在L的最优解中，称是原问题的Lagrange乘子，在经济研究中，也称为影子价格。影子价格的经济意义：假设目标函数代表利润函数，约束条件表示需投入的资源及限额。则影子价格表示在最优生产计划处，再增加一单位的资源所带来的利润。可以证明，是函数的极小值点，是函数的极大值点。一般来说，设有函数，若点满足条件：则称是函数的鞍点。1） 最大最小问题在最优化理论中，我们要寻找最大值或最小值，但是，给出的条件仅仅是极值点的条件。其原因如图。为了保证极值点也是最值点，需要增加一个条件，即凸性假设。大多数极值点的必要条件，增加凸性条件后，就变成了必要充分条件了。3.3 有不等式约束的极值问题记，则一般的最优化模型可以简写为P 解决该问题的难点：极值点有可能在处取得。一阶Kuhn-Tucker条件（必要条件）设是问题（P）的解，在处可微，在处连续可微，线性独立，且存在，满足条件：和，j = 1，2，p，则存在，使得 i = 1，2，m （松弛条件）在这里，也是影子价格。松弛条件的意义：假设在处，这意味着在最优处，第i种资源有多余的。因此，影子价格为0；若，这意味着在最优处，第i种资源是紧缺的，是一个瓶颈，故其影子价格大于0。例1：引入与无约束极值问题同样的Lagrange函数，则它的T-K条件是 i = 1，2，m （松弛条件）例2其T-K条件是 i = 1，2，m（松弛条件）例3其T-K条件是 i = 1，2，m（松弛条件）例4其T-K条件是 i = 1，2，m（松弛条件）3.4 影子价格现在以线性规划为例，解释影子价格的经济意义。下列一对线性规划称为互为对偶的规划：（A） （B） 在经济学中，互称为影子价格。例：某厂生产甲、乙两种产品，需要先后经过两种机床加工。甲产品在机床1上所需加工工时为3，在机床2上为3；乙产品在机床1上所需加工工时为1，在机床2上为4；机床1、2的可用工时分别为48、120；甲、乙产品的利润分别为5、6。问题1 甲、乙产品各生产多少，能使利润最大？问题2 若将机床出租，问租金至少是多少？解：设产品产量为x1，x2；机