2010年高考数学冲刺复习精品资料（5大专题）.doc

您身边的志愿填报指导专家2010年高考数学冲刺复习资料（共分五大专题）专题一：三角与向量的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】三角函数与平面的向量的综合主要体现为交汇型，在高考中，主要出现在解答题的第一个试题位置上，其难度中等偏下，分值一般为12分，交汇性主要体现在：三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间都有着不同程度的交汇，在高考中是一个热点.如08年安徽理科第5题(5分)，考查三角函数的对称性与向量平移、08年山东文第8题理第15题(5分)考查两角和与差与向量垂直、08福建文理第17题(12分)考查三角函数的求值与向量积、07的天津文理第15题(4分)考查正余弦定理与向量数量积等.根据2009年考纲预计在09年高考中解答题仍会涉及三角函数的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质、向量的数量积、共线(平行)与垂直的充要条件条件主要考查题型：(1)考查纯三角函数函数知识，即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式，再求三角函数的值或研究三角函数的图象及性质；(2)考查三角函数与向量的交汇，一般是先利用向量知识建立三角函数关系式，再利用三角函数知识求解；(3)考查三角函数知识与解三角形的交汇，也就是将三角变换公式与正余弦定理交织在一起.【考试要求】1理解任意角的正弦、余弦、正切的定义了解余切、正割、余割的定义掌握同角三角函数的基本关系式掌握正弦、余弦的诱导公式了解周期函数与最小正周期的意义2掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式3能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明4理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+)的简图，理解A，的物理意义5掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形6掌握向量的加法和减法掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件7了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算8掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件9掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式【考点透视】向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”，即可以象数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“角”为自变量的函数，函数值体现为实数，因此平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性.主要考点如下：1考查三角式化简、求值、证明及求角问题.2考查三角函数的性质与图像，特别是y=Asin(wx+j)的性质和图像及其图像变换.3考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.4考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算.5考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直的充要条件等问题.6考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题.【典例分析】题型一三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.【例1】把函数ysin2x的图象按向量(，3)平移后，得到函数yAsin(xj)(A0，0，|j|)的图象，则j和B的值依次为（ ）A，3B，3C，3D，3【分析】根据向量的坐标确定平行公式为，再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择.【解析1】由平移向量知向量平移公式，即，代入ysin2x得y3sin2(x)，即到ysin(2x)3，由此知j，B3，故选C.【解析2】由向量(，3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向左平移个单位，再向下平移3个单位，由此可得函数的图象为ysin2(x)3，即ysin(2x)3，由此知j，B3，故选C.【点评】此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键，也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小.题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查.【例2】已知A、B、C为三个锐角，且ABC.若向量(22sinA，cosAsinA)与向量(cosAsinA，1sinA)是共线向量.（）求角A；（）求函数y2sin2Bcos的最大值.【分析】首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A角的正弦值，再根据角的范围即可解决第()小题；而第()小题根据第()小题的结果及A、B、C三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式，再根据B的范围求最值.【解】（）、共线，(22sinA)(1sinA)(cosAsinA)(cosAsinA)，则sin2A，又A为锐角，所以sinA，则A.（）y2sin2Bcos2sin2Bcos2sin2Bcos(2B)1cos2Bcos2Bsin2Bsin2Bcos2B1sin(2B)1.B(0，)，2B(，)，2B，解得B，ymax2.【点评】本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定B角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.题型三三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.【例3】已知向量(3sin,cos)，(2sin，5sin4cos)，(，2)，且（）求tan的值；（）求cos()的值【分析】第()小题从向量垂直条件入手，建立关于的三角方程，再利用同角三角函数的基本关系可求得tan的值；第()小题根据所求得的tan的结果，利用二倍角公式求得tan的值，再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果【解】（），0而（3sin，cos），(2sin, 5sin4cos)，故6sin25sincos4cos20 由于cos0，6tan25tan40解之，得tan，或tan（，2），tan0，故tan（舍去）tan（）（，2），（，）由tan，求得tan，tan2（舍去）sin，cos，cos()coscossinsin【点评】本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定，再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第（）小题的解答中用到“弦化切”的思想方法，这是解决在一道试题中同时出现“切函数与弦函数”关系问题常用方法.题型四三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质|22，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.【例3】已知向量(cos,sin)，(cos,sin)，|.()求cos()的值；()若0，且sin，求sin的值.【分析】利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第()小题；而第()小题则可变角()，然后就须求sin()与cos即可.【解】()|，222，将向量(cos,sin)，(cos,sin)代入上式得122(coscossinsin)12，cos().()0，0，由cos()，得sin()，又sin，cos，sinsin()sin()coscos()sin.点评：本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.本题解答中要注意两点：(1)化|为向量运算|2()2；(2)注意解的范围.整个解答过程体现方程的思想及转化的思想.题型五三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.20090318【例5】设函数f(x).其中向量(m，cosx)，(1sinx，1)，xR，且f()2.（）求实数m的值；（）求函数f(x)的最小值.分析：利用向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的“数量关系”，从而，建立函数f(x)关系式，第（）小题直接利用条件f()2可以求得，而第()小题利用三角函数函数的有界性就可以求解.解：（）f(x)m(1sinx)cosx，由f()2，得m(1sin)cos2，解得m1.()由（）得f(x)sinxcosx1sin(x)1，当sin(x)1时，f(x)的最小值为1.点评：平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解六、解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标，要求根据向量的关系解答相关的问题.【例6】已知角A、B、C为ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若(cos，sin)，(cos，sin)，a2，且（）若ABC的面积S，求bc的值（）求bc的取值范围【分析】第()小题利用数量积公式建立关于角A的三角函数方程，再利用二倍角公式求得A角，然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于b、c的方程组求取bc的值；第()小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于B的三角函数式，进而求得bc的范围.【解】（）(cos，sin)，(cos，sin)，且，cos2sin2，即cosA，又A(0，)，A.又由SABCbcsinA，所以bc4，由余弦定理得：a2b2c22bccosb2c2bc，16(bc)2，故bc4.（）由正弦定理得：4，又BCpA，bc4sinB4sinC4sinB4sin(B)4sin(B)，0B，则B，则sin(B)1，即bc的取值范围是(2，4.点评本题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答本题主要有两处要注意：第()小题中求bc没有利用分别求出b、c的值为解，而是利用整体的思想，使问题得到简捷的解答；(2)第()小题的求解中特别要注意确定角B的范围.【专题训练】一、选择题1已知(cos40，sin40)，(cos20，sin20)，则（ ）A1BCD2将函数y2sin2x的图象按向量(，)平移后得到图象对应的解析式是（ ）A2cos2xB2cos2xC2sin2xD2sin2x3已知ABC中，若0，则ABC是（ ）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D任意三角形4设(,sina)，(cosa,)，且，则锐角a为（ ）A30B45C60D755已知(sin，)，(1，)，其中(，)，则一定有（ ）ABC与夹角为45D|6已知向量(6，4)，(0，2),l，若C点在函数ysinx的图象上,实数l（ ）ABCD7由向量把函数ysin(x)的图象按向量(m，0)(m0)平移所得的图象关于y轴对称，则m的最小值为（ ）ABCD8设02时，已知两个向量(cos，sin)，(2sin，2cos)，则向量长度的最大值是（ ）ABC3D29若向量(cosa,sina)，(cosb,sinb)，则与一定满足（ ）A与的夹角等于abBCD()()10已知向量(cos25,sin25)，(sin20,cos20)，若t是实数，且t，则|的最小值为（ ）AB1CD11O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：l()，l(0,)，则直线AP一定通过ABC的（ ）A外心B内心C重心D垂心2009031812对于非零向量我们可以用它与直角坐标轴的夹角a,b(0ap,0bp)来表示它的方向，称a,b为非零向量的方向角，称cosa,cosb为向量的方向余弦，则cos2acos2b（ ）A1BCD0二、填空题13已知向量(sinq，2cosq)，(,).若，则sin2q的值为_14已知在OAB(O为原点)中，(2cosa，2sina)，(5cosb，5sinb)，若5，则SAOB的值为_.15将函数f(x)tan(2x)1按向量a平移得到奇函数g(x)，要使|a|最小，则a_.16已知向量(1，1)向量与向量夹角为，且1.则向量_三、解答题17在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若k(kR).（）判断ABC的形状；（）若c，求k的值18已知向量(sinA,cosA)，(,1)，1，且为锐角.()求角A的大小；()求函数f(x)cos2x4cosAsinx(xR)的值域19在ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量(1，2sinA)，(sinA，1cosA)，满足，bca.()求A的大小；()求sin(B)的值20已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（3cos，3sin）.（）若(，0)，且|，求角的大小；（）若，求的值21ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，(2bc，a)，(cosA，cosC)，且()求角A的大小；()当y2sin2Bsin(2B)取最大值时，求角的大小.22已知(cosxsinx，sinx)，(cosxsinx，2cosx)，（）求证：向量与向量不可能平行；（）若f(x)，且x,时，求函数f(x)的最大值及最小值【专题训练】参考答案一、选择题1B解析：由数量积的坐标表示知cos40sin20sin40cos20sin60.2D 【解析】y2sin2xy2sin2（x），即y2sin2x.3A 【解析】因为cosBAC0，BAC为钝角.4B 【解析】由平行的充要条件得sinacosa0，sin2a1，2a90，a45.5B 【解析】sin|sin|，(，)，|sin|sin，0，6A 【解析】l(6，42l)，代入ysinx得，42lsin1，解得l.7B 【解析】考虑把函数ysin(x)的图象变换为ycosx的图象，而ysin(x)cos(x)，即把ycos(x)的图象变换为ycosx的图象，只须向右平行个单位，所以m，故选B.8C 【解析】|3.9D 【解析】(cosacosb,sinasinb)，(cosacosb,sinasinb)，()()cos2acos2bsin2asin2b0，()()10C 【解析】|2|2t2|22t1t22t(sin20cos25cos20sin25)t2t1(t)2，|，|min.11C 【解析】设BC的中点为D，则2，又由l()，2l，所以与共线，即有直线AP与直线AD重合，即直线AP一定通过ABC的重心12A 【解析】设(x,y)，x轴、y轴、z轴方向的单位向量分别为(1,0)，(0,1)，由向量知识得cosa，cosb，则cos2acos2b1.二、填空题13 【解析】由，得sinq2cosq,tanq4，sin2q14 【解析】510cosacobs10sinasinb510cos(ab)5cos(ab)，sinAOB，又|2，|5，SAOB2515（，1） 【解析】要经过平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)tan(2x)1的图象向下平移1个单位，再向右平移(kZ)个单位即应按照向量(，1) (kZ)进行平移要使|a|最小，16(1，0)或(0，1) 【解析】设(x，y)，由1，有xy1 ，由与夹角为，有|cos，|1，则x2y21 ，由解得或 即(1，0)或(0，1) 三、解答题17【解】（）bccosA，cacosB，又，bccosAcacosB，由正弦定理，得sinBcosAsinAcosB，即sinAcosBsinBcosA0，sin(AB)0AB，AB0，即AB，ABC为等腰三角形.（）由（）知，bccosAbc，c，k1.18【解】()由题意得sinAcosA1，2sin(A)1，sin(A)，由A为锐角得A，A.()由（）知cosA，所以f(x)cos2x2sinx12sin2x2sinx2(sinx)2，因为xR，所以sinx1,1，因此，当sinx时，f(x)有最大值当sinx1时，f(x)有最小值3，所以所求函数f(x)的值域是3，19【解】()由，得2sin2A1cosA0，即2cos2AcosA10，cosA或cosA1.A是ABC内角，cosA1舍去，A.()bca，由正弦定理，sinBsinCsinA，BC，sinBsin(B)，cosBsinB，即sin(B)20【解】（）由已知得：，则sincos，因为(，0)，.（）由(3cos4)3cos3sin(3sin4)0，得sincos，平方，得sin2.而2sincossin221【解】()由，得0，从而(2bc)cosAacosC0，由正弦定理得2sinBcosAsinCcosAsinAcosC02sinBcosAsin(AC)0，2sinBcosAsinB0，A、B(0，)，sinB0，cosA，故A.()y2sin2B2sin(2B)(1cos2B)sin2Bcoscos2Bsin1sin2B cos2B1sin(2B).由()得，0B，2B，当2B，即B时，y取最大值2.22【解】（）假设，则2cosx(cosxsinx)sinx(cosxsinx)0，2cos2xsinxcosxsin2x0，2sin2x0，即sin2xcos2x3，(sin2x)3，与|(sin2x)|矛盾，故向量与向量不可能平行（）f(x)(cosxsinx)(cosxsinx)sinx2cosxcos2xsin2x2sinxcosxcos2xsin2x(cos2xsin2x)(sin2x)，x，2x，当2x，即x时，f(x)有最大值；当2x，即x时，f(x)有最小值1专题二：函数与导数的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程，又是学习高等数学的基础，是高考数学中极为重要的内容，纵观全国及各自主命题省市近三年的高考试题，函数与导数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，分值26分左右，如08年福建文11题理12题(5分)为容易题，考查函数与导函数图象之间的关系、08年江苏14题(5分)为容易题，考查函数值恒成立与导数研究单调性、08年北京文17题(12分)为中档题考查函数单调性、奇偶性与导数的交汇、08年湖北理20题(12分)为中档题，考查利用导数解决函数应用题、08年辽宁理22题(12分)为中档题，考查函数利用导数确定函数极值与单调性问题等.预测2009年关于函数与导数的命题趋势，仍然是难易结合，既有基本题也有综合题，函数与导数的交汇的考查既有基本题也有综合题，基本题以考查基本概念与运算为主，考查函数的基础知识及函数性质及图象为主，同时考查导数的相关知识，知识载体主要是三次函数、指数函数与对数函数综合题.主要题型：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；(2)考查以函数为载体的实际应用题，主要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解.【考试要求】1了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法2了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数3掌握有理指数幂的运算性质掌握指数函数的概念、图象和性质4掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质5能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题6了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念7熟记基本导数公式（c，xm（m为有理数），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数8理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值【考点透视】高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合.其主要考点：（1）考查利用导数研究函数的性质（单调性、极值与最值）；（2）考查原函数与导函数之间的关系；（3）考查利用导数与函数相结合的实际应用题.从题型及考查难度上来看主要有以下几个特点：以填空题、选择题考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数的极值与最值；与导数的几何意义相结合的函数综合题，利用导数求解函数的单调性或求单调区间、最值或极值，属于中档题；利用导数求实际应用问题中最值，为中档偏难题.【典例分析】题型一导函数与原函数图象之间的关系如果原函数定义域内可导，则原函数的图象f(x)与其导函数f(x)的图象有密切的关系：1导函数f(x)在x轴上、下方图象与原函数图象上升、下降的对应关系： （1）若导函数f(x)在区间D上恒有f(x)0，则f(x)在区间D上为增函数，由此进一步得到导函数f(x)图象在x轴上方的图象对应的区间D为原函数图象中的上升区间D； （2）若导函数f(x)在区间D上恒有f(x)0，则f(x)在区间D上为减函数，由此进一步得到导函数f(x)图象在x轴下方的图象对应的区间为原函数图象中的下降区间.2导函数f(x)图象的零点与原函数图象的极值点对应关系：导函数f(x)图象的零点是原函 数的极值点.如果在零点的左侧为正，右侧为负，则导函数的零点为原函数的极大值点； 如果在零点的左侧为负，右侧为正，则导函数的零点为原函数的极小值点.【例1】如果函数yf(x)的图象如右图，那么导函数yf(x)的图象可能是（ ）【分析】根据原函数yf(x)的图象可知，f(x)有在两个上升区间，有两个下降区间，且第一个期间的上升区间，然后相间出现，则反映在导函数图象上就是有两部分图象在x轴的上方，有两部分图象在x轴的下方，且第一部分在x轴上方，然后相间出现.【解】由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正负正负,只有答案A满足.【点评】本题观察图象时主要从两个方面：(1)观察原函数f(x)的图象哪些的上升区间？哪些下降区间？；(2)观察导函数f(x)的图象哪些区间在大于零的区间？哪些部分昌小于零的区间？【例2】设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是（ ）【分析】先观察所给出的导函数yf(x)的图象的正负区间，再观察所给的选项的增减区间，二者结合起来即可作出正确的选择.本题还可以通过确定导函数yf(x)的图象零点0、2对应原函数的极大或极小值点来判断图象.【解法1】由yf(x)的图象可以清晰地看出，当x(0,2)时，yf(x)0，则f(x)为减函数，只有C项符合，故选C.【解法2】在导函数f(x)的图象中，零点0的左侧函数值为正，右侧为负，由可知原函数f(x)在x0时取得极大值.又零点2的左侧为负，右侧为正，由此可知原函数f(x)在x0时取得极小值，只有C适合，故选C.【点评】(1)导函数值的符号决定函数的单调性为“正增、负减”，导函数的零点确定原函数的极值点；(2)导函数的增减性与函数增减性之间没有直接的关系，但它刻画函数图象上的点的切线斜率的变化趋势.题型二利用导数求解函数的单调性问题20090318若f(x)在某区间上可导，则由f(x)0(f(x)0)可推出f(x)为增（减）函数，但反之则不一定，如：函数f(x)x3在R上递增，而f(x)0.f(x)在区间D内单调递增(减)的充要条件是f(x0)0(0)，且f(x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单调性的主要题型：(1)根据函数解析式，求函数的单调区间；(2)根据函数的单调性函数求解参数问题；(3)求解与函数单调性相关的其它问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.【例3】(08全国高考)已知函数f(x)x3ax2x1，aR()讨论函数f(x)的单调区间；()设函数f(x)在区间(，)内是减函数，求a的取值范围【分析】第（）小题先求导函数f(x)，由于含有参数a，根据判别式确定对a的分类标准，进而确定单调区间；第（）小题根据第（）小题的结果，建立关于a的不等式组，由此可确定a的范围.【解】()由f(x)x3ax2x1，求导得f(x)3x22ax1，当a23时，4(a23)0，f(x)0，f(x)在R上递增，当a23，f(x)求得两根为x，则函数f(x)在区间(，)上递增，在区间(，)上递减，在区间(，)上递增.()由()得，且a23，解得a2.【点评】本题是利用导数求解函数单调性问题的两类最典型的题型.由于函数解析式中含有字母参数a，因此解答第()小题时注意分类讨论.第()小题的解答是根据第()小题的结果，利用集合集合间的关系建立不等式来求解的.第()小题还是利用函数在已知区间上减函数建立不等式来求解.题型三求函数的极值问题极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点，同时不可导的点可能是极值点.因此函数的极值点只能在导数为0的点或不可导的点产生.利用导数求函数的极值主要题型：(1)根据函数解析式求极值；(2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要注意准确应用利用导数求极值的原理求解.【例4】(08四川)设x1和x2是函数f(x)x5ax3bx1的两个极值点.()求a和b的值；()略.【分析】先求导函数f(x)，然后由x1和x2是f(x)0的两个根建立关于a、b的方程组求解.【解】因为f(x)5x43ax2b，由x1和x2是函数f(x)x5ax3bx1的两个极值点，所以f(1)0，且f(2)0，即，解得a，b20.【点评】解答本题要明确极值点与导函数方程之间的关系：对于三次函数极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点.本题解得充分利用上述关系，通过建立方程组求得了a和b的值.【例5】(08陕西高考)已知函数f(x)(c0，且c1，kR）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是xc()求函数f(x)的另一个极值点；()求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求Mm1时k的取值范围【分析】先求导函数f(x)，然后令f(c)0及一元二次方程根与系数的关系可解决第（）小题；而解答第（）小题须对k与c进行分类讨论进行解答.【解】()f(x)，由题意知f(c)0，即得c2k2cck0，即c1（*）c0，k0由f(0)0，得kx22xck0，由韦达定理知另一个极值点为x1()由（*）式得c1，当c1时，k0；当0c1时，k2()当k0时，f(x)在(，c)和(1，)内是减函数，在(c，1)内是增函数f(1)0，mf(c)0，由Mm1及k0，解得k.()当k2时，f(x)在(，c)和(1，)内是增函数，在(c，1)内是减函数Mf(1)0，m0，而Mm11恒成立综上可知，所求的取值范围为(，2)，)【点拨】第()小题解答的关键是利用一元二次方程的韦达定理.第()小题的是与极值相关的解决恒成立问题，因此求函数在定义域上的极值是解答的关键.题型四求解函数的最值问题函数在闭区间上的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得结果，因此函数在闭区间a，b上的端点函数值一定不是极值，但它可能是函数的最值.同时，函数的极值不一定是函数的最值，最值也不一定是极值.另外求解函数的最值问题，还可以直接结合函数的单调性来求解.利用导数求解函数最值问题的主要题型：(1)根据函数的解析式求函数的最大值；(2)根据函数在一个区间上的最值情况求解参数问题.【例6】(08浙江高考)已知a是实数，函数f(x)x2(xa).()略；（）求f(x)在区间0，2上的最大值.【分析】首先求函数f(x)，再解方程f(x)0，得两个根，而两根含有参数，但不知两根的大小，因此须分类讨论讨论函数f(x)的单调区间，进而确定f(x)在给定区间上的最大值.【解】()f(x)3x22ax令f(x)0，解得x10，x2当0，即a0时，f(x)在0，2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a当2，时，即a3时，f(x)在0，2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0当02，即0a3，f(x)在0，上单调递减，在，2上单调递增，从而f(x)max，综上所述，f(x)max.【点评】本题由于函数解析式中含有参数，因此方程f(x)0的根含有参数，在确定函数单调区间时要注意对参数a的讨论.本题的解答不是通过先确定函数在区间上的极值，再比较其与区间端点值的大小来求解的，而是利用函数单调性来求函数在各单调区间上的最值，再比较这些最值大小来求解的.题型五导数与数学建模的问题此类试题主要是利用函数、不等式与导数相结合设计实际应用问题，旨在考查考生在数学应用方面阅读、理解陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，这是高考中的一个热点.【例7】(08湖北)水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为V(t)，()该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i1ti表示第1月份（i1，2，12）,同一年内哪几个月份是枯水期？()求一年内该水库的最大蓄水量（取e2.7计算）.20090318【分析】根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式建立不等式可求得第（）小题；而第（）小题则须先求函数V(t)，然后利用导数与函数最值关系求解.【解】()当0t10时，V(t)(t214t40)e5050，化简得t214t400，解得t4或t10，又0t10，故0t4.当10t12时，V(t)4(t10)(3t41)5050，化简得(t10)(3t41)0，解得10t，又10t12,故10t12.综合得0t4,或10t12；故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月.()由()知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.由V(t)e(tt4)e(t2)(t8)令V(t)0，解得t8(t2舍去).当t变化时，V(t)与V(t)的变化情况如下表：t(4，8)8(8，10)V(t)0V(t) 极大值由上表，V(t)在t8时取得最大值V(8)8e250108.32(亿立方米).故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米.【点评】本题第()主要是根据题设条件给出的函数建立不等式，再解不等式，但要注意分段求解.第()主要是通过求导取得极值，最后再求得最值的，但要注意要根据第()确定函数定义域.【例8】（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=x2x+8 (0x120).已知甲、乙两地相距100千米.（）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【分析】第（）小题直接根据所给函数的解析式进行计算；第（）小题须根据条件建立耗油量为h(x)关于行驶速度x的函数关系式，再利用导数的知识进行解答.【解】（I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了=2.5小时，要耗没(40340+8)2.5=17.5（升）.答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升. （II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)=(x3x+8)=x2+(0x120)，h(x)=(0x120)，令h(x)=0得x=80，当x(0,80)时，h(x)0,h(x)是减函数；当x(80,120)时，h(x)0,h(x)是增函数,当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25,因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.【点评】解答类似于本题的问题时，可从给定的数量关系中选取一个恰当的变量，建立函数模型，然后根据目标函数的结构特征(非常规函数)，确定运用导数最值理论去解决问题.【专题训练】一、选择题1函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)有两个极值点x1，x2，则x1x2（ ）A9B9C1D12函数f(x)x3ax1在(，1)上为增函数，在(1，1)上为减函数，则f(1)为（ ）AB1CD13函数f(x)x33axa在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为（ ）A0a1B0a1C1a1D0a4已知函数f(x)x2(axb)(a，bR)在x2时有极值，其图象在点(1，(1)处的切线与直线3xy0平行，则函数f(x)的单调减区间为（ ）A(，0)B(0，2)C(2，) D(，)5函数yf(x)在定义域(，3)内可导，其图像如图所示.记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为（ ）A，12，3)B1，C，1，2)D(，3)6设函数f(x)sin(x)1(0)的导数f(x)的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是（ ）AxBxCxDx7函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如下图所示.则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点（ ）A1个B2个C3个D4个8函数f(x)(xR)的图象如图所示，则函数g(x)f(logax)(0a1)的单调减区间是（ ）A0，B(，0)，)C，1D，8函数yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数（ ）A(，)B(，2)C(，)D(2，3)9下列图象中，有一个是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR，a0)的导函数f(x)的图象，则f(1)等于（ ） ABCD或11已知对任意实数，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0时（ ）Af(x)0，g(x)0Bf(x)0，g(x)0Cf(x)0，g(x)0Df(x)0，g(x)012若函数yf(x)在R上可导，且满足不等式xf(x)f(x)恒成立，且常数a，b满足ab，则下列不等式一定成立的是（ ）Aaf