高中数学 第二章 推理与证明测评B 新人教A版选修22.doc

【优化设计】2015-2016学年高中数学 第二章 推理与证明测评b 新人教a版选修2-2 (高考体验卷)(时间:90分钟满分:100分)第卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014山东高考)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()a.方程x3+ax+b=0没有实根b.方程x3+ax+b=0至多有一个实根c.方程x3+ax+b=0至多有两个实根d.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析:因为至少有一个的反面为一个也没有,所以要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.答案:a2.(2014北京高考)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有()a.2人b.3人c.4人d.5人解析:用a,b,c分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得a的学生最多只有一人,语文成绩得b的也最多只有1人,得c的也最多只有1人,所以这组学生的成绩为(ac),(bb),(ca)满足条件,故学生最多为3人.答案:b3.(2014湖北高考)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长l与高h,计算其体积v的近似公式vl2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么,近似公式vl2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为()a.b.c.d.解析:由题意可知:l=2r,即r=,圆锥体积v=sh=r2h=h=l2hl2h,故,故选b.答案:b4.(2013广东高考)设l为直线,是两个不同的平面.下列命题中正确的是()a.若l,l,则b.若l,l,则c.若l,l,则d.若,l,则l解析:如图,在正方体a1b1c1d1-abcd中,对于a,设l为aa1,平面b1bcc1,平面dcc1d1为,.a1a平面b1bcc1,a1a平面dcc1d1,而平面b1bcc1平面dcc1d1=c1c;对于c,设l为a1a,平面abcd为,平面dcc1d1为.a1a平面abcd,a1a平面dcc1d1,而平面abcd平面dcc1d1=dc;对于d,设平面a1abb1为,平面abcd为,直线l为d1c1,平面a1abb1平面abcd,d1c1平面a1abb1,而d1c1平面abcd.故a,c,d都是错误的.而对于b,根据垂直于同一直线的两平面平行,知b正确.答案:b5.(2013辽宁高考)已知点o(0,0),a(0,b),b(a,a3).若oab为直角三角形,则必有()a.b=a3b.b=a3+c.(b-a3)=0d.|b-a3|+=0解析:若oba为直角,则=0,即a2+(a3-b)a3=0,又a0,故b=a3+;若oab为直角时,则=0,即b(a3-b)=0,得b=a3;若aob为直角,则不可能.所以b-a3-=0或b-a3=0,故选c.答案:c6.(2013浙江高考)设a,br,定义运算“”和“”如下:ab=ab=若正数a,b,c,d满足ab4,c+d4,则()a.ab2,cd2b.ab2,cd2c.ab2,cd2d.ab2,cd2解析:由题意知,运算“”为两数中取小,运算“”为两数中取大,由ab4知,正数a,b中至少有一个大于等于2.由c+d4知,c,d中至少有一个小于等于2,故选c.答案:c7.(2013陕西高考)设x表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,有()a.-x=-xb.=xc.2x=2xd.x+=2x解析:令x=1.1,-1.1=-2,而-1.1=-1,所以a错;令x=-=0,=-1,所以b错;令x=0.5,2x=1,2x=0,所以c错;故选d.答案:d8.(2013四川高考)设函数f(x)=(ar,e为自然对数的底数),若存在b0,1使f(f(b)=b成立,则a的取值范围是()a.1,eb.1,1+ec.e,1+ed.0,1解析:当a=0时,f(x)=为增函数,b0,1时,f(b)1,.f(f(b)1.不存在b0,1使f(f(b)=b成立,故d错;当a=e+1时,f(x)=,当b0,1时,只有b=1时,f(x)才有意义,而f(1)=0,f(f(1)=f(0),显然无意义,故b,c错.故选a.答案:a9.(2012浙江高考)设a0,b0,e是自然对数的底数,()a.若ea+2a=eb+3b,则abb.若ea+2a=eb+3b,则abd.若ea-2a=eb-3b,则ab.故选a.答案:a10.(2012江西高考)观察下列事实:|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为()a.76b.80c.86d.92解析:由已知条件得,|x|+|y|=n(nn*)的不同整数解(x,y)的个数为4n,所以|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为80,故选b.答案:b第卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在题中的横线上)11.(2014陕西高考)观察分析下表中的数据:多面体面数(f)顶点数(v)棱数(e)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中f,v,e所满足的等式是.解析:因为5+6-9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,故可猜想f+v-e=2.答案:f+v-e=212.(2014课标全国高考)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过a,b,c三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过b城市;乙说:我没去过c城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.解析:根据甲、乙、丙说的可列表得abc甲乙丙答案:a13.(2015山东高考)观察下列各式:=40;=41;=42;=43;照此规律,当nn*时,+=.解析:观察各式有如下规律:等号左侧第n个式子有n项,且上标分别为0,1,2,n-1,第n行每项的下标均为2n-1.等号右侧指数规律为0,1,2,n-1.所以第n个式子为+=4n-1.答案:4n-114.(2014陕西高考)已知f(x)=,x0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x),nn*,则f2 014(x)的表达式为.解析:依题意,f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x)=f,f3(x)=f(f2(x)=f,由此可猜测fn(x)=,故f2 014(x)=.答案:15.(2015福建高考)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2xn(nn*),其中xk(k=1,2,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x1x2x7的码元满足如下校验方程组:其中运算定义为:00=0,01=1,10=1,11=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于.解析:若1k3,则x4=1,x5=1,x6=0,x7=1,不满足x4x5x6x7=0;若k=4,则二元码为1100101,不满足x1x3x5x7=0;若k=5,则二元码为1101001,满足方程组,故k=5.答案:5三、解答题(本大题共5小题,共50分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题8分)(2015安徽高考)设nn*,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列xn的通项公式;(2)记tn=,证明:tn.(1)解:y=(x2n+2+1)=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2,从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标xn=1-.(2)证明:由题设和(1)中的计算结果知tn=.当n=1时,t1=.当n2时,因为,所以tn.综上可得对任意的nn*,均有tn.17.(本小题8分)(2014山东高考)在等差数列an中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=,记tn=-b1+b2-b3+b4-+(-1)nbn,求tn.解:(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d),即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,所以数列an的通项公式为an=2n.(2)由题意知bn=n(n+1),所以tn=-12+23-34+(-1)nn(n+1).因为bn+1-bn=2(n+1),可得当n为偶数时,tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+(-bn-1+bn)=4+8+12+2n=,当n为奇数时,tn=tn-1+(-bn)=-n(n+1)=-.所以tn=18.(本小题10分)(2014北京高考)如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,侧棱垂直于底面,abbc,aa1=ac=2,bc=1,e,f分别是a1c1,bc的中点.(1)求证:平面abe平面b1bcc1;(2)求证:c1f平面abe;(3)求三棱锥e-abc的体积.(1)证明:在三棱柱abc-a1b1c1中,bb1底面abc.所以bb1ab.又因为abbc,所以ab平面b1bcc1.所以平面abe平面b1bcc1.(2)证明:取ab的中点g,连接eg,fg.因为e,f分别是a1c1,bc的中点,所以fgac,且fg=ac.因为aca1c1,且ac=a1c1,所以fgec1,且fg=ec1.所以四边形fgec1为平行四边形.所以c1feg.又因为eg平面abe,c1f平面abe,所以c1f平面abe.(3)解:因为aa1=ac=2,bc=1,abbc,所以ab=.所以三棱锥e-abc的体积v=sabcaa1=12=.19.(本小题12分)(2015江苏高考)已知集合x=1,2,3,yn=1,2,3,n(nn*),设sn=(a,b)|a整除b或b整除a,ax,byn.令f(n)表示集合sn所含元素的个数.(1)写出f(6)的值;(2)当n6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.解:(1)f(6)=13.(2)当n6时,f(n)=(tn*).下面用数学归纳法证明:当n=6时,f(6)=6+2+=13,结论成立;假设n=k(k6)时结论成立,那么n=k+1时,sk+1在sk的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+2+3=(k+1)+2+,结论成立;2)若k+1=6t+1,则k=6t,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+1=(k+1)+2+,结论成立;3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+2=(k+1)+2+,结论成立;4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+2=(k+1)+2+,结论成立;5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+2=(k+1)+2+,结论成立;6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+1=(k+1)+2+,结论成立.综上所述,结论对满足n6的自然数n均成立.20.(本小题12分)(2015陕西高考)设fn(x)是等比数列1,x,x2,xn的各项和,其中x0,nn,n2.(1)证明:函数fn(x)=fn(x)-2在内有且仅有一个零点(记为xn),且xn=;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为gn(x),比较fn(x)和gn(x)的大小,并加以证明.(1)证明:fn(x)=fn(x)-2=1+x+x2+xn-2,则fn(1)=n-10,fn=1+-2=-2=-0,故fn(x)在内单调递增,所以fn(x)在内有且仅有一个零点xn.因为xn是fn(x)的零点,所以fn(xn)=0,即-2=0,故xn=.(2)解法一:由假设,gn(x)=.设h(x)=fn(x)-gn(x)=1+x+x2+xn-,x0.当x=1时,fn(x)=gn(x).当x1时,h(x)=1+2x+nxn-1-.若0xxn-1+2xn-1+nxn-1-xn-1=xn-1-xn-1=0.若x1,h(x)xn-1+2xn-1+nxn-1-xn-1=xn-1-xn-1=0.所以h(x)在(0,1)上递增,在(1,+)上递减,所以h(x)h(1)=0,即fn(x)gn(x).综上所述,当x=1时,fn(x)=gn(x);当x1时,fn(x)0.当x=1时,fn(x)=gn(x).当x1时,用数学归纳法可以证明fn(x)gn(x).当n=2时,f2(x)-g2(x)=-(1-x)20,所以f2(x)g2(x)成立.假设n=k(k2)时,不等式成立,即fk(x)gk(x).那么,当n=k+1时,fk+1(x)=fk(x)+xk+10),则hk(x)=k(k+1)xk-k(k+1)xk-1=k(k+1)xk-1(x-1).所以,当0x1时,hk(x)1时,hk(x)0,hk(x)在(1,+)上递增.所以hk(x)hk(1)=0,从而gk+1(x).故fk+1(x)gk+1(x),