高中数学 2.4.2抛物线的简单几何性质课后习题 新人教A版选修21.docVIP

2.4.2抛物线的简单几何性质课时演练促提升a组1.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点o,并且经过点m(2,y0).若点m到该抛物线焦点的距离为3,则|om|=()a.2b.2c.4d.2解析:由题意设抛物线方程为y2=2px(p0),则点m到焦点的距离为xm+=2+=3,p=2.抛物线方程为y2=4x.点m(2,y0)在抛物线y2=4x上,=42.y0=2.|om|=2.答案:b2.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点q,若过点q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是()a.b.-2,2c.-1,1d.-4,4解析:设直线方程为y=k(x+2),与抛物线方程联立,得消去x,得到关于y的方程ky2-8y+16k=0.当k=0时,上述方程有解,所以直线与抛物线有公共点;当k0时,应有0,即64-64k20,解得-1k1且k0.综上可知,l斜率的取值范围是-1,1.答案:c3.经过抛物线y2=2px(p0)的焦点作一直线交抛物线于a(x1,y1),b(x2,y2)两点,则的值是()a.4b.-4c.p2d.-p2解析:采用特例法,当直线与x轴垂直时,易得a,b,故=-4.答案:b4.已知抛物线y2=4x的焦点为f,过点f且倾斜角等于的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点a,则|af|的长为()a.2b.4c.6d.8解析:由已知得直线af的方程为y=(x-1).代入y2=4x,得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=.当x=3时,y=2;当x=时,y=-,则a(3,2),故|af|=3+1=4.答案:b5.过抛物线y2=2px的焦点f的直线与抛物线交于a,b两点,若a,b在准线上的射影为a1,b1,则a1fb1等于()a.45b.90c.60d.120解析:如图,由抛物线定义知|aa1|=|af|,|bb1|=|bf|,所以aa1f=afa1.又因为aa1f=a1fo,所以afa1=a1fo,同理bfb1=b1fo,所以afa1+bfb1=a1fo+b1fo=a1fb1.故a1fb1=90.答案:b6.ab是过抛物线x2=4y焦点的弦,且|ab|=10,则ab的中点的纵坐标为.解析:设a(x1,y1),b(x2,y2),则|ab|=y1+y2+p=y1+y2+2=10,即y1+y2=8,故ab的中点的纵坐标为4.答案:47.以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x+2=0相切,则这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是.解析:直线x+2=0即为抛物线的准线,依题意,圆心在抛物线上,圆心到准线的距离应等于它到定点的距离,该定点必为抛物线的焦点(2,0).答案:(2,0)8.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上,求这个正三角形的边长.解:如图,设正三角形oab的顶点a,b在抛物线上,且坐标分别为a(x1,y1),b(x2,y2),则=2px1,=2px2.oa=ob,即+2px1-2px2=0,整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.x10,x20,2p0,x1=x2.由此可得|y1|=|y2|,即线段ab关于x轴对称.由此得aox=30,y1=x1.与=2px1联立,解得y1=2p,ab=2y1=4p.9.已知抛物线的顶点在原点,x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为的直线l,被抛物线所截得的弦长为6,求抛物线的标准方程.解:当抛物线焦点在x轴正半轴上时,可设抛物线标准方程是y2=2px(p0),则焦点f,直线l为y=x-.设直线l与抛物线的交点a(x1,y1),b(x2,y2),过a,b分别向抛物线的准线作垂线aa1,bb1,垂足分别为a1,b1,则|ab|=|af|+|bf|=|aa1|+|bb1|=x1+x2+p=6,故x1+x2=6-p.由消去y,得=2px,即x2-3px+=0,则x1+x2=3p.代入式,得3p=6-p,解得p=.故所求抛物线的标准方程是y2=3x.当抛物线焦点在x轴负半轴上时,用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2=-3x.b组1.设抛物线c:y2=4x的焦点为f,过点f作直线交抛物线c于a,b两点,则aob的最小面积是()a.b.2c.4d.1解析:设ab的倾斜角为,由弦长公式得|ab|=.原点o到直线ab的距离d=sin ,saob=sin .当sin =1时,(saob)min=2,故选b.答案:b2.已知抛物线c:y2=8x的焦点为f,准线与x轴的交点为k,点a在c上且|ak|=|af|,则afk的面积为.解析:如图,y2=8x的焦点f(2,0),准线x=-2,k(-2,0).作ahkh交准线于点h,则|ah|=|af|.|ak|=|af|,则|ak|=|ah|,ahk为等腰直角三角形,则afk为等腰直角三角形,|af|=|kf|=4.safk=|af|kf|=8.答案:83.在直角坐标系xoy中,已知抛物线y2=2px(p0),过点(2p,0)作直线交抛物线于a(x1,y1),b(x2,y2)两点,给出下列结论:(1)oaob;(2)aob的最小面积为4p2;(3)x1x2=-4p2.其中正确的结论是.解析:设直线ab的方程为x=my+2p,代入y2=2px,得y2-2pmy-4p2=0,y1+y2=2pm,y1y2=-4p2.x1x2=(my1+2p)(my2+2p)=m2y1y2+2pm(y1+y2)+4p2.y1y2+x1x2=-4p2+m2(-4p2)+2pm(2pm)+4p2=0.oaob.saob=|2p|y1-y2|.而|y1-y2|=,显然,当m=0时,|y1-y2|min=4p,=4p2.故(1)(2)正确;y1y2=-4p2,x1x2=4p2.故(3)不正确.答案:(1)(2)4.rtaob的三个顶点都在抛物线y2=2px上,其中直角顶点o为原点,oa所在直线的方程为y=x,aob的面积为6,求该抛物线的方程.解:因为oaob,且oa所在直线的方程为y=x,所以ob所在直线的方程为y=-x.由得点a坐标,由得点b坐标为(6p,-2p).|oa|=|p|,|ob|=4|p|,soab=|oa|ob|=p2=6,所以p=.即该抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x.5.抛物线y=-与过点m(0,-1)的直线l