【志鸿全优设计】高中数学 第三章3.3.1 函数的单调性与导数讲解与例题 新人教A版选修11.doc

1 3 3 13 3 1 函数的单调性与导数函数的单调性与导数 问题导学问题导学 一 利用导数研究简单函数的单调性及求单调区间 活动与探究 1 1 函数y xcos x sin x在下面哪个区间内是增函数 a b 2 2 3 2 c d 2 3 3 2 5 2 2 求函数f x x2 ln x的单调区间 迁移与应用 1 证明函数f x 在区间 0 2 上是单调递增函数 ln x x 2 求函数f x 的单调区间 ex x 2 1 求函数f x 单调区间的步骤是 先确定定义域 再求出f x 最后通过解不等 式f x 0 和f x 0 求出单调区间 正确运用求导公式对函数进行求导 准确熟练 地解出不等式是求函数单调区间的 基本功 2 当函数的增减区间有多个时 区间之间不能用并集符号合并 也不能用 或 应 该用 隔开或用 和 3 如果在某个区间内恒有f x 0 则f x 是常数函数 如果在某个区间内只有有 限个点使f x 0 其余点恒有f x 0 则f x 仍为增函数 减函数的情形与增函数 的情形类似 二 原函数和导函数图象之间的关系 活动与探究 2 函数y f x 在定义域内可导 其图象如图所示 记y f x 的导函数为 3 2 3 y f x 则不等式f x 0 的解集是 a 2 3 1 3 1 b 1 1 2 4 3 8 3 c 1 2 3 2 1 2 d 3 2 1 1 2 4 3 8 3 3 迁移与应用 已知导函数f x 的下列信息 当 1 x 3 时 f x 0 当x 3 和x 1 时 f x 0 当x 1 和x 3 时 f x 0 试画出函数f x 图象的大致形状 2 注意图形语言 符号语言之间的转化及应用 在某个区间内导函数值的正负影响着原 函数的单调性 即在某个区间内f x 0 或f x 0 也就是f x 的图象在x轴的 上方 或下方 则函数在该区间内是增函数 或减函数 三 求含参数的函数的单调区间 活动与探究 3 1 已知a b为常数 且a 0 函数f x ax b axln x f e 2 e 2 718 28 是自然对数的底数 求实数b的值 求函数f x 的单调区间 2 已知函数f x 2x3 tx2 3t2x t 0 求f x 的单调区间 3 2 t 1 2 迁移与应用 已知函数f x ax2 ln x a r r 求f x 的单调区间 1 2 讨论含有参数的函数的单调性 通常归结为求含参不等式的解集的问题 而对含有参 数的不等式要针对具体情况进行讨论 但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的 标准 四 已知函数的单调性求参数的取值范围 活动与探究 4 已知函数f x x2 x 0 常数a r r 若函数f x 在x 2 上是单调递增 a x 的 求实数a的取值范围 迁移与应用 1 已知函数f x x3 ax在 1 上是单调减函数 则a的最大值为 a 1 b 2 c 3 d 4 2 若函数f x x3 mx2 2m2 5 的单调减区间是 9 0 则m 1 由函数的单调性求参数范围时的注意事项 函数的单调性是函数的重要性质 也是高中阶段研究的重点 若函数f x 可导 其导 数与函数的单调性的关系如下 以增函数为例来说明 f x 0 能推出f x 为增函数 但反之不一定 即f x 0 是f x 为增函数的充分不必要条件 f x 0 时 f x 0 是f x 为增函数的充分必要条件 f x 为增函数 一定可以推出f x 0 但反之不一定 即f x 0 是f x 为 增函数的必要不充分条件 2 m f x 恒成立 m f x max m f x 恒成立 m f x min 答案 答案 课前课前 预习导学预习导学 预习导引 1 f x 0 f x 0 f x 0 预习交流预习交流 1 提示 提示 在某个区间内f x 0 f x 0 是函数f x 在此区间内为增 减 函数的充分不必要条件 如果出现个别点使f x 0 不会影响函数f x 在包含这 些特殊点的某个区间内的单调性 例如函数f x x3在定义域 上是增函数 但由f x 3x2知 f 0 0 即并不是在定义域内的任意一点处都满足f x 0 从而可导函数f x 在 a b 上递增 递减 的充要条件是f x 0 f x 0 在 a b 上恒成立 且f x 在 a b 的任意子区间内都不恒等于零 2 1 定义域 2 f x 0 4 符号 预习交流预习交流 2 提示 提示 1 和 1 1 1 3 1 导数的绝对值较大 2 大于 锐角 递增 小于 钝角 递减 3 预习交流预习交流 3 提示 提示 0 0 课堂课堂 合作探究合作探究 问题导学 活动与探究活动与探究 1 1 思路分析 思路分析 只需判断在哪个区间上导函数的值大于零即可 b 解析 解析 y cos x xsin x cos x xsin x 若y f x 在某区间内是增函数 只需在此区间内y 恒大于零即可 只有选项 b 符合题意 当x 2 时 y 0 恒成立 2 思路分析 思路分析 求函数的单调区间 即求定义域上满足f x 0 或f x 0 的区 间 解 解 函数f x 的定义域为 0 f x 2x 1 x 2x 1 2x 1 x x 0 x 1 0 2 令f x 0 得x 2 2 f x 的单调递增区间为 2 2 由f x 0 得x 2 2 又 x 0 f x 的单调递减区间是 0 2 2 迁移与应用迁移与应用 1 证明 证明 f x ln x x f x ln x x ln x x x2 1 x x ln x x2 1 ln x x2 又 x 0 2 ln x ln 2 1 故f x 0 1 ln x x2 即函数在区间 0 2 上是单调递增函数 2 解 解 函数f x 的定义域为 2 2 f x ex x 2 ex x 2 2 ex x 3 x 2 2 因为x 2 2 所以 ex 0 x 2 2 0 由f x 0 得x 3 所以函数f x 的单调递增区间为 3 由f x 0 得x 3 又函数f x 的定义域为 2 2 所以函数f x 的单调递减区间为 2 和 2 3 活动与探究活动与探究 2 思路分析 思路分析 当f x 0 时 f x 递减 从而由图象找出递减区间即 可 a 解析 解析 求f x 0 的解集 即求函数f x 在上的单调减区间 3 2 3 由图象可知y f x 的单调减区间为 2 3 1 3 1 迁移与应用迁移与应用 解 解 当 1 x 3 时 f x 0 可知f x 在此区间内单调递减 4 当x 3 和x 1 时 f x 0 可知f x 在此区间内单调递增 当x 1 和x 3 时 f x 0 这两点比较特殊 我们称它们为 临界点 综上 函数f x 图象的大致形状如图所示 活动与探究活动与探究 3 1 思路分析 思路分析 准确求出函数的导函数 并对参数a的正负进行讨论 进而确定f x 0 f x 0 的解集 解 解 由f e 2 得b 2 由 可得f x ax 2 axln x 从而f x aln x 因为a 0 故 当a 0 时 由f x 0 得x 1 由f x 0 得 0 x 1 当a 0 时 由f x 0 得 0 x 1 由f x 0 得x 1 综上 当a 0 时 函数f x 的单调递增区间为 1 单调递减区间为 0 1 当a 0 时 函数f x 的单调递增区间为 0 1 单调递减区间为 1 2 思路分析 思路分析 正确对函数f x 进行求导 求出f x 0 的根 对根的大小进行讨 论 进而求出f x 0 f x 0 的解集 解 解 f x 6x2 3tx 3t2 3 2x t x t 令f x 0 得x t或x t 2 t 0 以下分两种情况进行讨论 若t 0 则 t t 2 由f x 0 得x 或x t t 2 由f x 0 得 x t t 2 若t 0 则 t t 2 由f x 0 得x t或x t 2 由f x 0 得 t x t 2 当t 0 时 f x 的递增区间为 t 递减区间为 t 2 t 2 t 当t 0 时 f x 的递增区间为 t 递减区间为 t 2 t t 2 迁移与应用迁移与应用 解 解 f x 的定义域为 0 f x ax 1 x ax2 1 x 当a 0 时 f x 0 恒成立 则f x 在 0 上单调递增 当a 0 时 由f x 0 得 x 1 a 1 a 又 x 0 0 x 1 a 由f x 0 得x 或x 1 a 1 a 5 又 x 0 x 1 a 综上所述 当a 0 时 f x 的递增区间为 0 当a 0 时 f x 的递增区间为 递减区间为 0 1 a 1 a 活动与探究活动与探究 4 思路分析 思路分析 先求出f x 则由题意知f x 0 在区间 2 上 恒成立 从而转化为恒成立问题 解 解 要使f x 在 2 上是增函数 则f x 0 在x 2 时恒成立 即 0 2x3 a 0 2x3 a x2 当x 2 时 a 2x3恒成立 a 2x3 min x 2 y 2x3是增函数 2x3 min 16 a 16 当a 16 时 f x 0 且只有f 2 0 2x3 16 x2 实数a的取值范围是a 16 迁移与应用迁移与应用 1 c 解析 解析 由已知f x 3x2 a 0 在 1 上恒成立 即 a 3x2在x 1 上恒成立 a 3 a的最大值为 3 2 解析 解析 f x 3x2 2mx 令f x 3x2 2mx 0 27 2 则 9 0 是 3x2 2mx 0 的解集 3 9 2 2 9 m 0 m 27 2 当堂检测当堂检测 1 y xln x在 0 5 上是 a 单调增函数 b 单调减函数 c 在上单调递减 在上单调递增 1 0 e 1 5 e d 在上单调递增 在上单调递减 1 0 e 1 5 e 答案 答案 c 解析 解析 y x ln x 1 ln x 1 x 令y 0 可得 1 e x 令y 0 可得 故选 c 1 0 e x 2 函数y x2 ln x的单调递减区间为 1 2 a 1 1 b 0 1 c 1 d 0 答案 答案 b 解析 解析 对函数求导 得 x 0 令 2 1 ln 2 yxx 2 11 x y x xx 解得x 0 1 因此函数y x2 ln x的单调递减区间为 0 1 故选 b 2 1 0 0 x x x 1 2 6 3 设函数f x 在定义域内可导 y f x 的图象如图所示 则导函数y f x 的图 象可能为 答案 答案 d 解析 解析 由已知f x 在 0 上递增 在 0 上 f x 先增后减再 增 f x 在 0 上的函数值为正 f x 在 0 上的函数值先正后负再正 故 d 正确 4 已知f x x 2sin x在 0 上的单调递增区