高中数学 第二章 推理与证明阶段质量检测 新人教A版选修12.doc

推理与证明一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1观察下列各等式：2，2，2，2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为()a.2b.2c.2d.2解析：选a观察分子中26537110(2)8.2下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()ycos x(xr)是三角函数；三角函数是周期函数；ycos x(xr)是周期函数abc d解析：选b按三段论的模式，排列顺序正确的是.3由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面_”()a各正三角形内一点b各正三角形的某高线上的点c各正三角形的中心 d各正三角形外的某点解析：选c正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心4已知a(0，)，不等式x2，x3，x4，可推广为xn1，则a的值为()a2n bn2c22(n1) dnn解析：选d将四个答案分别用n1,2,3检验即可，故选d.5下列四类函数中，具有性质“对任意的x0，y0，函数f(x)满足f(x)yf(xy)”的是()a指数函数b对数函数c一次函数 d余弦函数解析：选a当函数f(x)ax(a0，a1)时，对任意的x0，y0，有f(x)y(ax)yaxyf(xy)，即指数函数f(x)ax(a0，a1)满足f(x)yf(xy)，可以检验，b，c，d选项均不满足要求6用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为()a6n2b8n2c6n2 d8n2解析：选c归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an6n2.7将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：()abba；(ab)ca(bc)；a(bc)abac；由abac(a0)可得bc.则正确的结论有()a1个 b2个c3个 d4个解析：选b平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故正确，错误；由abac(a0)得a(bc)0，从而bc0或a(bc)，故错误8观察下列事实：|x|y|1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|y|2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|y|3的不同整数解(x，y)的个数为12，则|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为()a76 b80c86 d92解析：选b通过观察可以发现|x|y|的值为1,2,3时，对应的(x，y)的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x|y|n时，对应的不同整数解(x，y)的个数为4n，所以|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为80.9观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()a28 b76c123 d199解析：选c记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nn*，n3)，则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.10数列an满足a1，an11，则a2 013等于()a. b.1c2 d3解析：选ca1，an11，a211，a312，a41，a511，a612，an3kan(nn*，kn*)a2 013a33670a32.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11已知圆的方程是x2y2r2，则经过圆上一点m(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2.类比上述性质，可以得到椭圆1类似的性质为_解析：圆的性质中，经过圆上一点m(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用m(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换故可得椭圆1类似的性质为：过椭圆1上一点p(x0，y0)的切线方程为1.答案：经过椭圆1上一点p(x0，y0)的切线方程为112已知 2 ， 3 ， 4 ，若 6 (a，b均为实数)，请推测a_，b_.解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测中：a6，b62135，即a6，b35.答案：63513若定义在区间d上的函数f(x)对于d上的n个值x1，x2，xn，总满足f(x1)f(x2)f(xn)f，称函数f(x)为d上的凸函数；现已知f(x)sin x在(0，)上是凸函数，则abc中，sin asin bsin c的最大值是_解析：因为f(x)sin x在(0，)上是凸函数(小前提)，所以(sin asin bsin c)sin(结论)，即sin asin bsin c3sin.因此，sin asin bsin c的最大值是.答案：14观察下图：12343 4 5674 5 678910则第_行的各数之和等于2 0132.解析：观察知，图中的第n行各数构成一个首项为n，公差为1，共2n1项的等差数列，其各项和为sn(2n1)n(2n1)n(2n1)(n1)(2n1)2，令(2n1)22 0132，得2n12 013，解得n1 007.答案：1 007三、解答题(本大题共4小题，共50分解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤)15(本小题满分12分)(本小题满分12分)观察sin210cos240sin 10cos 40；sin26cos236sin 6cos 36.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想解：猜想：sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin(302)sin(30)1sin(230)cos 60cos 2sin 60sin 2cos 2sin(230)sin(230)sin(230)sin(230)，即sin2cos2(30)sin cos(30).16(本小题满分12分)(本小题满分12分)已知abc的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，成等差数列(1)比较与的大小，并证明你的结论；(2)求证：角b不可能是钝角解：(1).证明如下：要证，只需证.a，b，c0，只需证b2ac.，成等差数列，2，b2ac.又a，b，c均不相等，b2ac.故所得大小关系正确(2)证明：法一：假设角b是钝角，则cos b0.由余弦定理得，cos b0，这与cos b0矛盾，故假设不成立所以角b不可能是钝角法二：假设角b是钝角，则角b的对边b为最大边，即ba，bc，所以0，0，则，这与矛盾，故假设不成立所以角b不可能是钝角17(本小题满分12分)(本小题满分12分)我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？(1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义(2)若an是等积数列，且首项a12，公积为6，试写出an的通项公式及前n项和公式解：(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积(2)由于an是等积数列，且首项a12，公积为6，所以a23，a32，a43，a52，a63，即an的所有奇数项都等于2，偶数项都等于3，因此an的通项公式为an其前n项和公式sn18(本小题满分14分)将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1 a2a3a4a5a6a7a8a9a10 记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn，b1a11.sn为数列bn的前n项和，且满足1(n2)(1)证明数列成等差数列，并求数列bn的通项公式；(2)上面数表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数当a81时，求上表中第k(k3)行所有项的和解：(1)由已知，当n2时，1，又snb1b2bn，所以1，即1，所以，又s1b1a11.所