常微分方程习题 (1).doc

习题 2.51. 求解下列方程的解（1） ysinx+cosx=1 解：移项得，cosx=1-ysinx两边同除cosx得=y+所以，y=e（edx+c） y=cosx(dx+c) y=cosx(xdx+c) y=cosx(tanx+c) 所以 y=sinx+cosxc为方程的通解(2)ydx-xdy=x2ydy解：两边同除x2得，=ydy 则d（）=d（）所以，=c为方程的通解。（3）=4e-ysinx-1解：两边同乘以ey得，ey=4sinx-ey所以=4sinx-ey令u=ey得， u=e (dx+c) u=e-x(dx+c) 又因为dx=4=4sinxex-4dsinx=4sinxex-4dx=4sinxex-4=4sinxex-4excosx+4d（cosx）=4sinxex-4excosx-4dx所以=2exsinx-2excosx（分步积分法）即ey=e-x（2exsinx-2excosx+c）所以ey=2（sinx-cosx）+ce-x为方程的通解。（4）=解：分子分母同除x得，令u=，则y=ux,由此,代入原方程得，x+u=化简得，x=当u0时，=dx（1令- 则 即，即x=y（-经验证，y=0也是方程的解。（5）（xye+y2）dx-x2edy=0解：原方程可写为=（分子分母同除y2）令u=，所以x=uy，对y求导得，即将上述分离变量，可得，-，即-eudu-=两边积分得，-eu-ln，c为任意常数整理得，ln即ln+e=c为方程的通解。（6）(xy+1)ydx-xdy=0解：由题意可知，所以=-（y0），从而求得方程的积分因子=e=两边同乘以积分因子得，化简得，xdx+,即d(,所以为方程的通解。经验证，y=0也为方程的解。（7）(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0解：原方程可化为=此时，则令u=x+y,所以即，两边积分得，ln(1+u)2-u+ln=x+c1ln(1+u)3=x+u+c1即（1+u）3=exeue令e=c得，（1+u）3=cex+u所以方程的通解为（x+y+1）3=ce（2x+y）（8）解：（伯努利方程）两边乘以（y0）得，令z=y（-1），从而，则此伯努利方程可化为（一阶非齐次线性微分方程）利用公式可得，z= z= z=,所以为方程的通解。 经验证，y=0也为方程的解。（9）解：由题意可知，此方程为一阶非齐次线性微分方程。所以利用公式可得，y= y=ey=(利用分步积分法求的原函数)y=所以y=-为原方程的通解。（10）解：令，则即可得所以，dy=（p-dpy=即方程的通解为（11）解：方程可化为（x-y+1）dx=（x+y2+3）dy故该方程为恰当微分方程，有xdx-ydx+dx-xdy-y2dy-3dy=0(x+1)dx-(y2+3)dy-ydx-xdy=0d( 所以为方程的通解。（12）解：方程两边同乘以得，令u=x+y，可得即（eu0），利用变量分离得，两边同时积分得，-e-u=+c1所以为方程的通解。（13）(x2+y2)dx-2xydy=0解：由题意可知，=-，从而求得方程的一个积分因子为方程两边同时乘以积分因子得，dx+所以，x2-y2=xc为方程的通解。（14）解:由题意可知，该方程为一阶非齐次线性微分方程。 利用公式可得，y= y=（利用分步积分法求得积分） y= y=-x-2+exc 所以x+y+2=exc为方程的通解。（15）解：令u=，则y=ux，所以，x，两边同时积分得，-e-u=ln1所以为方程的通解。（16）（x+1）解：两边同时乘以得， 令，则有（x+1） -ln1 ln=0 所以（x+1）ey=2x+c为方程的通解。（17）（x-y2）dx+y（1+x）dy=0 解：由题意可知， ,，从而求得方程的一个积分因子为两边同时乘以积分因子得，两边同时积分得，即，经化简得，y2=2x+1+2c1（1+x）2所以y2=c（1+x）2+2x+1为方程的通解。（18）解：由题意可知，从而求得方程的一个积分因子为=两边同时乘以得，即两边同时积分得，所以经化简，为方程的通解。（19）解：令，则xp2-2yp+4x=0即，所以经化简得，经化简可得即又因为，所以当时，可知也为方程的解所以为方程的通解。（20）解：令，则方程化为，即y=，则因为两边同时积分得，x=tan+c，c为任意常数则方程的解为 即经验证，当sin=0，的y=1也是方程的解。（21）解：经化简可得，令，则,(1)当时，-当时，由的性质可知，必存在使得。经验证，也为方程(1)的解。综上所述，为方程的解。（22）解：，因为所以该方程为恰当微分方程。所以为方程的通解。（23）解：由题意可知，所以所以可得该方程的一个积分因子为当时，两边同时乘以积分因子得即，则有所以为方程的通解经验证，y=0也是方程的解。（24）解：两边同除得，经化简得，所以为方程的通解。（25）解：令，则即可得即两边同时积分得，所以方程的解为（26）解：，,则该方程的一个积分因子为9方程两边同时乘以积分因子得，