【最高考系列】（14年3月新版）高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第九章平面解析几何第11课时直线与圆锥曲线的综合应用教学案（含最新模拟、试题改编）(1).doc

第九章平面解析几何第11课时直线与圆锥曲线的综合应用(2) 考情分析考点新知会求定点、定值、最值等问题；掌握函数与方程等价转换、分类讨论等思想方法掌握圆锥曲线的简单应用.1. (选修11p44习题4改编)以双曲线1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是_答案：y212x解析：双曲线1的中心为o(0，0)，该双曲线的右焦点为f(3，0)，则拋物线的顶点为(0，0)，焦点为(3，0)，所以p6，所以拋物线方程是y212x.2. 以双曲线3x2y212的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是_答案：1解析：双曲线方程可化为1，焦点为(0，4)，顶点为(0，2) 椭圆的焦点在y轴上，且a4，c2，此时b2， 椭圆方程为1.3. 若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p_答案：4解析：椭圆1的右焦点(2，0)是抛物线y22px的焦点，所以2，p4.4. 已知双曲线x21的左顶点为a1，右焦点为f2，p为双曲线右支上一点，则的最小值为_答案：2解析：设点p(x，y)，其中x1.依题意得a1(1，0)，f2(2，0)，由双曲线方程得y23(x21).(1x，y)(2x，y)(x1)(x2)y2x2y2x2x23(x21)x24x2x54，其中x1.因此，当x1时，取得最小值2.5. 已知椭圆c：y21的两焦点为f1，f2，点p(x0，y0)满足y1，则pf1pf2的取值范围为_答案：2，2解析：当p在原点处时，pf1pf2取得最小值2；当p在椭圆上时，pf1pf2取得最大值2，故pf1pf2的取值范围为2，21. 圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点f和到一条定直线l(f不在l上)的距离的比等于常数e的轨迹当0e1时，它表示双曲线；当e1时，它表示抛物线2. 曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线c(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线c上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)3. 平面解析几何研究的两个主要问题(1) 根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2) 通过曲线的方程研究曲线的性质4. 求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1) 建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点m的坐标；(2) 写出适合条件p的点m的集合pm|p(m)；(3) 用坐标表示条件p(m)，列出方程f(x，y)0；(4) 化方程f(x，y)0为最简形式；(5) 说明已化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.题型1最值问题例1如图，椭圆c：1(ab0)的离心率为，其左焦点到点p(2，1)的距离为.不过原点o的直线l与c相交于a，b两点，且线段ab被直线op平分(1) 求椭圆c的方程；(2) 求abp面积取最大值时直线l的方程解：(1) 设椭圆左焦点为f(c，0)，则由题意得得所以椭圆方程为1.(2) 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，线段ab的中点为m.当直线ab与x轴垂直时，直线ab的方程为x0，与不过原点的条件不符，舍去故可设直线ab的方程为ykxm(m0)，由消去y，整理得(34k2)x28kmx4m2120，则64k2m24(34k2)(4m212)0，所以线段ab的中点为m.因为m在直线op：yx上，所以，得m0(舍去)或k.此时方程为3x23mxm230，则3(12m2)0，所以ab|x1x2|，设点p到直线ab的距离为d，则d.设abp的面积为s，则sabd.其中m(2，0)(0，2)令u(m)(12m2)(m4)2，m2，2，u(m)4(m4)(m22m6)4(m4)(m1)(m1)所以当且仅当m1时，u(m)取到最大值故当且仅当m1时，s取到最大值综上，所求直线l的方程为3x2y220.如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的中心在原点o，右焦点f在x轴上，椭圆与y轴交于a、b两点，其右准线l与x轴交于t点，直线bf交椭圆于c点，p为椭圆上弧ac上的一点(1) 求证：a、c、t三点共线；(2) 如果3，四边形apcb的面积最大值为，求此时椭圆的方程和p点坐标(1) 证明：设椭圆方程为1(ab0) ，则a(0，b)，b(0，b)，t.at：1 ，bf：1 ，解得交点c(，)，代入得1，满足式，则c点在椭圆上，即a、c、t三点共线(2) 解：过c作cex轴，垂足为e，则obfecf. 3，ceb，efc，则c，代入得1， a22c2，b2c2.设p(x0，y0)，则x02y2c2.此时c，ac c，sabc2cc2，直线ac的方程为x2y2c0，p到直线ac的距离为d，sapcdac cc.只须求x02y0的最大值，(解法1) (x02y0)2x4y22x0y0x4y2(xy)3(x2y)6c2， x02y0c.当且仅当x0y0c时，(x02y0)maxc.(解法2)令x02y0t，代入x2y2c2得(t2y0)22y2c20，即6y4ty0t22c20.(4t)224(t22c2)0，得tc.当tc，代入原方程解得x0y0c. 四边形的面积最大值为c2c2c2， c21，a22，b21，此时椭圆方程为y21.p点坐标为.题型2定值问题例2如图，椭圆c0：1(ab0，a、b为常数)，动圆c1：x2y2t，bt1a.点a1、a2分别为c0的左、右顶点，c1与c0相交于a、b、c、d四点(1) 求直线aa1与直线a2b交点m的轨迹方程；(2) 设动圆c2：x2y2t与c0相交于a，b，c，d四点，其中bt2a，t1t2.若矩形abcd与矩形abcd的面积相等，证明：tt为定值(1) 解：设a(x1，y1)，b(x1，y1)，又知a1(a，0)，a2(a，0)，则直线a1a的方程为y(xa)，直线a2b的方程为y(xa)由得y2(x2a2)由点a(x1，y1)在椭圆c0上，故1.从而yb2，代入得1(xa，y0)，则1，p2，所以抛物线方程为y24x.(2) 抛物线c的准线方程为x1，设m(1，y1)，n(1，y2)，其中y1y24，直线mo的方程：yy1x，将yy1x与y24x联立解得a点坐标.同理可得b点坐标，则直线ab的方程为：，整理得(y1y2)y4x40，故直线ab恒过定点(1，0)4. 已知椭圆e：y21(a1)的上顶点为m(0，1)，两条过m的动弦ma、mb满足mamb.(1) 当坐标原点到椭圆e的准线距离最短时，求椭圆e的方程；(2) 若rtmab面积的最大值为，求a；(3) 对于给定的实数a(a1)，动直线ab是否经过一定点？如果经过，求出定点坐标(用a表示)；反之，说明理由解：(1) 由题，a2c21，dc2，当c1时取等号，此时a2112，故椭圆e的方程为y21.(2) 不妨设直线ma的斜率k0，直线ma方程为ykx1，由 代入整理得(a2k21)x22a2kx0，解得xa，故a，由mamb知直线mb的斜率为，可得b(，)，则ma，mb.则smabmamb(1k2).令kt(t2)，则smab.当t时取“”， t2，得a1.而(smab)max，故a3或a(舍)综上a3.(3) 由对称性，若存在定点，则必在y轴上当k1时，a，直线ab过定点q.下面证明a、q、b三点共线： kaq，kbq.由kaqkbq知a、q、b三点共线，即直线ab过定点q.5. 设a1、a2与b分别是椭圆e：1(ab0)的左、右顶点与上顶点，直线a2b与圆c：x2y21相切(1) 求证：1；(2) p是椭圆e上异于a1、a2的一点，若直线pa1、pa2的斜率之积为，求椭圆e的方程；(3) 直线l与椭圆e交于m、n两点，且0，试判断直线l与圆c的位置关系，并说明理由(1) 证明：已知椭圆e：1(ab0)，a1、a2与b分别为椭圆e的左、右顶点与上顶点，所以a1(a，0)，a2(a，0)，b(0，b)，直线a2b的方程是1.因为a2b与圆c：x2y21相切，所以1，即1.(2) 解：设p(x0，y0)，则直线pa1、pa2的斜率之积为kpa1kpa2，1，而1，所以b2a2.结合1，得a24，b2.所以椭圆e的方程为1.(3) 解：设点m(x1，y1)，n(x2，y2) 若直线l的斜率存在，设直线l为ykxm，由ykxm代入1，得1.化简得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20(0) x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2kmm2.因为0，所以x1x2y1y20.代入得(a2b2)m2a2b2(1k2)0.结合(1)的1，得m21k2.圆心到直线l的距离为d1，所以直线l与圆c相切 若直线l的斜率不存在，设直线l为xn.代入1，得yb. |n|b， a2n2b2(a2n2)解得n1，所以直线l与圆c相切6. 已知曲线c上动点p(x，y)到定点f1(，0)与定直线l1x的距离之比为常数.(1) 求曲线c的轨迹方程；(2) 以曲线c的左顶点t为圆心作圆t：(x2)2y2r2(r0)，设圆t与曲线c交于点m与点n，求的最小值，并求此时圆t的方程解：(1) 过点p作直线的垂线，垂足为d.，所以该曲线的方程为y21.(2) 点m与点n关于x轴对称，设m(x1，y1)，n(x1，y1)，不妨设y10.由于点m在椭圆c上，所以y1.由已知t(2，0)，则(x12，y1)，(x12，y1)， (x12，y1)(x12，y1)(x12)2y(x12)2x4x13.由于2x10. 所以x1x24k，x1x24，由x24y，得yx2，所以yx, 所以，直线am的斜率为kamx1, 所以，直线am的方程为yy1x1(xx1)，又x4y1, 所以，直线am的方程为x1x2(yy1)，同理，直线bm的方程为x2x2(yy2)，并据x1x2得点m的横坐标x， 即a、m、b三点的横坐标成等差数列(2) 解：由易得y1，所以点m的坐标为(2k，1)(k0). 所以kmf， 则直线mf的方程为yx1，设c(x3，y3)，d(x4，y4) 由消去y，得x2x40，显然160, 所以x3x4，x3x44，又|ab| 4(k21)，|cd| 4，因为kmfkab1，所以abcd ，所以sacbd|ab|cd|8832, 当且仅当k1时，四边形acbd面积取到最小值32.2. 已知椭圆c：1(ab0)的离心率e，一条准线方程为x(1) 求椭圆c的方程；(2) 设g、h为椭圆c上的两个动点，o为坐标原点，且ogoh. 当直线og的倾斜角为60时，求goh的面积； 是否存在以原点o为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线gh相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由解：( 1) 因为，a2b2c2, 解得a3，b，所以椭圆方程为1.(2) 由解得 由得 所以og，oh，所以sgoh. 假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为r，则ogohrgh，因为og2oh2gh2，故， 当og与oh的斜率均存在时，不妨设直线og方程为ykx, 由得所以og2， 同理可得oh2，(将og2中的k换成可得) ，r， 当og与oh的斜率有一个不存在时，可得， 故满足条件的定圆方程为：x2y2.3. 已知椭圆c的方程为1(ab0)，双曲线1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆c的右焦点f作直线l，使ll1.又l与l2交于p点，设l与椭圆c的两个交点由上至下依次为a、b(如图)(1) 当l1与l2夹角为60，双曲线的焦距为4时，求椭圆c的方程；(2) 当，求的最大值解：(1) 双曲线的渐近线为yx，两渐近线夹角为60，又1，pox30，即tan30.ab.又a2b24，a23，b21.故椭圆c的方程为y21.(2) 由已知l：y(xc)，与yx解得p.由，得a.将a点坐标代入椭圆方程，得(c2a2)22a4(1)2a2c2.(e2)22e2(1)2.2332.的最大值为1.4. 在平面直角坐标系xoy中，已知点a(1，1)，p是动点，且poa的三边所在直线的斜率满足kopkoakpa.(1) 求点p的轨迹c的方程；(2) 若q是轨迹c上异于点p的一个点，且，直线op与qa交于点m，问：是否存在点p，使得pqa和pam的面积满足spqa2spam？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由解：(1) 设点p(x，y)为所求轨迹上的任意一点，则由kopkoakpa得，整理得轨迹c的方程为yx2(x0且x1)(2) 设p(x1，x)，q(x2，x)，m(x0，y0)，由可知直线pqoa，则kpqkoa，故，即x2x11，由o、m、p三点共线可知，(x0，y0)与(x1，x)共线， x0xx1y00，由(1)知x10，故y0x0x1，同理，由(x01，y01)与(x21，x1)共线可知(x01)(x1)(x21)(y01)0，即(x21)(x01)(x21)(y01)0，由(1)知x21，故(x01)(x21)(y01)0，将y0x0x1，x21x1代入上式得(x01)(2x1)(x0x11)0，整理得2x0(x11)x11，由x11得x0，由spqa2spam，得到qa2am， pqoa， op2om， 2， x11， p的坐标为(1，1)1. 圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法(1) 若题目的