全国高中数学竞赛二试模拟训练题(36)(1).doc

加试模拟训练题（36）1、 设凸四边形abcd的对角线ac、bd互相垂直，垂足为e，证明：点e关于ab、bc、cd、da的对称点共圆2、 对一切非负整数x、y，函数f(x，y)满足(1)f(0，y)y1；(2)f(x1，0)f(x，1)； (3)(x1，y1)f(x，f(x1，y)试确定f(4，1981)3、 在第一行中写有19个不超过88的自然数，第二行写有88个不超过19的自然数，我们将一行中的一个或数个相连的数称为一段证明：可以从上述两行数中各选出一段来，使得这两段数的和相等4、证明：不定方程x2+y2+z2+3(x+y+z)+5=0没有有理数解。加试模拟训练题（36）1、 设凸四边形abcd的对角线ac、bd互相垂直，垂足为e，证明：点e关于ab、bc、cd、da的对称点共圆【题说】 第22届(1993年)美国数学奥林匹克题2【证】 以e为相似中心作相似变换，相似比为12，此变换把e关于ab、bc、cd、da的对称点变为e在ab、bc、cd、da上的射影p、q、r、s(如图)，只须证明pqrs是圆内接四边形由于四边形esap、epbq、eqcr及erds都是圆内接四边形(每个四边形都有一组对角为直角)，由e、p、b、q共圆，epqebq，由eqcr共圆，有erqecq，于是epqerqebqecq90同理可得 epsers90从而，有spqqrs180，故pqrs是圆内接四边形 2、 对一切非负整数x、y，函数f(x，y)满足(1)f(0，y)y1； (1)(2)f(x1，0)f(x，1)； (2)(3)(x1，y1)f(x，f(x1，y) (3)试确定f(4，1981)【题说】第二十二届(1981年)国际数学奥林匹克题6【解】 令x0，由(2)与(1)得f(1，0)f(0，1)2在(3)中令x0，yn1，并利用(1)及前式，有f(1，n)f(0，f(1，n1)f(1，n1)1nf(1，0)n2 (4)由(3)、(4)得 f(2，n)f(1，f(2，n1)f(2，n1)22nf(2，0)又 f(2，0)f(1，1)123所以 f(2，n)2n3 (5)由(3)、(5)得f(3，n)3f(2，f(3，n1)32f(3，n1)62f(3，n1)32n3所以 f(3，n)2n33 (6)由(3)、(6)得f(4，n)3f(3，f(4，n1)32f(4，n1)3 (共有n个2)由于 f(4，0)3f(3，1)324所以 f(4，n)3 (n3个2)故 f(4，1981)3 (1984个2)3、 在第一行中写有19个不超过88的自然数，第二行写有88个不超过19的自然数，我们将一行中的一个或数个相连的数称为一段证明：可以从上述两行数中各选出一段来，使得这两段数的和相等【题说】 第二十二届(1988年)全苏数学奥林匹克八年级题4【证】 设a1，a2，a19为第一行数；b1，b2，b88是第二行数记a(i)a1ai，b(i)b1bi假定 a(19)b(88)(对于a(19)b(88)的情形可类似处理)对于每个i，记niminn；a(n)b(i)，1n19根据假设，这样的ni是存在的我们来考察88个差数a(ni)b(i)显然它们的值为整数，且都在0至87之间，这是因为如果这88个差数互不相同，则它们之中必有一个为0，于是我们的命题获证否则，这88个差数中至少有某两个相等，不妨设i1l，i2k，lk使得a(nl)b(l)a(nk)b(k)，于是就有a(nl)a(nk)b(l)b(k)显然，题意中的19、88可以换成任意自然数4、证明：不定方程x2+y2+z2+3(x+y+z)+5=0没有有理数解。解：将方程两边乘以4配方知：原方程等价于。上述方程有有理数解等价于不定方程:有整数解(a，b，c，m)，其中m0.若方程有整数解(a，b，c，m)，m0，设m是所有这样的解中最小的正整数。如果m是偶数，则，注意到，完全平方数0或1(mod4)，所以，a，b，c都为偶数，设，则，这表明也是方程的整数解，与m的最小性矛盾。