高三数学 知识点精要7 函数.doc

20142014 高三数学知识点精要高三数学知识点精要 7 7 1 映射 ab 的概念 在理解映射概念时要注意 a 中元素必须都有象且唯一 f b 中元素不一定都有原象 b 中元素可以无原象 但原象不一定唯一 a 中不同元素在 b 中可以有相同的象 如 设是集合到的映射 下列说法正确的是 fmn mn a 中每一个元素在中必有象 b 中每一个元素在中必有原象 mnnm c 中每一个元素在中的原象是唯一的 d 是中所在元素的象的集合nmnm 答 a 点在映射的作用下的象是 则在作用下点的原象为点 baf baba f 1 3 答 2 1 若 则到的映射有 个 到 4 3 2 1 a cbab a b cr abb 的映射有 个 到的函数有 个 答 81 64 81 aab 更一般地 若 a 中含有 m 个元素 b 中含有 n 个元素 从 a 到 b 能建立多少个映射 m n 设集合 映射满足条件 对任意的 1 0 1 1 2 3 4 5 mn fmn xm 是奇数 这样的映射有 个 答 12 xf x f 设是集合 a 到集合 b 的映射 若 b 1 2 则一定是 答 2 xxf ba 或 1 2 函数 ab 是特殊的映射 特殊在定义域 a 和值域 b 都是非空数集 据此可知函f 数图像与轴的垂线至多有一个公共点 但与轴垂线的公共点可能没有 也可能有任意xy 个 如 已知函数 那么集合中所 f xxf 1 x yyf x xfx yx 含元素的个数有 个 答 0 或 1 若函数的定义域 值域都是闭区间 则 答 2 42 2 1 2 xxy 2 2 bb 3 同一函数的概念 构成函数的三要素是定义域 值域和对应法则 而值域可由定义域 和对应法则唯一确定 因此当两个函数的定义域和对应法则相同时 它们一定为同一函数 如若一系列函数的解析式相同 值域相同 但其定义域不同 则称这些函数为 天一 函数 那么解析式为 值域为 4 1 的 天一函数 共有 个 答 9 2 yx 4 分段函数的概念 分段函数是在其定义域的不同子集上 分别用几个不同的式子来表 示对应关系的函数 它是一类较特殊的函数 注意分段函数是一个函数 而不是几个函数 在求分段函数的值时 一定首先要判断属于定义域的哪个子集 然后再代相应的 0 f x 0 x 关系式 求分段函数的定义域 先选定所有分段的区间 然后取这些区间的并集所得到的集 合就是分段函数的定义域 分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围 的并集 如 设函数 2 1 1 41 1 xx f x xx 则使得的自变量的取值范围是 答 1f x x 2 0 10 已知 则不等式的解集是 1 0 1 0 x f x x 2 2 5xxf x 答 3 2 x x y y 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 6 4 22468 8 6 4 2 2 4 6 10 5510 作出分段函数的图像21 xxy 解 根据 零点分段法 去掉绝对值符 号 即 21 xxy 12 3 12 x x 1 12 2 x x x 作出图像如图 作出函数的函数图像 32 2 xxy 解 032 32 03232 22 22 xxxx xxxx y 步骤 1 作出函数 y 2x 3 的图象 2 x 2 将上述图象 x 轴下方部分以 x 轴为对称轴向上翻折 上方部分不 变 即得 y 2x 3 的图象 2 x 作函数y x 2 x 1 的图像 分析 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困 难 除去对其函数性质分析外 我们还应想到对已知解析 式进行等价变形 解 1 当 x 2 时 即 x 2 0 时 当 4 9 2 1 2 1 2 22 xxxxxy x 2 时 即 x 2 0 时 4 9 2 1 2 1 2 22 xxxxxy 4 9 2 1 4 9 2 1 2 2 x x y 2 2 x x 这是分段函数 每段函数图象可根据二次函数图象作出 5 求函数解析式的常用方法 1 待定系数法 已知所求函数的类型 二次函数的 表达形式有三种 一般式 2 f xaxbxc 顶点式 2 f xa xmn 零点式 要会根据已知条件的特点 灵活地选用二次函数 12 f xa xxxx 的表达形式 如已知为二次函数 且 且 f 0 1 图象在 x 轴上截得 f x 2 2 xfxf 的线段长为 2 求的解析式 答 2 f x 2 1 21 2 f xxx 2 代换 配凑 法 已知形如的表达式 求的表达式 f g x f x 如 已知求的解析式 答 sin cos1 2 xxf 2 xf 242 2 2 2 f xxxx 若 则函数 答 2 2 1 1 x x x xf 1 xf 2 23xx 若函数是定义在 r 上的奇函数 且当时 那 xf 0 x 1 3 xxxf 么当时 答 0 x xf 3 1 xx 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性 即的定义域应是的值 f x g x 域 3 方程的思想 已知条件是含有及另外一个函数的等式 可抓住等式的特 f x 征对等式的进行赋值 从而得到关于及另外一个函数的方程组 f x 如 已知 求的解析式 答 2 32f xfxx f x 2 3 3 f xx 已知是奇函数 是偶函数 且 则 f x xg f x xg 1 1 x f x 答 2 1 x x 4 分段函数解析式分段求解 如函数在闭区间上的图象如右图所示 则求 1 2 此函数的解析式 解 1 10 1 02 2 xx f x xx 5 实际应用问题 把长为的铁丝折成矩形 设矩形的一边长为 面积为 求矩形面积与一边长axss 的函数关系式 x 解 设矩形一边长为 则另一边长为 x 1 2 2 ax 2 11 2 22 sxaxxax 0 2 a x 说明 在解决实际问题时 求出函数解析式后 一定要写出定义域 6 求函数定义域的常用方法 在研究函数问题时要树立定义域优先的原则 1 约定 如果不单独指出函数的定义域是什么集合 那么函数的定义域就是能使这 个式子有意义的所有实数 x 的集合 有这个约定 我们在用解析式给出函数的对应法则的 同时也就给定了定义域 而求函数的定义域就是在这个意义之下写出使式子有意义的所有 实数组成的集合 根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零 分母不能为零 对数中logax 且 三角形中 最大角 最小角等 0 0 xa 1a 0a 3 3 如 函数的定义域是 答 2 4 lg3 xx y x 0 2 2 3 3 4 1 0 2 x y 1 1 若函数的定义域为 r 则 答 2 7 43 kx y kxkx k 3 0 4 函数的定义域是 则函数的定义域 f x a b0ba f xf xfx 是 答 aa 4 设函数 若的定义域是 r 求实数的取值范围 2 lg 21 f xaxx f xa 若的值域是 r 求实数的取值范围 答 f xa1a 01a 2 根据实际问题的要求确定自变量的范围 3 复合函数的定义域 若已知的定义域为 其复合函数的定义 f x a b f g x 域由不等式解出即可 若已知的定义域为 求的定义域 ag xb f g x a b f x 相当于当时 求的值域 即的定义域 xa b g x f x 如 若函数的定义域为 则的定义域为 xfy 2 2 1 log2xf 答 42 xx 若函数的定义域为 则函数的定义域为 答 1 5 2 1 f x 2 1 f x 4 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时 注明函数的定义域了吗 如 求fxexf x x 1 令 则txt 10 xt 2 1 f tet t 2 12 1 f xexx x 2 12 10 用解析式 y f x 表示的函数的定义域时 常有以下几种情况 若 f x 是整式 则函数的定义域是实数集 r 若 f x 是分式 则函数的定义域是使分母不等于 0 的实数集 若 f x 是二次根式 则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数集合 若 f x 是由几个部分的数学式子构成的 则函数的定义域是使各部分式子都有意义 的实数集合 若 f x 是由实际问题抽象出来的函数 则函数的定义域应符合实际问题 7 求函数值域 最值 的方法 1 配方法 二次函数 主要有两类 一是求闭区间上的最值 二是求区间定 动 对称轴动 定 m n 的最值问题 如 求函数的值域 答 4 8 2 25 1 2 yxxx 当时 函数在时取得最大值 则的取值 2 0 x3 1 4 2 xaaxxf2 xa 范围是 答 2 1 a 已知的图象过点 2 1 则的值域 3 24 x b f xx 1212 f xfxfx 为 答 2 5 注 给定区间上的二次函数最值问题的解题步骤 1 配方 找轴 2 判断轴与所给区间的相对位置 确定在所给区间上的单调性 轴的左右单调性不同 3 画出草图 4 结合草图 利用单调性得出结论 求二次函数的最值问题 勿忘数形结合 注意 两看 一看开口方向 二看对称 轴与所给区间的相对位置关系 闭区间上的二次函数必有最值 最值在端点处或顶点处取 得 2 换元法 通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数 如 0 a x a xy 其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型 sin xay 如 的值域为 答 2 2sin3cos1yxx 17 4 8 的值域为 答 211yxx 3 令 运用换元法时 要特别要注意新元 的范围 1xt 0t t 的值域为 答 sincossincosyxxxx a 1 1 2 2 的值域为 答 2 49yxx 1 3 24 2 函数有界性法 直接求函数的值域困难时 可以利用已学过函数的有界性 来 确定所求函数的值域 最常用的就是三角函数的有界性 如求函数 的值域 答 2sin1 1sin y 3 1 3 x x y 2sin1 1cos y 0 1 1 2 3 2 3 单调性法 利用一次函数 反比例函数 指数函数 对数函数等函数的单调性 如求 的值域为 1 19 yxx x 2 2 9 sin 1 sin yx x 5 3 2log1 x yx 答 80 0 9 11 9 2 2 10 4 数形结合法 函数解析式具有明显的某种几何意义 如两点的距离 直线斜率 等等 如 已知点在圆上 求及的取值范围 答 p x y 22 1xy 2 y x 2yx 33 33 5 5 求函数的值域 答 22 2 8 yxx 10 求函数 22 61345yxxxx 及的值域 答 22 61345yxxxx 43 26 26 注意 求两点距离之和时 要将函数式变形 使两定点在轴的两侧 而求两点距离x 之差时 则要使两定点在轴的同侧 x 5 函数的值域是自变量 x 在定义域中取每一个值时 所对应的函数值的集合 也就 是对 y 在且只在值域中的每一个取值 x 在定义域中一定有一个值之对应 这样求函数的值 域就是把函数解析式看作关于 x 的方程后 此方程在定义域内有解的参数 y 的取值范围 从 而在函数与方程间建立了一种关系 适当条件下可互 但不能解决方程根的个数问题 方 程根的个数问题可转化为相应函数图象交点问题 一曲线 一直线 曲线定 直线动 一 元二次函数根的个数问题可考虑根的分布来解 由此 y 型的所谓反函数法 也可按分母整理 用反比例函数处理 同样处理的有 y dcx bax dxcf bxaf y 型的判别式法 第一步 判断分子分母有无公因式 第二步 有时约分 fexdx cbxax 2 2 化为上面 y 型 但要注意定义域改变所引起的后果 无时考察是否自然定义 第三 dcx bax 步 自然定义的可考虑判别式法 但注意二次项是否为零 不是的不能简单用判别式法 而应化为在定义域内有解 用根的分布来解 6 不等式法 利用基本不等式求函数的最值 其题型特2 abab a br 征解析式是和式时要求积为定值 解析式是积时要求和为定值 不过有时须要用到拆项 添项和两边平方等技巧 如设成等差数列 成等比数列 则的取值范围是 12 x a ay 12 x b by 21 2 21 bb aa 答 0 4 7 导数法 一般适用于高次多项式函数 如求函数 32 2440f xxxx 的最小值 答 48 3 3 x 提醒 1 求函数的定义域 值域时 你按要求写成集合形式了吗 2 函数的最 值与值域之间有何关系 8 函数的单调性 1 确定函数的单调性或单调区间的常用方法 在解答题中常用 定义法 取值 作差 变形 定号 注 为便于判断差的符号对差变形的方向是 完全平方的和或因式的积 导数法 在区间内 若总有 则为增函数 反之 若在区 a b 0fx f x f x 间内为增函数 则 请注意两者的区别所在 a b 0fx 如已知函数在区间上是增函数 则的取值范围是 答 3 f xxax 1 a 0 3 在选择填空题中还可用数形结合法 特殊值法等等 特别要注意 0 b yaxa x 型函数的图象和单调性在解题中的运用 增区间为 减区间0 b bb aa 为 0 0 bb aa 如 1 若函数 在区间 4 上是减函数 那么实2 1 2 2 xaxxf 数的取值范围是 答 a3 a 2 已知函数在区间上为增函数 则实数的取值范围 1 2 ax f x x 2 a 答 1 2 3 若函数的值域为 r 则实数的取值范 log40 1 a a f xxaa x 且a 围是 答 且 04a 1a 复合函数法 复合函数单调性的特点是先外后内 同增异减 如 求的单调区间yxx log1 2 2 2 log2 2 1 2 uyxxu 则解 设 上是减函数 在 又 0log 2 1u y200 0 2 xxxu得即由 如图 11 2 xu为增函数 时 当xxux 2 10 为减函数时 当xxux 2 21 为 单调递减区间为 的单调增区间xxy2log 2 2 1 10 21 提醒 判断复合函数的单调性 xf 内层 外层 则 令 xfyxuufy 先外后内 先求外层函数的单调区间 再在其基础上求内层函数的单调性 同增异减 当 同时内 外层函数单调性相 为减函数为增函数 否则 xfxf 2 特别提醒 求单调区间时 一是勿忘定义域 如若函数 在区间上为减函数 求的取值范围 答 2 log 3 a f xxax 2 a a 1 2 3 二是在多个单调区间之间不一定能添加符号 和 或 三是单调区间应该用区间表 示 不能用集合或不等式表示 3 你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗 比较大小 解不等式 求参 数范围 如已知奇函数是定义在上的减函数 若 求实 xf 2 2 0 12 1 mfmf 数的取值范围 答 m 12 23 m 9 函数的奇偶性 1 具有奇偶性的函数的定义域的特征 定义域必须关于原点对称 为此确定函数的 奇偶性时 务必先判定函数定义域是否关于原点对称 如若函数 xf2sin 3 x 为奇函数 其中 则的值是 答 0 25 3 x 2 0 2 确定函数奇偶性的常用方法 若所给函数的解析式较为复杂 应先化简 再判断 其奇偶性 定义法 如判断函数的奇偶性 答 奇函数 2 4 4 9 x y x 利用函数奇偶性定义的等价形式 或 0f xfx 1 fx f x 0f x u o 1 2 x 如判断的奇偶性 答 偶函数 11 212 x f xx 图像法 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于轴对称 y 3 函数奇偶性的性质 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性 则其单调性完全相同 偶函数在关于 原点对称的区间上若有单调性 则其单调性恰恰相反 如果奇函数有反函数 那么其反函数一定还是奇函数 若为偶函数 则 f x fxf xfx 如若定义在 r 上的偶函数在上是减函数 且 2 则不等式 f x 0 3 1 f 的解集为 2 log 8 1 xf 答 0 0 5 2 若奇函数定义域中含有 0 则必有 故是为奇函数的 f x 0 0f 0 0f f x 既不充分也不必要条件 如若为奇函数 则实数 答 1 22 21 x x aa f x a 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数 都可表示成 一个奇函数与一个偶函 数的和 或差 如设是定义域为 r 的任一函数 xf 2 f xfx f x 2 f xfx g x 判断与的奇偶性 若将函数 表示成一个奇函数 xf xg 110lg x xf 和一个偶函数之和 则 答 为偶函数 为奇函数 xg xh xg xf xg xg 1 2 x 复合函数的奇偶性特点是 内偶则偶 内奇同外 既奇又偶函数有无穷多个 定义域是关于原点对称的任意一个数集 0f x 在公共定义域内 两个奇函数的乘积是偶函数 两个偶函数的乘积是偶函数 一个 偶函数与奇函数的乘积是奇函数 上的奇函数 为定义在如 11 xf 时 当 14 2 10 x x xfx 求在 上的解析式 f x 11 14 2 1001 x x xfxx 则 令 又 为奇函数 f xf x x x x x 2 41 2 14 10 函数的周期性 又 ff x x x x x x x x 00 2 41 10 0 2 41 01 1 由周期函数的定义 函数满足 则是周期为 f x xafxf 0 a f x 的周期函数 得 a 函数满足 则是周期为 2的周期函数 f x xfxaf f xa 若恒成立 则 1 0 f xaa f x 2ta 若恒成立 则 1 0 f xaa f x 2ta 提醒 1 函数满足 f x axfaxf xfaxf 2 xfbxaf 1 1 xf xf axf 1 1 xf xf axf mxpf nxmf axf m n p r 且 p 0 0 2 npm 则函数是周期为 2的周期函数 f xa 2 函数对 x r 时 对于非零实数 a 恒有 f x a 则 f x 是周期函 f x 1 xf xf 数且 3a 是函数的一个周期 如 1 设是上的奇函数 当时 xf 2 xfxf 10 x 则等于 答 xxf 5 47 f5 0 2 定义在上的偶函数满足 且在上是减函数 若r f x 2 f xf x 3 2 是锐角三角形的两个内角 则的大小关系为 答 sin cos ff sin cos ff 3 已知是偶函数 且 993 是奇函数 求的值 f x 1 f g x 1 f x 2005 f 答 993 4 设是定义域为 r 的函数 且 又 f x 21f xf x 1f x 则 222f 2006f 答 22 2 2 类比 三角函数图像 得 若图像有两条对称轴 则必是周期函数 且 yf x xa xb ab yf x 一周期为 2 tab 特别地 若 y f x 是偶函数 其图像又关于直线 x a 对称 则 f x 是周期为的周a2 期函数 若图像有两个对称中心 则是周期函数 yf x 0 0 a ab bab yf x 且一周期为 2 tab 如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴 则函 yf x 0 a a xb ab 数必是周期函数 且一周期为 yf x 4 tab 特别地 若 y f x 奇函数 其图像又关于直线 x a 对称 则 f x 是周期为的周期a4 函数 如已知定义在上的函数是以 2 为周期的奇函数 则方程在上r f x 0f x 2 2 至少有 个实数根 答 5 11 常见的图象变换 1 平移变换 图进标退 变的只是解析式中的 yx 函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单 axfy 0 a xfy xa 位得到的 注意 x 的系数非 1 时的情况 如设的图像与的图像关于直线对称 的图像由 2 x f xg x f xyx h x 的图像向右平移 1 个单位得到 则为 答 g x h x 2 log 1 h xx 函数 的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单 axfy 0 a xfy xa 位得到的 如 1 若 则函数的最小值为 答 2 2 199 443f xxx f x 2 要得到的图像 只需作关于 轴对称的图像 再向 3lg xy xylg 平移 3 个单位而得到 答 右 y 3 函数的图象与轴的交点个数有 个 答 2 lg 2 1f xxx x 函数 的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单位 xfy a 0 a xfy ya 得到的 函数 的图象是把函数助图象沿轴向下平移个单 xfy a 0 a xfy ya 位得到的 如将函数的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位 所得图象如a ax b y 果与原图象关于直线对称 那么xy 答 c 0 1 baarbab 1 0 1 bacrbad 0 2 伸缩变换 图伸标缩 变的只是解析式中的 yx 函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得 axfy 0 a xfy x a 1 到的 如 1 将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的 纵坐标不变 再将 yf x 1 3 此图像沿轴方向向左平移 2 个单位 所得图像对应的函数为 答 x 36 fx 2 如若函数是偶函数 则函数的对称轴方程是 21 yfx 2 yfx 答 1 2 x 函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得 xafy 0 a xfy ya 到的 12 函数的对称性 满足条件的函数的图象关于直线对称 f xaf bx 2 ab x 特别地 若 x r 时 f a x f a x 恒成立 则 y f x 图像关于直线 x a 对称 如已知二次函数满足条件且方程 0 2 abxaxxf 3 5 xfxf 有等根 则 答 xxf xf 2 1 2 xx 函数 y f x a 与 y f b x 的图像关于直线 x 对称 2 ba 函数 y f a x 与 y f b x 的图像关于直线 x 对称 2 ab 特别地对称的图象关于直线与axxafxf 2 1 已知函数的图象过点 1 1 则的反函数的图象过点 xfy 4 xf 2 由函数的图象 通过怎样的变换得到的图象 x y 2 1 x y 2 log 点关于轴的对称点为 函数关于轴的对称曲线方程为 x yy x y xfy y xfy 点关于轴的对称点为 函数关于轴的对称曲线方程为 x yx xy xfy x xfy 点关于原点的对称点为 函数关于原点的对称曲线方程为 x y xy xfy xfy 点关于直线的对称点为 曲线关于 x yyxa yaxa 0f x y 直线的对称曲线的方程为 特别地 点关于直线yxa 0fyaxa x y 的对称点为 曲线关于直线的对称曲线的方程为yx y x 0f x y yx f y x 点关于直线的对称点为 曲线关于直线0 x yyx yx 0f x y 的对称曲线的方程为 yx 0fyx 如己知函数 若的图像是 它关于直线对称图 33 232 x f xx x 1 xfy 1 cyx 像是关于原点对称的图像为对应的函数解析式是 答 22 c c 33 cc 则 2 21 x y x 曲线关于点的对称曲线的方程为 特 0f x y a b 2 2 0faxby 别地 如若函数与的 f xfaxa 与的图象关于 点 对称 20 xxy 2 xgy 图象关于点 2 3 对称 则 答 xg 2 76xx 形如的图像是双曲线 其两渐近线分别直线 由 0 axb ycadbc cxd d x c 分母为零确定 和直线 由分子 分母中的系数确定 对称中心是点 a y c x d a c c 如已知函数图象与关于直线对称 且图象关 c 2 1 1c y xaaxa yx c 于点 2 3 对称 则a的值为 答 2 的图象先保留原来在轴上方的图象 作出轴下方的图象关于轴 f x f xxxx 的对称图形 然后擦去轴下方的图象得到 的图象先保留在轴右方的图x fx f xy 象 擦去轴左方的图象 然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到 yyy 如 1 作出函数及的图象 2 log 1 yx 2 log 1 yx 2 若函数是定义在 r 上的奇函数 则函数的图象关于 xf xfxfxf 对称 答 轴 y 提醒 1 从结论 可看出 求对称曲线方程的问题 实质上是利用代入法 转化为求点的对称问题 2 证明函数图像的对称性 即证明图像上任一点关于对称中心 对称轴 的对称点仍在图像上 3 证明图像与的对称性 需证两方面 证明 1 c 2 c 上任意点关于对称中心 对称轴 的对称点仍在上 证明上任意点关于对称中 1 c 2 c 2 c 心 对称轴 的对称点仍在上 1 c 如 1 已知函数 求证 函数的图像关于点 1 ra xa ax xf xf 成中心对称图形 2 设曲线 c 的方程是 将 c 沿轴 轴正方 1 m a xxy 3 xy 向分别平行移动单位长度后得曲线 写出曲线的方程 答 t s 1 c 1 c 证明曲线 c 与关于点对称 3 yxtxts 1 c 2 2 st a 13 函数零点与二分法 1 函数零点定义 对于函数 把使成立的实数叫做函 dxxfy 0 xfx 数的零点 dxxfy 若函数的图象在处与轴相切 则零点通常称为不变号零点 xf 0 xx x 0 x 若函数的图象在处与轴相交 则零点通常称为变号零点 xf 0 xx x 0 x 2 函数零点的意义 函数的零点就是方程实数根 亦即函数的图象与轴交 xfy 0 xf xfy x 点的横坐标 即 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数0 xf xfy x 有零点 xfy 3 函数零点的求法 xfy 代数法 求方程的实数根 0 xf 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数的图象联系起来 xfy 并利用函数的性质找出零点 提醒 很多情况下 通过导数来确定图像的大致形状 4 图像连续的函数的零点的性质 函数的图像是连续的 当它通过零点时 变号零点 函数值变号 函数零点存在定理 函数在区间上的图像是连续的 且 那么函数 ba0 bfaf 在区间上至少有一个零点 xf ba 相邻两个零点之间的函数值保持同号 5 二分法及步骤 对于在区间 上连续不断 且满足 的函数 通过不a b af bf0 xfy 断地把函数的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得 xf 到零点近似值的方法叫做二分法 给定精度 用二分法求函数的零点近似值的步骤如下 xf 1 确定区间 验证 给定精度 a b af bf0 2 求区间 的中点 a b 1 x 3 计算 二分法 1 xf 通过每次把 f x 的零点所在的小区间收缩一半的方法 使区间的两个端点逐步逼近函数的 零点 以求得零点的近似值 这种方法叫做两分法 若 则就是函数的零点 1 1 xf0 1 x 若 则令 此时零点 2 af 1 xf0b 1 x 10 xax 若 0 5 1 f 1 1 1 5 0 25 1 f 0 5 1 25 1 5 0 a 1 b 0 n r n a a bb n loglog 2 a 0 a 1 b 0 b 1 a n n b b a log log log 3 a 0 a 1 n 0 na n a log 提醒 指数 对数的运算法则要求参与运算的指数对数式是同底的 4 的符号由口诀 同正异负 记忆 b a log 注意公式 0 1 0 logloglog nmaanmmn aaa 0 1 0 logloglog nmaanm n m aaa 从左 右应用 也注意右 左运用 以及在此过程中的对的要求 nm 强调利用对数运算法则时要注意各字母值的范围 a 0 a 1 m n 0 4 的符号由口诀 同正异负 记忆 b a log 口诀 同大异小 可用来比较与 1 的大小 x a 如 1 的值为 答 8 235 log 25 log 4 log 9aa 2 的值为 答 2 log81 2 1 64 15 指数 对数值的大小比较 1 化同底后利用函数的单调性 2 作差或作商法 3 利用中间量 0 或 1 4 化同指数 或同真数 后利用图象比较 比较两个幂值的大小是常见的题型 也是一类容易出错的问题 解决这类问题 首先 要分清是底数相同还是指数相同 如果底数相同 可利用指数函数的单调性 如果指数相 同 可利用图像 时 底大图高 如果底数 指数都不同 则要利用中间变量0 x 基本思维程序是 中间量 0 再 1 化为同底利用单调性 可引进中间量 以保证同底 同真或同指 作差或作商法 必要时可转化 16 指数函数 与对数函数 y a 0 a 1 x ay x a log 互为反函数 其单调性与 a 的大小有关 图像特征 底大图高 底大图低 x ay 时 0 xxy a log 时 1 x 满足那的图像如图所示 函数 dcba dycyxyxy xx ba log log abdca 1 abcdb 1 badcc 1 bacdd 1 c 17 幂函数及其性质 只要求 xy 1 2 23 1 yx yxyxyyx x 1 都过点 1 1 2 时 图像过点 0 0 且在第一象限中逐渐上升 时 图像不过0 0 0 0 且在第一象限中逐渐下降 提醒 可用来判断指数