高中数学 第三章 导数应用 3.2.2 最大值、最小值问题课件3 北师大版选修22.ppt

2 2最大值 最小值问题 求极值的步骤 1 求导数 2 解方程 3 对于方程的每一个解 分析在左右两侧的符号 确定极值点 在两侧若的符号 1 左正右负 则为极大值点 2 左负右正 则为极小值点 3 相同 则不是极值点 复习回顾 极值是函数的局部性质 而不是在整个定义域内的性质 即 如果是的极大 小 值点 那么在附近找不到比更大 小 的值 但是 解决实际问题或研究函数性质时 我们往往更关心在某个区间上 函数的哪个值最大 哪个值最小 观察下面区间 a b 上函数y f x 的图象 找出它的极大值点 极小值点 极大值点 极小值点 你能说出函数的最大值点和最小值点吗 最大值点 a 最小值点 d 抽象概括 函数y f x 在区间 a b 上的最大 小 值点指的是 函数在这个区间上所有点的函数值都不超过 不小于 其中叫函数在这个区间上的最大 小 值 函数的最大值和最小值统称为最值 问题1 函数的最值与极值有什么区别 1 函数的最值是一个整体性概念 最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大者 最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小者 2 函数的最大值和最小值是比较整个定义区间的所有函数值得到的 极大值和极小值是比较极值点附近的函数值得出的 极值可以有多个 但最值只能有一个 极值只能在区间内取得 最值可以在端点取得 注意 概括总结 问题2 函数y f x 在区间 a b 内的最大值和最小值可能在什么地方取到 最小值是f b 单调函数的最大值和最小值容易被找到 函数y f x 在区间 a b 上 最大值是f a 图1 最大值是f x3 图2 函数y f x 在区间 a b 上 最小值是f x4 图3 一般地 如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 最大 小 值在极大 小 值点或区间的端点处取得 结论 怎样求函数y f x 在区间 a b 内的最大值和最小值 思考 只要把函数y f x 的所有极值连同端点的函数值进行比较即可 例1求函数在区间上的最值 分析 最值是在极值点或者区间的端点取得的 所以要想求最值 应首先求出函数的极值点 然后将所有的极大 小 值与端点的函数值进行比较 其中最大 小 的值即为函数的最大 小 值 解 求导得 令 得 通过比较可知 列表可知 是函数的极大值点 是极小值点 计算极值和端点的函数值得 求最值的步骤 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将f x 的各极值与f a f b 进行比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 概括总结 例2边长为48cm的正方形铁皮 四角各截去一大小相同的正方形后折起 可做成无盖的长方体容器 其容积v是关于截去小正方形边长x的函数 1 随x的变化 容积v如何变化 2 截去小正方形边长为多少时 容积最大 最大容积是多少 分析 解决实际应用问题 首先要分析并列出函数关系 要注意根据实际意义写出定义域 再求最值 解 求导得 令 得 分析可知 x 8是极大值点 极大值为 v f x 在上递增 在上递减 由表知 2 由函数的单调性和图像可知 x 8时最大值点 此时 v f 8 即当截去小正方形边长为8cm时 得到最大容积为 练习 1 求函数在区间 3 3 上的最值 2 已知函数 1 求f x 单调减区间 2 若f x 在 2 2 上的最大值是20 求它在该区间上的最小值 小结 若是在上的最大 小 值点 则不小 大 于在此区间上的所有函数值 函数的最大