高考数学一轮总复习 第八章 立体几何 第3讲 点、直线、平面之间的位置关系课件 理.ppt

第3讲点 直线 平面之间的位置关系 1 平面基本性质即四条公理的 图形语言 文字语言 符号语言 列表 续表 2 空间线 面之间的位置关系 3 异面直线所成的角 锐角或直角 0 90 过空间任一点o分别作异面直线a与b的平行线a 与b 那么直线a 与b 所成的 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 其范围是 1 2013年安徽 在下列命题中 不是公理的是 a 平行于同一个平面的两个平面相互平行b 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面c 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在 此平面内 a d 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么他们有且只有一条过该点的公共直线解析 b c d说法均不需证明 也无法证明 是公理 a选项可以推导证明 故是定理 故选a 2 若空间中有两条直线 则 这两条直线为异面直线 是 a 这两条直线没有公共点 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 3 在长方体abcd a1b1c1d1中 既与ab共面也与cc1共 面的棱的条数为 c a 3条 b 4条 c 5条 d 6条 解析 如图d45 用列举法知 符合要求的棱为 bc cd c1d1 bb1 aa1 故选c 4 若a b a l b l p l 则 d a p b p c l d p 图d45 考点1 平面的基本性质 则 例1 若直线l不平行于平面 且la 内的所有直线与l异面b 内不存在与l平行的直线c 内存在唯一的直线与l平行d 内的直线与l都相交 答案 b 解析 不妨设直线l m 过点m的 内的直线与l不异面 故a错误 假设存在与l平行的直线m 则由m l 得l 这与l m矛盾 故b正确 c显然错误 内存在与l异面的直线 故d错误 故选b 规律方法 直线在平面内也叫平面经过直线 如果直线不在平面内 记作l 包括直线与平面相交及直线与平面平行两种情形 反映平面基本性质的三个公理是研究空间图形和研究点 线 面位置关系的基础 三个公理也是立体几何作图和逻辑推理的依据 公理1是判断直线在平面内的依据 公理2的作用是确定平面 这是把立体几何转化成平面几何的依据 公理3是证明三 多 点共线或三线共点的依据 互动探究 a 1 下列推断中 错误的个数是 a l a b l b l a b c a b c 且a b c不共线 重合 l a l a a 1个 b 2个 c 3个 d 0个 考点2 空间内两直线的位置关系 例2 如图8 3 1 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分 别是bc1 cd1的中点 则下列判断错误的是 图8 3 1 a mn与cc1垂直c mn与bd平行 b mn与ac垂直d mn与a1b1平行 答案 d 规律方法 判断直线是否平行比较简单直观 可以利用公理4 判断直线是否异面则比较困难 掌握异面直线的两种判断方法 反证法 先假设两条直线不是异面直线 即两条直线平行或相交 再由假设的条件出发 经过严格的推理 导出矛盾 从而否定假设 肯定两条直线异面 在客观题中 也可用下述结论 过平面外一点和平面内一点的直线 与平面内不过该点的直线是异面直线 互动探究 2 如图8 3 2所示的是正方体和正四面体 p q r s分别是所在棱的中点 则四个点共面的图形是 填上所有正确答案的序号 图8 3 2 3 如图8 3 3 g h m n分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则使直线gh mn是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 图8 3 3 解析 图 中 直线gh mn 图 中 g h n三点在三棱柱的侧面上 mg与这个侧面相交于g m平面ghn 因此直线gh与mn异面 图 中 连接mg gm hn 因此gh与mn共面 图 中 g m n共面 但h平面gmn 因此gh与mn异面 答案 考点3 异面直线所成的角 例3 在正方体abcd a1b1c1d1中 1 求ac与a1d所成角的大小 2 若e f分别为ab ad的中点 求a1c1与ef所成角的大小 图8 3 4 解 1 如图8 3 4 连接ab1 b1c 由abcd a1b1c1d1是正方体 易知a1d b1c 从而b1c与ac所成的角就是ac与a1d所成的角 ab1 ac b1c b1ca 60 即a1d与ac所成的角为60 2 如图8 3 5 连接ac bd 图8 3 5 在正方体abcd a1b1c1d1中 ac bd ac a1c1 e f分别为ab ad的中点 ef bd ef ac ef a1c1 即a1c1与ef所成的角为90 规律方法 求异面直线所成角的基本方法就是平移 有时候平移两条直线 有时候只需要平移一条直线 直到得到两条相交直线 最后在三角形或四边形中解决问题 互动探究 b 4 2014年大纲 已知在正四面体abcd中 点e是ab的中 点 则异面直线ce与bd所成角的余弦值为 考点4 三点共线 三线共点的证明 图8 3 6 例4 如图8 3 6 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab和aa1的中点 求证 1 e c d1 f四点共面 2 ce d1f da三线共点 证明 1 如图8 3 7 连接ef cd1 a1b 图8 3 7 e f分别是ab aa1的中点 ef ba1 又a1b d1c ef cd1 e c d1 f四点共面 ce与d1f必相交 设交点为点p 如图8 3 7 则由点p ce ce 平面abcd 得点p 平面abcd 同理点p 平面add1a1 又平面abcd 平面add1a1 da 点p 直线da ce d1f da三线共点 规律方法 要证明m n k三点共线 由公理3知 只要证明m n k都在两个平面的交线上即可 证明多点共线问题 可由两点连一条直线 再验证其他各点均在这条直线上 可直接验证这些点都在同一条特定的直线上 相交两平面的唯一交线 关键是通过绘出图形 作出两个适当的平面或辅助平面 证明这些点是这两个平面的公共点 互动探究 a 5 在空间四边形abcd的边ab bc cd da上分别取e f g h四点 若ef与gh交于点m 则 a 点m一定在ac上b 点m一定在bd上c 点m可能在ac上 也可能在bd上d 点m既不在ac上 也不在bd上解析 点m在平面abc内 又在平面adc内 故必在交线ac上 难点突破 利用平移求异面直线所成的角 例题 1 2012年大纲 已知正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为bb1 cc1的中点 那么异面直线ae与d1f所成角的余弦值为 解析 如图8 3 8 连接df 则ae df 图8 3 8 2 2014年大纲 已知正四面体abcd中 e是ab的中点 则异面直线ce与bd所成角的余弦值为 答案 b 规律方法 求异面直线所成角的基本方法就是平移 有时候平移两条直线 有时候只需要平移一条直线 直到得到两条相交直线 最后在三角形或四边形中解决问题 1 反映平面基本性质的三个公理是研究空间图形和研究点 线 面位置关系的基础 三个公理也是立体几何作图和逻辑推理的依据 公理1判断直线在平面内的依据 公理2的作用是确定平面 这是把立体几何转化成平面几何的依据 公理3是证明三 多 点共线或三线共点的依据 2 正确理解异面直线 不同在任何一个平面内 的含义 不要理解成 不在同一个平面内 掌握异面直线的两种判断方法 1 反证法 先假设两条直线不是异面直线 即两条直线平行或相交 由假设的条件出发 经过严格的推理 导出矛盾 从而否定假设肯定两条直线异面 2 客观题中 也可用下述结论 过平面外一点和平面内一 点的直线 与平面内不过该点的直线是异面直线 3 求两条异面直线所成角的大小 一般方