高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 2.3.2 平面与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2.ppt

2 3 2平面与平面垂直的判定 目标定位1 了解二面角及其平面角的概念 会求简单的二面角的大小 2 通过直观感知 操作确认 归纳平面与平面垂直的判定定理 3 能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题 1 二面角 自主预习 1 二面角 从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 叫做二面角的棱 这 叫做二面角的面 如图 1 可记作 或 或 两个半平面 这条直线 两个半平面 二面角 l p ab q p l q 如图 2 对二面角 l 若有 o l oa ob oa l ob l 则 aob就叫做二面角 l 的平面角 2 平面与平面的垂直 1 定义 如果两个平面相交 且它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 2 画法 直二面角 记作 3 面面垂直的判定定理文字语言 一个平面过另一个平面的 则这两个平面垂直 图形语言 如图所示 垂线 a 即时自测 1 判断题 1 若 a b a b 则 2 若直线l 平面 l 平面 则 与 相交且垂直 提示 1 当b 时 才能推出 2 已知l 则过l与 垂直的平面 a 有1个b 有2个c 有无数个d 不存在 解析由面面垂直的判定定理知 凡过l的平面都垂直于平面 这样的平面有无数个 答案c 3 从空间一点p向二面角 l 的两个面 分别作垂线pe pf e f为垂足 若 epf 60 则二面角的平面角的大小是 a 60 b 120 c 60 或120 d 不确定 解析若点p在二面角内 则二面角的平面角为120 若点p在二面角外 则二面角的平面角为60 答案c 4 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 截面c1d1ab与底面abcd所成二面角c1 ab c的大小为 解析 ab bc ab bc1 c1bc为二面角c1 ab c的平面角 其大小为45 答案45 类型一二面角及其平面角的概念 例1 下列命题中 两个相交平面组成的图形叫做二面角 异面直线a b分别和一个二面角的两个面垂直 则a b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补 二面角的平面角是从棱上一点出发 分别在两个面内作射线所成的角的最小角 二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 其中正确的是 a b c d 解析由二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 所以 不对 实质上它共有四个二面角 由a b分别垂直于两个面 则a b都垂直于二面角的棱 故 正确 中所作的射线不一定垂直于二面角的棱 故 不对 由定义知 正确 故选b 答案b 规律方法 1 要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致 2 要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面上的角的联系与区别 3 可利用实物模型 作图帮助判断 训练1 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面 那么这两个二面角 a 相等b 互补c 相等或互补d 关系无法确定 解析如图所示 平面efdg 平面abc 当平面hdg绕dg转动时 平面hdg始终与平面bcd垂直 所以两个二面角的大小关系不确定 故二面角h dg f的大小不确定 答案d 类型二面面垂直的判定与证明 例2 如图 ab是 o的直径 pa垂直于 o所在的平面 c是圆周上异于a b的任意一点 求证 平面pac 平面pbc 证明连接ac bc 因为c是圆周上异于a b的任一点 且ab是 o直径 则bc ac 又pa 平面abc bc 平面abc pa bc 而pa ac a bc 平面pac 又bc 平面pbc 平面pac 面pbc 规律方法面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法 即要证面面垂直 只需转证线面垂直 关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直 训练2 如图 四棱锥p abcd的底面是正方形 pd 底面abcd 点e在棱pb上 求证 平面aec 平面pdb 证明 abcd是正方形 ac bd 又pd 平面abcd ac 平面abcd pd ac 又pd bd为平面pdb内两条相交直线 ac 平面pdb 又 ac 平面aec 平面aec 平面pdb 类型三二面角 互动探究 例3 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 求二面角b a1c1 b1的正切值 思路探究 探究点一求二面角的大小关键是什么 提示求二面角的大小关键是要找出或作出平面角 探究点二二面角的两种常见求法是什么 提示1 定义法 在二面角的棱上找一点 在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线 2 垂面法 过棱上一点作与棱垂直的平面 该平面与二面角的两个半平面形成交线 这两条射线 交线 所成的角 即为二面角的平面角 解取a1c1的中点o 连接b1o bo 由题意知b1o a1c1 规律方法1 求二面角的大小关键是要找出或作出平面角 再把平面角放在三角形中 利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值 其步骤为作角 证明 计算 2 为在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点 如是否为等腰三角形等 课堂小结 1 证明两个平面垂直的主要途径 1 利用面面垂直的定义 2 面面垂直的判定定理 即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 2 证明两个平面垂直 通常是通过证明线线垂直 线面垂直 面面垂直来实现的 因此 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直 线面垂直 面面垂直的相互转化 每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直 最终达到目的 3 下面的结论 有助于判断面面垂直 1 m n m n 2 m n m n 3 1 对于直线m n和平面 能得出 的一个条件是 a m n m n b m n m n c m n n m d m n m n 解析 n m n m 又m 由面面垂直的判定定理 答案c 2 空间四边形abcd中 若ad bc bd ad 那么有 a 平面abc 平面adcb 平面abc 平面adbc 平面abc 平面dbcd 平面adc 平面dbc 解析 ad bc ad bd bc bd b ad 平面bcd 又 ad 平面adc 平面adc 平面dbc 答案d 3 如图 三棱锥p abc中 pa 平面abc bac 90 则二面角b pa c的大小为 解析pa 平面abc bac即为二面角b pa c的平面角 又