高考数学一轮复习 第二章 函数 第四节 二次函数与幂函数课件 文.ppt

第四节二次函数与幂函数 总纲目录 教材研读 1 二次函数 考点突破 2 幂函数 考点二二次函数的图象与性质 考点一幂函数的图象与性质 考点三二次函数在闭区间上的最值 1 二次函数 1 二次函数的定义形如 f x ax2 bx c a 0 的函数叫做二次函数 2 二次函数的三种表示形式 i 一般式 f x ax2 bx c a 0 ii 顶点式 f x a x m 2 n a 0 iii 两根式 f x a x x1 x x2 a 0 教材研读 3 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象和性质 2 幂函数 1 幂函数的定义形如 y x 的函数称为幂函数 其中x是 自变量 为 常数 2 五种常见幂函数的图象 i 当 0时 幂函数y x 有下列性质 a 图象都通过点 0 0 1 1 b 在第一象限内 函数值随x的增大而增大 ii 当 0时 幂函数y x 有下列性质 a 图象都通过点 1 1 b 在第一象限内 函数值随x的增大而减小 3 幂函数的性质 4 五种常见幂函数的性质 1 2015北京通州摸底 已知幂函数f x x 的图象经过点 2 那么lgf 2 lgf 5 等于 a b 1c d 2 答案c由题意得2 f x 则lgf 2 lgf 5 lg f 2 f 5 lg 2 5 c 2 若四个幂函数y xa y xb y xc y xd在同一坐标系中的图象如图所示 则a b c d的大小关系是 a d c b ab a b c dc d c a bd a b d c 答案b根据幂函数的性质及图象知选b b 3 已知函数f x ax2 x 5的图象在x轴上方 则a的取值范围是 a b c d 答案c 函数f x ax2 x 5的图象在x轴上方 解得a c 4 已知f x 4x2 mx 5在 2 上是增函数 则实数m的取值范围是 答案 16 解析因为函数f x 4x2 mx 5的单调递增区间为 所以 2 即m 16 16 5 2017北京石景山一模 已知函数f x 若f a f 2 a 则a的取值范围是 答案a 1 解析当x 0时 f x x2 x 易知f x 在 0 上单调递增 当xf 2 a a 2 a 解得a 1 a 1 考点突破 答案 1 c 2 h x g x f x 解析 1 设幂函数的解析式为f x xa 幂函数y f x 的图象过点 4 2 2 4a 解得a f x 其定义域为 0 且是增函数 当0g x f x 规律总结 1 作幂函数的图象要联系函数的定义域 值域 单调性 奇偶性等 对于一些幂函数只要作出它在第一象限内的图象 然后根据它的奇偶性可作出幂函数在定义域内完整的图象 2 利用幂函数的性质可处理比较大小问题 此类问题要根据待比较的数的特征 合理引入幂函数 利用幂函数的单调性进行比较 1 1已知函数f x m2 m 1 是幂函数 且x 0 时 f x 是增函数 则m的值为 a 1b 2c 1或2d 3 答案b 函数f x m2 m 1 是幂函数 m2 m 1 1 解得m 1或m 2 又 函数f x 在 0 上为增函数 m2 m 3 0 m 2 b 1 2设a b c 则a b c的大小关系是 答案a c b 解析 y x 0 为增函数 a c y x r 为减函数 b a c b a c b 1 3若 a 1 3 2a 则实数a的取值范围是 答案 解析易知函数y 的定义域为 0 函数在定义域内为增函数 所以解得 1 a 考点二二次函数的图象与性质 b 答案b 解析由已知得解得 p 0 2t2 1 5t 2 当t 3 75时 p最大 即最佳加工时间为3 75分钟 故选b 方法技巧确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号 它确定二次函数图象的开口方向 二是看对称轴和最值 它确定二次函数图象的具体位置 三是看函数图象上的一些特殊点 如函数图象与y轴的交点 与x轴的交点 函数图象的最高点或最低点等 从这三个方向入手 能准确地判断出二次函数的图象 反之 也可以从图象中得到如上信息 2 1已知二次函数f x 的图象经过点 4 3 且截x轴所得的线段长为2 并且对任意x r 都有f 2 x f 2 x 求f x 的解析式 解析 f 2 x f 2 x 对x r恒成立 f x 图象的对称轴为直线x 2 又 f x 图象截x轴所得的线段长为2 f x 0的两根为1和3 设f x 的解析式为f x a x 1 x 3 a 0 f x 的图象过点 4 3 3a 3 a 1 f x 的解析式为f x x 1 x 3 即f x x2 4x 3 考点三二次函数在闭区间上的最值命题角度一二次函数的最值问题 典例3已知f x ax2 2x 0 x 1 求f x 的最小值 解析 当a 0时 f x 2x在 0 1 上递减 f x min f 1 2 当a 0时 f x ax2 2x的图象的开口方向向上 且对称轴为直线x 当 1 即a 1时 f x 在上递减 在上递增 f x min f 当 1 即0 a 1时 f x 在 0 1 上递减 f x min f 1 a 2 当a 0时 f x ax2 2x的图象的开口方向向下 且对称轴x 0 f x ax2 2x在 0 1 上递减 f x min f 1 a 2 综上所述 f x min 命题角度二二次函数中的恒成立问题典例4若二次函数f x ax2 bx c a 0 满足f x 1 f x 2x 且f 0 1 1 求f x 的解析式 2 若在区间 1 1 上 不等式f x 2x m恒成立 求实数m的取值范围 解析 1 由f 0 1得c 1 f x ax2 bx 1 又f x 1 f x 2x a x 1 2 b x 1 1 ax2 bx 1 2x 即2ax a b 2x 因此 f x x2 x 1 2 f x 2x m等价于x2 x 1 2x m 即x2 3x 1 m 0 令g x x2 3x 1 m 要使g x x2 3x 1 m 0在 1 1 上恒成立 只需使函数g x x2 3x 1 m在 1 1 上的最小值大于0即可 g x x2 3x 1 m在 1 1 上单调递减 g x min g 1 m 1 由 m 1 0得m 1 因此满足条件的实数m的取值范围是 1 方法技巧二次函数最值的求法二次函数的区间最值问题一般有三种情况 1 对称轴和区间都是给定的 2 对称轴动 区间固定 3 对称轴定 区间变动 解决这类问题的思路是抓住 三点一轴 进行数形结合 三点指的是区间两个端点和中点 一轴指的是对称轴 具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解 对于 2 3 通常要分对称轴在区间内 区间外两大类情况进行讨论 3 1已知x 1 1 时 f x x2 ax 0恒成立 则实数a的取值范围是 a 0 2 b 2 c 0 d 0 4 a 答案a二次函数的图象开口向上 对称轴为x x 1 1 时 f x x2 ax 0恒成立 即f x min 0 当 1 即a 2时 f x min f 1 1 a 0