山东省潍坊市高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（共大题共10小题，每小题5分，共50分）1已知a，b为非零实数，且ab，则下列结论一定成立的是（）aa2b2ba3b3cdac2bc22命题：“x0，+），x3+2x0”的否定是（）ax（，0），x3+2x0bx0，+），x3+2x0cx（，0），x3+2x0dx0，+），x3+2x03“x0”是“0”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要4已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）a4b6c8d105在abc中，内角a，b，c的对边分别是a，b，c，且满足bcosc=a，则abc的形状是（）a等边三角形b锐角三角形c直角三角形d钝角三角形6已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：4x3y+20=0，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）a=1b=1c=1d=17已知四面体abcd， =， =， =，点m在棱da上， =2，n为bc中点，则=（）a b +c +d 8我国古代数学巨著九章算术中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第4天所织布的尺数为”（）abcd9对任意实数x，若不等式4xm2x+10恒成立，则实数m的取值范围是（）am2b2m2cm2d2m210抛物线y2=2px（p0）的焦点为f，准线为l，a、b为抛物线上的两个动点，且满足afb=，设线段ab的中点m在l上的投影为n，则的最大值为（）a1b2c3d4二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11已知焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=，则实数m=12设实数x，y满足条件，则z=y2x的最大值为13在abc中，内角a、b、c的对边分别为a，b，c，若b，c，a成等比数列，且a=2b，则cosa=14过抛物线c：y2=8x的焦点f作直线l交抛物线c于a，b两点，若a到抛物线的准线的距离为6，则|ab|=15给出下列四个命题：命题“若=，则tan=”的否命题是“若，则tan”；在abc中，“ab”是“sinasinb的充分不必要条件”；定义：为n个数p1，p2，pn的“均倒数”，已知数列an的前n项的“均倒数”为，则数列an的通项公式为an=2n+1；在abc中，bc=，ac=，ab边上的中线长为，则ab=2以上命题正确的为（写出所有正确的序号）三、解答题：（本大题共6小题，共75分）16已知向量=（x，1，2），=（1，y，2），=（3，1，z），（1）求向量，；（2）求向量（+）与（+）所成角的余弦值17在abc中，内角a、b、c的对边分别为a，b，c，且=1（1）求c；（2）若c=，b=，求b及abc的面积18已知p：方程方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：实数m满足m2（2a+1）m+a2+a0且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围19中国海警辑私船对一艘走私船进行定位：以走私船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）中国海警辑私船恰在走私船正南方18海里a处（如图）现假设：走私船的移动路径可视为抛物线y=x2；定位后中国海警缉私船即刻沿直线匀速前往追埔；中国海警辑私船出发t小时后，走私船所在的位置的横坐标为2t（1）当t=1，写出走私船所在位置p的纵坐标，若此时两船恰好相遇，求中国海警辑私船速度的大小；（2）问中国海警辑私船的时速至少是多少海里才能追上走私船？20已知数列an是等差数列，其前n项和为sn，且满足a1+a5=10，s4=16；数列bn满足：b1+3b2+32b3+3n1bn=，（nn*）（）求数列an，bn的通项公式；（）设cn=anbn+，求数列cn的前n项和tn21已知椭圆e： +=1（ab0）经过点（0，），离心率为，点o为坐标原点（）求椭圆e的标准方程；（）过左焦点f任作一直线l，交椭圆e于p、q两点 （i）求的取值范围； （ii）若直线l不垂直于坐标轴，记弦pq的中点为m，过f作pq的垂线fn交直线om于点n，证明：点n在一条定直线上2015-2016学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共大题共10小题，每小题5分，共50分）1已知a，b为非零实数，且ab，则下列结论一定成立的是（）aa2b2ba3b3cdac2bc2【考点】不等式的基本性质【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】a取a=3，b=2，即可判断出正误；b令f（x）=x3，（xr），利用导数研究其单调性即可判断出正误c取a=2，b=1，即可判断出正误；d取c=0，即可判断出正误【解答】解：a取a=3，b=2，不成立；b令f（x）=x3，（xr），f（x）=3x20，函数f（x）在r上单调递增，又ab，a3b3，因此正确；c取a=2，b=1，不正确；d取c=0，不正确故选：b【点评】本题考查了不等式的性质、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题2命题：“x0，+），x3+2x0”的否定是（）ax（，0），x3+2x0bx0，+），x3+2x0cx（，0），x3+2x0dx0，+），x3+2x0【考点】命题的否定【专题】集合思想；数学模型法；简易逻辑【分析】由全称命题的否定的规则可得【解答】解：命题：“x0，+），x3+2x0”为全称命题，故其否定为特称命题，排除a和c，再由否定的规则可得：“x0，+），x3+2x0”故选：b【点评】本题考查全称命题的否定，属基础题3“x0”是“0”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】由0，化为x（x+1）0，解出即可判断出【解答】解：0，x（x+1）0，解得1x0，“x0”是“0”的必要不充分条件，故选：b【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）a4b6c8d10【考点】等差数列；等比数列【专题】等差数列与等比数列【分析】利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求得a2【解答】解：a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，a32=a1a4，即（a1+4）2=a1（a1+6），解得a1=8，a2=a1+2=6故选b【点评】本题考查了等差数列的通项公式和等比数列的定义，比较简单5在abc中，内角a，b，c的对边分别是a，b，c，且满足bcosc=a，则abc的形状是（）a等边三角形b锐角三角形c直角三角形d钝角三角形【考点】正弦定理；余弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】已知等式利用余弦定理化简，整理可得：a2+c2=b2，利用勾股定理即可判断出abc的形状【解答】解：在abc中，bcosc=a，由余弦定理可得：cosc=，整理可得：a2+c2=b2，利用勾股定理可得abc的形状是直角三角形故选：c【点评】此题考查了三角形形状的判断，考查了余弦定理以及勾股定理的应用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于基础题6已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：4x3y+20=0，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）a=1b=1c=1d=1【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由已知推导出=，双曲线的一个焦点为f（5，0），由此能求出双曲线的方程【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：4x3y+20=0，=双曲线的一个焦点在直线l：4x3y+20=0上，由y=0，得x=5，双曲线的一个焦点为f（5，0），解得a=3，b=4，双曲线的方程为=1故选：a【点评】本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用7已知四面体abcd， =， =， =，点m在棱da上， =2，n为bc中点，则=（）a b +c +d 【考点】空间向量的加减法【专题】数形结合；定义法；空间向量及应用【分析】根据题意，利用空间向量的线性表示与运算，用、与表示出【解答】解：连接dn，如图所示，四面体abcd中， =， =， =，点m在棱da上， =2， =，又n为bc中点， =（+）；=+=+=+故选：b【点评】本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，是基础题目8我国古代数学巨著九章算术中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第4天所织布的尺数为”（）abcd【考点】等比数列的通项公式【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由题意可得每天的织布数量构成公比为2的等比数列，由等比数列的求和公式可得首项，进而由通项公式可得【解答】解：设该女第n天织布为an尺，且数列为公比q=2的等比数列，则由题意可得=5，解得a1=，故该女子第4天所织布的尺数为a4=a1q3=，故选：d【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题9对任意实数x，若不等式4xm2x+10恒成立，则实数m的取值范围是（）am2b2m2cm2d2m2【考点】指、对数不等式的解法【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用【分析】由已知（2x）2m2x+10恒成立，由此利用根的判别式能求出实数m的取值范围【解答】解：对任意实数x，不等式4xm2x+10恒成立，（2x）2m2x+10恒成立，=m240，解得2m2故选：b【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用10抛物线y2=2px（p0）的焦点为f，准线为l，a、b为抛物线上的两个动点，且满足afb=，设线段ab的中点m在l上的投影为n，则的最大值为（）a1b2c3d4【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设|af|=a，|bf|=b，连接af、bf由抛物线定义得2|mn|=a+b，由余弦定理可得|ab|2=（a+b）23ab，进而根据基本不等式，求得|ab|的取值范围，从而得到本题答案【解答】解：设|af|=a，|bf|=b，连接af、bf，由抛物线定义，得|af|=|aq|，|bf|=|bp|，在梯形abpq中，2|mn|=|aq|+|bp|=a+b由余弦定理得，|ab|2=a2+b22abcos60=a2+b2ab，配方得，|ab|2=（a+b）23ab，又ab，（a+b）23ab（a+b）2（a+b）2=（a+b）2得到|ab|（a+b）1，即的最大值为1故选：a【点评】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11已知焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=，则实数m=12【考点】椭圆的简单性质【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】直接利用已知条件求出椭圆的几何量a，b，c，利用离心率公式计算求解即可【解答】解：焦点在x轴上的椭圆+=1，可知a=，b=3，c=，离心率是e=， =，解得m=12故答案为：12【点评】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用椭圆的基本量和离心率公式，考查运算能力，属于基础题12设实数x，y满足条件，则z=y2x的最大值为5【考点】简单线性规划【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x结合图象可得结论【解答】解：作出条件所对应的可行域（如图abc），变形目标函数可得y=2x+z，平移直线y=2x可知：当直线经过点a（1，3）时，直线的截距最大，此时目标函数z取最大值z=32（1）=5故答案为：5【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题13在abc中，内角a、b、c的对边分别为a，b，c，若b，c，a成等比数列，且a=2b，则cosa=【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】由b，c，a成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再将a=2b代入，开方用b表示出c，然后利用余弦定理表示出cosb，将表示出的a和c代入，整理后即可得到cosb的值【解答】解：在abc中，b，c，a成等比数列，c2=ab，又a=2b，c2=2b2，即c=b，则cosa=故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，以及等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题14过抛物线c：y2=8x的焦点f作直线l交抛物线c于a，b两点，若a到抛物线的准线的距离为6，则|ab|=9【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先求出a的坐标，可得直线ab的方程，代入抛物线c：y2=8x，求出b的横坐标，利用抛物线的定义，即可求出|ab|【解答】解：抛物线c：y2=8x的准线方程为x=2，焦点f（2，0）a到抛物线的准线的距离为6，a的横坐标为4，代入抛物线c：y2=4x，可得a的纵坐标为4，不妨设a（4，4），则kaf=2，直线ab的方程为y=2（x2），代入抛物线c：y2=4x，可得4（x2）2=4x，即x25x+4=0，x=4或x=1，b的横坐标为1，b到抛物线的准线的距离为3，|ab|=6+3=9故答案为：9【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题15给出下列四个命题：命题“若=，则tan=”的否命题是“若，则tan”；在abc中，“ab”是“sinasinb的充分不必要条件”；定义：为n个数p1，p2，pn的“均倒数”，已知数列an的前n项的“均倒数”为，则数列an的通项公式为an=2n+1；在abc中，bc=，ac=，ab边上的中线长为，则ab=2以上命题正确的为（写出所有正确的序号）【考点】命题的真假判断与应用【专题】综合题；转化思想；定义法；简易逻辑【分析】根据否命题的定义进行判断根据充分条件和必要条件的定义进行判断根据数列an的前n项的“均倒数”为，即可求出sn，然后利用裂项法进行求和即可根据余弦定理进行求解判断【解答】解：命题“若=，则tan=”的否命题是“若，则tan”；故正确，在abc中，“ab”等价于ab，等价为sinasinb，则，“ab”是“sinasinb的充分必要条件”；故错误，数列an的前n项的“均倒数”为，=，即sn=n（n+2）=n2+2n，当n2时，an=snsn1=n2+2n（n1）22（n1）=2n+1，当n=1时，a1=s1=1+2=3，满足an=2n+1，数列an的通项公式为an=2n+1，故正确，在abc中，bc=，ac=，ab边上的中线长为，设ab=2x，则cosaoc=cosboc，即=，即x24=x2，即x2=2，则x=，则ab=2故正确，故答案为：【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，充分条件和必要条件以及解三角形的应用，综合性较强，难度中等三、解答题：（本大题共6小题，共75分）16已知向量=（x，1，2），=（1，y，2），=（3，1，z），（1）求向量，；（2）求向量（+）与（+）所成角的余弦值【考点】空间向量的数量积运算【专题】对应思想；向量法；空间向量及应用【分析】（1）根据空间向量的坐标表示与，且，列出方程组求出x、y、z的值即可；（2）根据空间向量的坐标运算与数量积运算，利用公式求出（+）与（+）所成角的余弦值【解答】解：（1）向量=（x，1，2），=（1，y，2），=（3，1，z），且，解得x=1，y=1，z=1；向量=（1，1，2），=（1，1，2），=（3，1，1）；（2）向量（+）=（2，2，3），（+）=（4，0，1），（+）（+）=24+20+3（1）=5，|+|=，|+|=；（+）与（+）所成角的余弦值为cos=【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与数量积的应用问题，是基础题目17在abc中，内角a、b、c的对边分别为a，b，c，且=1（1）求c；（2）若c=，b=，求b及abc的面积【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】（1）由已知条件化简变形可得：a2+b2c2=ab，利用余弦定理可得cosc，结合范围c（0，180），即可得解c的值（2）利用已知及正弦定理可得sinb，利用大边对大角可求角b的值，利用两角和的正弦函数公式可求sina的值，利用三角形面积公式即可求值得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）由已知条件化简可得：（a+b）2c2=3ab，变形可得：a2+b2c2=ab，由余弦定理可得：cosc=，c（0，180），c=606分（2）c=，b=，c=60，由正弦定理可得：sinb=，又bc，bc，b=45，在abc中，sina=sin（b+c）=sinbcoc+cosbsinc=，sabc=bcsina=12分【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，大边对大角，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18已知p：方程方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：实数m满足m2（2a+1）m+a2+a0且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】由p可得：2mm10，解得m范围由q：实数m满足m2（2a+1）m+a2+a0化为：（ma）m（a+1）0，解得m范围又q是p的充分不必要条件，可得pq【解答】解：由p可得：2mm10，解得由q：实数m满足m2（2a+1）m+a2+a0化为：（ma）m（a+1）0，解得ama+1又q是p的充分不必要条件，pq则，解得经过检验a=或1时均适合题意故a的取值范围是【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19中国海警辑私船对一艘走私船进行定位：以走私船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）中国海警辑私船恰在走私船正南方18海里a处（如图）现假设：走私船的移动路径可视为抛物线y=x2；定位后中国海警缉私船即刻沿直线匀速前往追埔；中国海警辑私船出发t小时后，走私船所在的位置的横坐标为2t（1）当t=1，写出走私船所在位置p的纵坐标，若此时两船恰好相遇，求中国海警辑私船速度的大小；（2）问中国海警辑私船的时速至少是多少海里才能追上走私船？【考点】函数模型的选择与应用【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）t=1时，确定p的横坐标，代入抛物线方程可得p的纵坐标，利用|ap|，即可确定中国海警辑私船速度的大小；（2）设中国海警辑私船的时速为v海里，经过t小时追上走私船，此时位置为（2t，9t2），从而可得v关于t的关系式，利用基本不等式，即可得到结论【解答】解：（1）t=1时，p的横坐标xp=2，代入抛物线方程y=x2中，得p的纵坐标yp=9由a（0，18），可得|ap|=，得中国海警辑私船速度的大小为海里/时；（2）设中国海警辑私船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（2t，9t2）由vt=|ap|=，整理得v2=81（t2+）+352因为t2+4，当且仅当t=时等号成立，所以v2814+352=262，即v26因此，中国海警辑私船的时速至少是26海里才能追上走私船【点评】本题主要考查函数模型的选择与运用选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题20已知数列an是等差数列，其前n项和为sn，且满足a1+a5=10，s4=16；数列bn满足：b1+3b2+32b3+3n1bn=，（nn*）（）求数列an，bn的通项公式；（）设cn=anbn+，求数列cn的前n项和tn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（）通过联立a1+a5=10、s4=16可知首项和公差，进而可知an=2n1；通过作差可知当n2时bn=，进而可得结论；（）通过（i）及错位相减法计算可知数列anbn的前n项和和为pn=1（n+1），通过裂项、利用并项相加法可知数列的前n项和qn=，进而计算可得结论【解答】解：（）依题意，解得：，an=1+2（n1）=2n1；b1+3b2+32b3+3n1bn=，b1+3b2+32b3+3n2bn1=（n2），两式相减得：3n1bn=，bn=（n2），又b1=满足上式，数列bn的通项公式bn=；（）记pn=anbn=（2n1），其前n项和和为pn，则pn=1+3+（2n1），pn=1+3+（2n3）+（2n1），两式相减得： pn=+2（+）（2n1）=2（2n1）= 1（n+1），pn=1（n+1），qn=（），其前n项和qn=（1+）=（1）=，cn=anbn+，tn=pn+qn=1（n+1）+【点评】本题考查数列的通项及前n