概率论与数理统计随机事件的概率ppt课件.ppt

1 概率论与数理统计 ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics 2 3 教材 概率论与数理统计 4 参考资料 概率论与数理统计 5 概率论与数理统计的应用 预测与控制 回归分析 质量控制 区间估计 假设检验 六Sigma管理 寻求最佳方案 大数定律和中心极限定理 在其它学科中的应用 运筹学 统计学原理 6 如何学好这门课 高等数学是这门课的数学基础思维方式的转变理论和实际相结合独立思考 按质按量完成作业不要缺课 7 考核方法 平时考勤和作业 占30 期中考试 占30 期末考试 占40 8 第一章随机事件的概率 随机事件随机事件的概率古典概型条件概率事件的独立性 9 概率论是研究什么的 随机现象 在一定条件下可能发生也可能不发生的现象 它具有不确定性与统计规律性 概率论是研究和揭示随机现象的统计规律性的科学 确定性现象 在一定条件下必然发生的现象 统计规律性 在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性 10 例子 随机现象 掷一枚硬币出现正面 统计规律性 掷出正面的次数约占总次数的二分之一 11 1 1随机试验 随机试验的特点 1 可在相同条件下重复进行 可重复性 2 试验可能结果不止一个 但能确定所有的可能结果 可观察性 3 一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现 不确定性 随机试验可表为E 12 E1 抛一枚硬币 分别用 H 和 T 表示出正面和反面 E2 将一枚硬币连抛三次 考虑正反面出现的情况 E3 将一枚硬币连抛三次 考虑正面出现的次数 E4 掷一颗骰子 考虑可能出现的点数 E5 记录某网站一分钟内受到的点击次数 E6 在一批灯泡中任取一只 测其寿命 E7 任选一人 记录他的身高和体重 随机试验的例子 13 样本空间 随机事件 一 样本空间试验E的所有可能结果所组成的集合称为样本空间 记为 试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点 记为 例 给出E1 E7的样本空间 14 E1 抛一枚硬币 分别用 H 和 T 表示出正面和反面 15 E2 将一枚硬币连抛三次 考虑正反面出现的情况 16 E3 将一枚硬币连抛三次 考虑正面出现的次数 17 E4 掷一颗骰子 考虑可能出现的点数 18 E5 记录某网站一分钟内受到的点击次数 19 E6 在一批灯泡中任取一只 测其寿命 20 E7 任选一人 记录他的身高和体重 21 观察E2和E3有何发现 同一个试验可以对应不同的样本空间 研究目的不同 22 例 掷骰子 观察出现的点数 A 出现1 B 出现6 C 出现小点D 出现偶数点 二 随机事件 随机事件 具有某一可观察特征的随机试验的结果 简称 事件 记作A B C等 23 两个特殊事件 不可能事件 必然事件 基本事件 仅含一个样本点的事件复合事件 含有两个或两个以上样本点的事件 可以看出 任何事件均可表示为样本空间的某个子集 称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素 24 1 包含关系 A发生必导致B发生 记为A BA B A B且B A 三 事件之间的关系 25 2 和事件 事件A与B至少有一个发生 记作A B或A B n个事件A1 A2 An至少有一个发生 记作 可推广到可数个事件的和 见课本 26 3 积事件 A与B同时发生 记作A B AB n个事件A1 A2 An同时发生 记作A1A2 An 可推广到可数个事件的积 见课本 27 4 差事件 A B称为A与B的差事件 表示事件A发生而B不发生 28 5 互斥的事件 事件A B不能同时发生称A B为互斥事件 或A B互不相容 记为AB 29 6 对立事件 A B 且AB 即事件 非A 称为事件A的对立事件 记为 称 为A的对立事件 且有表示事件A和B 有且仅有一个发生 30 7 完备事件组 如果n个事件互不相容 并且它们的和是必然事件 则称这n个事件构成一个完备事件组 即1彼此互不相容 2 可推广到可数个事件 31 四 事件的运算律 1 交换律 A B B A AB BA2 结合律 A B C A B C AB C A BC 3 分配律 A B C AC BC AB C A C B C 4 自反律 5 对偶 DeMorgan 律 其他 A A AAA AA A AA A A 32 例1设表示某射手第i次击中目标 i 1 2 3 用语言叙述下列各事件 表示 表示 3 4 33 例2甲 乙 丙三人各向目标射击一发子弹 以A B C分别表示甲 乙 丙命中目标 试用A B C的运算关系表示下列事件 1 甲未击中目标 2 甲中而乙未击中目标 3 三人中只丙没击中目标 4 三人中恰一人击中目标 5 三人中至少一人击中目标 34 6 三人中至少一人未击中目标 7 三人中恰两人击中目标 8 三人中至少两人击中目标 9 三人都未击中目标 10 三人中至多一人击中目标 11 三人中至多两人击中目标 35 1 2随机事件的概率 从直观上来看 事件A的概率是指事件A发生的可能性记为P A 抛一枚硬币 出现正面的概率为多少 掷一颗骰子 出现6点的概率为多少 出现单数点的概率为多少 某人向目标射击 以A表示事件 命中目标 P A 36 定义事件A在n次重复试验中出现nA次 则比值nA n称为事件A在n次重复试验中出现的频率 记为fn A 即 一 频率与概率 37 历史上曾有人做过试验 试图证明抛掷匀质硬币时 出现正反面的机会均等 实验者nnHfn H DeMorgan204810610 5181Buffon404020480 5069K Pearson1200060190 5016K Pearson24000120120 5005 38 实践证明 当试验次数n增大时 fn A 逐渐趋向一个稳定值 可将此稳定值记作P A 作为事件A的概率 频率的性质 1 0 fn A 1fn 1 设是两两互斥的事件 则 39 概率的统计定义 若随机事件A在n次试验中出现了k次 则称比值为事件A在n次试验中出现的频率 当试验次数n逐渐增大时 频率在一个常数p附近摆动 而且逐渐稳定于这个常数 则称p为事件A在n次试验中发生的概率 记为P A p简而言之 频率的稳定值就是概率 概率的统计定义 40 二 概率的公理化定义 概率的统计定义有它自身的缺陷 有些随机事件的概率是无法通过重复试验来确定的 概率论也不应只研究可在相同条件下重复进行的随机试验 经过许许多多学者的长期探索 1933年柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义 第一次将概率论建立在严密的逻辑基础上 41 1 定义若对随机试验E所对应的样本空间 中的每一事件A 均赋予一实数P A 集合函数P A 满足条件 1 非负性 P A 0 2 规范性 P 1 3 可列可加性 设A1 A2 是一列互不相容的事件 有P A1 A2 P A1 P A2 则称P A 为事件A的概率 42 2 概率的性质 2 有限可加性 设A1 A2 An 是n个互不相容的事件 则有P A1 A2 An P A1 P A2 P An 4 减法公式P A B P A P AB 特别地 若AB则P A B P A P B P A P B 43 5 对任一事件A P A 1 7 可分性 对任意两事件A B 有 6 加法公式 对任意两事件A B 有P A B P A P B P AB 该公式可推广到任意n个事件 当n 3时 P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC 44 例1A B为随机事件 且 则下列成立的式子是 a P A B P A b P B A P A c P AB P A d P A P B 例2设A B为随机事件 P A 0 7 P A B 0 3 求P AB 例3设A B互不相容 P A 0 6 P A B 0 8 求 例4设求a的取值范围 45 例6在上题中 A与B至少发生其一的概率是多少 例5设P A 0 6 A B都发生的概率为0 1 A与B都不发生的概率为0 15 求A发生但B不发生 以及B发生而A不发生的概率 46 若某试验E满足1 有限性 样本空间 e1 e2 en 2 等可能性 P e1 P e2 P en 则称E为古典概型也叫等可能概型 1 3古典概型 47 48 解题的步骤 1 设事件 将问题简化2 找事件之间的关系3 运用合适的公式4 计算 49 例 摸球问题 设盒中有3个白球 2个红球 现从盒中任抽2个球 求取到一红一白的概率 解 设A 取到一红一白 50 例 将3封信任意投到四个信箱中去 求下列事件的概率 1 只有两个信箱有信的概率 2 一个信箱最多只有1封信的概率 3 前两个信箱没有信的概率 解 设A 只有两个信箱有信 B 一个信箱最多只有1封信 C 前两个信箱没有信 51 例在1 2000的整数中任取一数 求取到的数既不能被6也不能被8整除的概率 解 设A 取到的数能被6整除 取到的数能被8整除 所求概率为 52 例 箱中装有a只白球 b只黑球 1 有放回抽取 每次一球 求第k次取到白球的概率 2 无放回抽取 每次一球 求第k次取到白球的概率 解 设A 第k次取到白球 k 1 2 a b 53 结论 第k次取到白球的概率和取球的方式无关 和取球的次序无关 54 几何概型 三个例子 特点 1 样本空间 是一个几何区域 这个区域的大小可以度量 2 向区域 内任意投掷一点 落在区域内任一点处都是等可能的 设A 掷点落在区域A内 则 其中 m A 表示区域A的度量 55 例1 每5分钟有一辆69路车到达北师大站 某同学在5分钟内任一时间到达车站是等可能的 求他等车时间超过3分钟的概率 例2 在区间 0 1 内任取两个数 求这两个数的乘积小于 的概率 56 袋中有十只球 其中九只白球 一只红球 甲乙两人依次从袋中各取一球 不放回 问甲取得红球的概率是多少 乙取得红球的概率是多少 设A 甲取到红球 B 乙取到红球 1 4条件概率 57 若已知甲取到的是白球 则乙取到红球的概率是多少 已知在事件A发生的条件下 事件B发生的概率称为在A发生条件下B发生的条件概率 记作P B A 若已知甲取到的是红球 则乙取到红球的概率又是多少 58 引例 将一枚硬币连抛两次 考虑正反面出现的情况 A 至少出现一次正面 B 两次出现同一面 求已知A发生的条件下B发生的概率 解 59 一 条件概率 60 B的条件概率与B的原概率的区别 P B 称为B的原概率 P B A 称为B的条件概率 公式中的P A P AB 是在样本空间中讨论的 P B A 是在缩小了的样本空间A中讨论B的概率 条件概率的性质 1 2 3 设A1 A2 An互不相容 有 61 例设袋中有3个白球 2个红球 现从袋中任意抽取两次 每次取一个 取后不放回 1 求两次均取到红球的概率 2 已知第一次取到红球 求第二次也取到红球的概率 3 已知第二次取到红球 求第一次也取到红球的概率 62 例某种类型灯泡用满2000小时不坏的概率为3 4 用满3000小时不坏的概率为1 2 现有一个灯泡用了2000小时 求它用3000小时不坏的概率 解设A 用满2000小时不坏 B 用满3000小时不坏 63 例一盒中混有100只新 旧乒乓球 各有红 白两色 分类如下表 从盒中随机取出一球 若取得的是一只红球 试求该红球是新球的概率 设A 从盒中随机取到一只红球 B 从盒中随机取到一只新球 A B 64 二 乘法公式 设A B P A 0 则P AB P A P B A 称为事件A B的概率乘法公式 乘法公式还可推广到三个事件的情形 P ABC P A P B A P C AB P AB 0 一般地 有下列公式 P A1A2 An P A1 P A2 A1 P An A1 An 1 P A1 An 1 0 65 例假设在空战中 若甲机先向乙机开火 则击落乙机的概率为0 2 若乙机未被击落 就进行还击 击落甲机的概率是0 3 若甲机亦未被击落 则再次进攻乙机 击落乙机的概率为0 4 在这几个回合中 分别计算甲 乙被击落的概率 解 设Ai 乙机在第i次被击落 i 1 2 A 乙机被击落 B 甲机被击落 66 67 定义事件组A1 A2 An n可为 称为样本空间 的一个划分 若满足 全概率公式与贝叶斯公式 68 例1 市场上有甲 乙 丙三家工厂生产的同一品牌产品 已知三家工厂的市场占有率分别为1 4 1 4 1 2 且三家工厂的次品率分别为2 1 3 试求市场上该品牌产品的次品率 解 设表示买到第i厂的产品 i 1 2 3 B表示买到次品 构成完备事件组 则 69 定理设A1 An是 的一个划分 且P Ai 0 i 1 n 则对任何事件B 有 称为全概率公式 70 例3有甲乙两个袋子 甲袋中有两个白球 1个红球 乙袋中有两个红球 一个白球 这六个球手感上不可区别 今从甲袋中任取一球放入乙袋 搅匀后再从乙袋中任取一球 问此球是红球的概率 解 设A1 从甲袋放入乙袋的是白球 A2 从甲袋放入乙袋的是红球 B 从乙袋中任取一球是红球 甲 乙 71 定理设A1 An是 的一个划分 且P Ai 0 i 1 n 则对任何事件B 有 称为贝叶斯公式 思考 在例1中 若已知买到一个次品 求该次品是甲厂生产的概率是多少 答 72 例4对以往的数据分析结果表明 当机器调整到良好时 产品的合格率为90 当机器发生某一故障时 其合格率为30 每天早上机器开动时 机器调整到良好的概率为75 试求某日早上第一件产品是合格品时 机器调整到良好的概率是多少 解 设B 产品合格 A 机器调整良好 则 显然 构成完备事件组 所以 73 已知5 的男人和0 25 的女人是色盲 假设男女各占一半 现随机挑选一人 1 求此人恰好是色盲的概率 2 若随机地挑选一人 此人不是色盲者 问他是男人的概率是多大 设A 男人B 色盲 74 1 5事件的独立性一 两事件独立 定义设A B是两事件 P A 0 若P B P B A 则称事件A与B相互独立 等价于 P AB P A P B 注意 A与B相互独立和A B互斥是两个不同的概念 当P A 0 P B 0时 独立一定不互斥 互斥一定不独立 75 定理设A B为两个事件 则四对事件中只要有一对事件独立 则其余三对也独立 证 仅证当A B独立时 推出独立 只须证明 76 例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张 记A 抽到K B 抽到的牌是黑色的 问A和B是否独立 解 判断独立可以用定义 更多的实际问题考虑用实际意义 77 二 多个事件的独立 定义若三个事件A B C满足 1 P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C 则称事件A B C两两相互独立 若在此基础上还满足 P ABC P A P B P C 则称事件A B C相互独立 78 一般地 设A1 A2 An是n个事件 如果对任意的k 1 k n 任意的1 i1 i2 ik n 具有等式P Ai1Ai2 Aik P Ai1 P Ai2 P Aik 则称n个事件A1 A2 An相互独立 思考 1 设事件A B C D相互独立 与A B C D两两独立有何区别 2 如何理解n个事件的独立性 79 相互独立事件的性质 80 事件独立性的应用 加法公式的简化 若事件A1 A2 An相互独立 则 例1甲 乙 丙三人同一时间分别破译一个密码 甲译出的概率为0 8 乙译出的概率为0 7 丙译出的概率为0 6 求密码能译出的概率 81 例2甲 乙 丙三部机床独立工作 在同一段时间内它们不需要工人照管的概率分别是0 7 0 8和0 9 求在这段时间内 最多只有一台机床需人照管的概率 例3甲 乙射手同时向一目标射击一发弹 甲击中目标的概率为0 8 乙击中目标的概率为0 9 求目标被击中的概率 82 例4某型号的高炮 每门发射一发炮弹 击中敌机的概率均为0 6 现有高炮若干门同时发射一发炮弹 要以99 的把握击中敌机 至少应配置几门高炮 解设n为应设置的高炮门数 又设 第i门炮击中敌机 i 1 n A 敌机被击中 83 例5甲 乙 丙三人同时向一驾飞机射击 他们击中目标的概率分别是0 4 0 5 0 7 假设飞机只有一人击中时 坠毁的概率为0 2 若有两人击中 飞机坠毁的概率为0 6 而飞机被三人击中时一定坠毁 现在如果发现飞机已被击中坠毁 计算它是由三人同时击中的概率 解 设 三人中