山东省德州市高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年山东省德州市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1已知集合a=x|x24x50，b=x|2x4，则ab=（）a（1，3）b（1，4）c（2，3）d（2，4）2已知向量=（1，2），=（0，1），=（2，k），若（+2），则k=（）a8bcd83下列说法正确的是（）a命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“x2=1，则x1”b若命题p：xr，x2x+10，则命题p：xr，x2x+10c命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题d“x25x6=0”必要不充分条件是“x=1”4已知指数函数y=f（x）的图象过点（，），则log2f（2）的值为（）abc2d25已知：sin（+）+3cos（）=sin（），则sincos+cos2=（）abcd6不等式|x5|+|x+1|8的解集为（）a（，2）b（2，6）c（6，+）d（1，5）7函数y=的图象可能是（）abcd8下列四个命题，其中正确命题的个数（）若a|b|，则a2b2若ab，cd，则acbd 若ab，cd，则acbd 若abo，则a3个b2个c1个d0个9已知定义在r上的函数f（x）=2|xm|1（m为实数）为偶函数，记a=f（23），b=f（3m），c=f（log0.53），则（）aabcbacbccabdcba10已知定义在r上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2）=f（x），当1x1时，f（x）=sinx，若函数g（x）=f（x）loga|x|至少6个零点，则a的取值范围是（）a（0，（5，+）b（0，）5，+）c（，（5，7）d（，）5，7）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11已知f（x）=，则f（f（）的值为12曲线y=2sinx（0x）与x轴围成的封闭图形的面积为13若x，y满足，则z=2x+y的最大值为14在abc中，角a，b，c所对边的长分别为a，b，c，已知b=c，sina+sinc=2sinb，则cosa=15如图，点p从点o出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，o，p两点连线的距离y与点p走过的路程x的函数关系分别记为y=f（x），y=g（x），定义函数h（x）=，对于函数y=h（x），下列结论正确的是h（4）=；函数h（x）的图象关于直线x=6对称；函数h（x）值域为0，；函数h（x）增区间为（0，5）三、解答题（共6小题，满分75分）16在abc中，角a、b、c对边分别是a、b、c，且满足2=a2（bc）2（）求角a的大小；（）若a=4，abc的面积为4，求b，c17已知向量，的夹角为60，且|=1，|=2，又=2+， =3+（）求与的夹角的余弦；（）设=t， =，若，求实数t的值18已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x）（）求f（x）的单调递增区间；（）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在，上的值域19设函数f（x）=x33（a+1）x+b（a0）（）若曲线y=f（x）在点（2，f（2）处与直线y=8相切，求a，b的值；（）求函数g（x）=f（x）+3x的单调区间与极值20某厂家拟举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t=5（其中0xa23a+4，a为正常数），现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本（10+2t）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（t+）万元/万件（）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大21已知函数f（x）=xlnx和g（x）=m（x21）（mr）（）m=1时，求方程f（x）=g（x）的实根；（）若对于任意的x（1，+），函数y=g（x）的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求m的取值范围；（）求证： +ln（2n+1）（nn*）2015-2016学年山东省德州市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1已知集合a=x|x24x50，b=x|2x4，则ab=（）a（1，3）b（1，4）c（2，3）d（2，4）【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；不等式【分析】求出a中不等式的解集确定出a，找出a与b的交集即可【解答】解：由a中不等式变形得：（x5）（x+1）0，解得：1x5，即a=（1，5），b=（2，4），ab=（2，4），故选：d【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知向量=（1，2），=（0，1），=（2，k），若（+2），则k=（）a8bcd8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】计算题；函数思想；综合法；平面向量及应用【分析】求出向量+2，利用斜率的坐标运算求解即可【解答】解：向量=（1，2），=（0，1），=（2，k），+2=（1，4），（+2），8=k故选：a【点评】本题考查向量的坐标运算，共线向量的充要条件的应用，考查计算能力3下列说法正确的是（）a命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“x2=1，则x1”b若命题p：xr，x2x+10，则命题p：xr，x2x+10c命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题d“x25x6=0”必要不充分条件是“x=1”【考点】命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；定义法；简易逻辑【分析】a条件没有否定；b结论否定错误；c原命题和逆否命题等价；d判断错误【解答】a不正确：否命题既要否定条件也要否定结论，这里的条件没有否定b不正确：x2x+10的否定是x2x+10c正确：因为原命题和逆否命题有等价性，所以由原命题真可以推得逆否命题也真d不正确：“x25x6=0”充分不必要条件是“x=1”答案选c【点评】“x25x6=0”的充要条件是“x=1，或x=6”4已知指数函数y=f（x）的图象过点（，），则log2f（2）的值为（）abc2d2【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【专题】方程思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】设指数函数y=f（x）=ax（a0，且a1，为常数），把点（，）代入可得=，解得a，即可得出【解答】解：设指数函数y=f（x）=ax（a0，且a1，为常数），把点（，）代入可得=，解得a=，则log2f（2）=2故选：c【点评】本题考查了指数函数的解析式、指数幂的运算性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5已知：sin（+）+3cos（）=sin（），则sincos+cos2=（）abcd【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值【专题】三角函数的求值【分析】由条件利用诱导公式求得 tan=2，再利用同角三角函数的基本关系求得sincos+cos2 的值【解答】解：sin（+）+3cos（）=cos3cos=2cos=sin（）=sin，tan=2，则sincos+cos2=，故选：d【点评】本题主要考查应用诱导公式、同角三角函数的基本关系化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题6不等式|x5|+|x+1|8的解集为（）a（，2）b（2，6）c（6，+）d（1，5）【考点】绝对值不等式的解法【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用【分析】由条件利用绝对值的意义，求得绝对值不等式|x5|+|x+1|8的解集【解答】解：由于|x5|+|x+1|表示数轴上的x对应点到5、1对应点的距离之和，而数轴上的2和6对应点到5、1对应点的距离之和正好等于8，故不等式|x5|+|x+1|8的解集为（2，6），故选：b【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于基础题7函数y=的图象可能是（）abcd【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】当x0时，当x0时，作出函数图象为b【解答】解：函数y=的定义域为（，0）（0，+）关于原点对称当x0时，当x0时，此时函数图象与当x0时函数的图象关于原点对称故选b【点评】本题考查了函数奇偶性的概念、判断及性质，考查了分段函数的图象及图象变换的能力8下列四个命题，其中正确命题的个数（）若a|b|，则a2b2若ab，cd，则acbd 若ab，cd，则acbd 若abo，则a3个b2个c1个d0个【考点】命题的真假判断与应用【专题】综合题；转化思想；分析法；不等式的解法及应用【分析】直接由不等式的可乘积性判断；举例说明错误【解答】解：若a|b|，则a2b2，正确；若ab，cd，则acbd错误，如32，13，而3（1）=45=2（3）； 若ab，cd，则acbd错误，如31，23，而3（2）1（3）； 若abo，则，当c0时，错误正确命题的个数只有1个故选：c【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了不等式的基本性质，是基础题9已知定义在r上的函数f（x）=2|xm|1（m为实数）为偶函数，记a=f（23），b=f（3m），c=f（log0.53），则（）aabcbacbccabdcba【考点】对数函数图象与性质的综合应用【专题】数形结合；函数的性质及应用【分析】由题意可得m=0，可得f（x）=2|x|1在（0，+）单调递增，在（，0）单调递减，比较三个变量的绝对值大小可得【解答】解：定义在r上的函数f（x）=2|xm|1（m为实数）为偶函数，f（1）=f（1），即2|1m|1=2|1m|1，解得m=0，f（x）=2|x|1在（0，+）单调递增，在（，0）单调递减，23=（0，1），3m=1，|log0.53|=log231，f（23）f（3m）f（log0.53），即abc故选：a【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性，属基础题10已知定义在r上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2）=f（x），当1x1时，f（x）=sinx，若函数g（x）=f（x）loga|x|至少6个零点，则a的取值范围是（）a（0，（5，+）b（0，）5，+）c（，（5，7）d（，）5，7）【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用【分析】分a1与0a1讨论，结合题意作两个函数的图象，利用数形结合求解即可【解答】解：当a1时，作函数f（x）与函数y=loga|x|的图象如下，结合图象可知，故a5；当0a1时，作函数f（x）与函数y=loga|x|的图象如下，结合图象可知，故0a故选a【点评】本题考查了函数的图象的作法及应用，同时考查了分类讨论的思想应用二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11已知f（x）=，则f（f（）的值为3e【考点】对数的运算性质【专题】分类讨论；数学模型法；函数的性质及应用【分析】由3，可得=log3（156）=2进而得出【解答】解：3，=log3（156）=2f（f（）=f（2）=3e21=3e故答案为：3e【点评】本题考查了对数与指数的运算性质、分段函数的解析式，考查了计算能力，属于中档题12曲线y=2sinx（0x）与x轴围成的封闭图形的面积为4【考点】定积分【专题】计算题；函数思想；转化思想；导数的概念及应用【分析】根据题意可知当x0，时，曲线y=2sinx和x轴所围成图形的面积为s=0（2sinx）dx，然后利用定积分的运算法则解之即可【解答】解：当x0，时，曲线y=2sinx和x轴所围成图形的面积为s=（2sinx）dx而s=（2sinx）dx=2cosx=（2cos）（2cos0）=2+2=4故答案为：4【点评】本题主要考查用定积分求面积，求解的关键是找出被积函数的原函数，属于基础题13若x，y满足，则z=2x+y的最大值为【考点】简单线性规划【专题】作图题；转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得a（），化目标函数z=2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过a时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为故答案为：【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14在abc中，角a，b，c所对边的长分别为a，b，c，已知b=c，sina+sinc=2sinb，则cosa=【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题；转化思想；解三角形【分析】已知第二个等式利用正弦定理化简，把第一个等式代入用c表示出a，利用余弦定理表示出cosa，将表示出的a与b代入求出cosa的值即可【解答】解：把sina+sinc=2sinb，利用正弦定理化简得：a+c=2b，把b=c代入得：a+c=2c，即a=c，cosa=，故答案为：【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键15如图，点p从点o出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，o，p两点连线的距离y与点p走过的路程x的函数关系分别记为y=f（x），y=g（x），定义函数h（x）=，对于函数y=h（x），下列结论正确的是h（4）=；函数h（x）的图象关于直线x=6对称；函数h（x）值域为0，；函数h（x）增区间为（0，5）【考点】命题的真假判断与应用【专题】综合题；运动思想；数形结合法；函数的性质及应用；简易逻辑【分析】由已知条件求出函数的解析式，通过函数值，函数图象的对称性，单调性逐一判断四个命题得答案【解答】解：由题意可得y=f（x）=，y=g（x）=，函数h（x）=，f（4）=4，g（4）=，h（4）=，故正确； 函数h（x）的图象关于直线x=6对称；两个几何图形是正三角形与正方形，函数h（x）的图象关于直线x=6对称，故正确；f（x）0，4，g（x）0，由=，解得x=5时，f（x）=g（x），此时g（5）=，函数h（x）值域为0，故正确；f（x）=，x（6，8），f（x）是增函数，并且 g（x）f（x），函数h（x）增区间为（0，5），（6，8）故不正确综上正确【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查简单的建模思想方法，考查分段函数的图象与性质，属中高档题三、解答题（共6小题，满分75分）16在abc中，角a、b、c对边分别是a、b、c，且满足2=a2（bc）2（）求角a的大小；（）若a=4，abc的面积为4，求b，c【考点】余弦定理的应用【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形【分析】（i）由题意可得2bccosa=a2b2c22bc，再由余弦定理求出cosa，从而确定a的大小；（ii）利用三角形的面积公式s=bcsina得bc=16；再由余弦定理得b2+c2+bc=48，联立求出b、c【解答】解：（）由题意可得2bccosa=a2b2c22bc，由余弦定理a2=b2+c22bccosa得4bccosa=2bc，cosa=，0a，a=（）sina=，cosa=，s=4，bc=16，a2=b2+c22bccosab2+c2+bc=48，b=c=4，故b=4，c=4【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，结合题设条件，利用余弦定理求出角a的大小是解答本题的关键17已知向量，的夹角为60，且|=1，|=2，又=2+， =3+（）求与的夹角的余弦；（）设=t， =，若，求实数t的值【考点】平面向量的综合题【专题】计算题；向量法；平面向量及应用【分析】（）进行数量积的运算便可得出，根据便可求出，同理可求出，这样根据向量夹角的余弦公式即可求出与夹角的余弦；（）先求出，而根据便有，进行数量积的运算即可求出t的值【解答】解：（） =612cos60+4=3；=，；即与夹角的余弦为；（），；=2t+3t44t+4=0；t=1【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，求向量长度的方法：根据，向量夹角的余弦公式，向量的减法和数乘运算，向量垂直的充要条件18已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x）（）求f（x）的单调递增区间；（）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在，上的值域【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=asin（x+）的图象变换【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】（）利用两角和与差的正弦函数公式化简可得函数解析式f（x）=2sin（2x），由2k2x2k，kz即可解得f（x）的单调递增区间（）根据函数y=asin（x+）的图象变换规律得到函数g（x）=2cosx，结合范围x，由余弦函数的图象和性质即可得解【解答】（本题满分为12分）解：（）f（x）=（sin2x+cos2x）+（sin2xcos2x）=sin2xcos2x=2sin（2x），由2k2x2k，kz即可解得f（x）的单调递增区间为：k，k（kz）6分（）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x）=2sin（x+）=2cosx，x，x=0时，g（x）max=2，x=时，g（x）min=1函数y=g（x）在，上的值域为：1，212分【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，函数y=asin（x+）的图象变换规律的应用，考查了正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于中档题19设函数f（x）=x33（a+1）x+b（a0）（）若曲线y=f（x）在点（2，f（2）处与直线y=8相切，求a，b的值；（）求函数g（x）=f（x）+3x的单调区间与极值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【专题】计算题；分类讨论；分类法；导数的综合应用【分析】（）先求出函数的导数，通过解方程组求出a，b的值；（）讨论a0，a0，分别令g（x）0，g（x）0，解不等式，求出单调区间，从而求出函数的极值【解答】解：（）f（x）=3x23（a+1），曲线y=f（x）在点（2，f（2）处与直线y=8相切，f（2）=0且f（2）=8，即123（a+1）=0，且86（a+1）+b=8，解得a=3，b=24；（）g（x）=f（x）+3x=x33ax+b，g（x）=3（x2a）（a0），当a0时，g（x）0，函数g（x）在（，+）上单调递增，此时函数g（x）没有极值点；当a0时，由g（x）=0，解得x=，当x或x时，g（x）0，函数g（x）单调递增，当x时，g（x）0，函数g（x）单调递减，此时x=是g（x）的极大值点，且极大值为b+2a；x=是g（x）的极小值点，且极小值为b2a【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力20某厂家拟举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t=5（其中0xa23a+4，a为正常数），现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本（10+2t）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（t+）万元/万件（）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大【考点】函数模型的选择与应用【专题】应用题；分类讨论；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】（）确定该产品售价为2（）万元，y=2（）t102tx，销售量t万件满足t=5代入化简得该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（）分类讨论，利用基本不等式及函数的单调性，可求厂家的利润最大【解答】解：（）由题意知，利润y=t（）（10+2t）x由销售量t万件满足t=5（其中0xa23a+4，a为正常数），代入化简可得：y=20（+x），（0xa23a+4）（）y=21（+x+1）212=15，当且仅=x+1，即x=2时，上式取等号当1a23a+4，即a2或0a1时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大； 当a23a+42，即1a2时，y=0，故y在0xa23a+4上单调递增，所以在0xa23a+4时，函数有最大值促销费用投入x=a23a+4万元时，厂家的利润最大 综上述，当a2或0a1时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大；当1a2时，促销费用投入x=a23a+4万元时，厂家的利润最大【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式的运用，确定函数解析式是关键21已知函数f（x）=xlnx和g（x）=m（x21）（mr）（）m=1时，求方程f（x）=g（x）的实根；（）若对于任意的x（1，+），函数y=