高考数学 易错点点睛与高考突破 专题14 极 限.doc

2013年高考数学 易错点点睛与高考突破 专题14 极 限【难点突破】难点 1 数学归纳法在数列中的应用1已知数列an满足条件（n-1）an+1=(n+1)(an-1)且a2=6,设bn=an+n(nn*), (1)求bn的通项公式；（2）求（）的值。2设函数f(x)对所有的有理数m、n都有|f(m+n)-f(m)| 证明：对所有正整数k有|f(2k)-f(2i)| 2设xn=,求数列xn的极限。【解析】 由于的极限都不存在，所以应先将xn变形，使之变成极限可求的数列。【答案】 因为xn=用除分子和【答案】 =。难点 4 函数的连续性1函数f(x)在x0处有定义是（fx）存在的 （ ）a充分不必要条件【特别提醒】1深刻理解函数f(x)在x0处连续的概念，即函数f(x)在x0处有定义。f(x)在x0处有极限。f(x)=f(x0).函数f(x)在x0处连续反映在图像上是f(x)在x0处是不间断的。2由连续的定义，可以得到计算极限的一种方法：如果f(x)在定义区间内是连续的，则 f(x)=f(x0)，只要求出函数值f(x0)即可【易错点点睛】易错点 1 数学归纳法1已知a0,数列an满足a1=a,an+1=a+,n=1,2,.()已知数列an极限存在且大于零，求a=(将a用a表示)；()设bn=an-a,n=1,2,证明：bn+1=-()若|bn|, 对n=1,2都成立，求a的取值范围。【错误解答】 ()由，存在，且a=（a0）,对aa+1=a+两边取极限得，由于而当a时，而当a时，即a|bk+a|2.故当a时，即n=k+1时结论成立。根据(i)和(ii)，可知结论对一切正整数都成立。当n=1时，a1=,猜想成立；假设当n=k(k1)时结论成立，即ak=成立，则当n=k+1时，因为ak+1=ak，所以ak+1=这表明，当n=k+1时结论也成立。由，可知，猜想对nn*都成立。3已知不等式+log2n,其中n为大于2的整数，log2n表示不超过log2n的最大整数。设数列an的各项为正，且满足a1=b(b0),an,n=2,3,4,.【特别提醒】1一般与自然数相关的命题，或有关代数恒等式的证明，三角恒等式、三角不等式、整除性、与数列有关的问题和有关几何问题都可用数学归纳法。2运用数学归纳法证明时，第二步是关键、必须用到归纳假设，否则就不是数学归纳法的证明。【变式训练】1. 曲线c：xy=1(x0)与直线l:y=x相交于a1,作a1b1l交x轴于b1,作b1a2l交曲线c于a2依此类推。2. 设数列a1,a2,，an,的前n项的和sn和an的关系是sn=1-ban-其中b是与n无关的常数，且b-1。（1）求an和an-1的关系式；答案： an=sn-sn-1=-b(an-an-1)-解得an= （2）猜想an的表达式（用n和b表示）；答案：a=s1=1-ba1-1已知数列xn满足x2=xn=(xn-1+xn-2),n=3,4,.若=2,则x1= ( )a b3 c4 d5a2 b4 c d0 =14、计算：=_。sn=2.对于型的数列极限，分子分母同除以最大数的最高次项，然后分别求极限。3运算法则中各个极限都应存在，都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个。【变式训练】1 若q为二项式（）8的展开式的常数项，则=_.4 设an=1+q+q2+qn-1(nn+,q)，an=c1na1+c2na+cnnan (1)用q和n表示an;【正【特别提醒】1求函数的极限时，如果xx0即x0是连续的点。即使函数f(x)有意义的点，只需求f(x0)的值。就是函数的极限值。2当f(x)在x0处不连续时，即x=x0代入后使式子f(x)无意义，应考虑约去此因式，使之有意义时再求f(x0)的值，即为极限值。3已知函数的极限，求出函数中的系数时，应满足两个条件，即存在性与极限值同时考虑。【变式训练】1 设f(x)在x0处可导，f(x0)=0则nf(x0-)=_.易错点 4 函数的连续性1极限f(x)存在是函数f(x)在点x=x0处连续的 （ ）a充分而不必要的条件b必要而不充分的条件c充要条件d既不充分也不必要的条件f(x)的定义域为（-，-1）（-1，+）。而在定域内，x=1时。f(x)=0. f(x)=-1. f(x)不存在。故f(x)在x=1处不连续。f(x)在定义域内不连续。【特别提醒】1在判断函数的连续性时，充分运用它的重要条件，即f(x)=f(x0).前提是f(x)在x0处的极限要存在。2在求函数的不连续点时，或不连续区间。首先是定义之外的点或区域一定不连续。往往只须考虑定义域内的不连续部分。【变式训练】1.已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m，使得对任意nn,都能使m整除f(n),则最大的m的值为 （ ）a30 b26 c36 d62.记二项式（1+2x）n展开式的各系数和为an,其二项系数为b，则等于 （ ）a1 b-1 c0 d 不存在5. 已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145(1)求数列an的通项公式bn;答案：解：设数列为bn的公差为d由题意知（2）设数列an的通项an=loga(1+)(其中a0且a1)记sn是数列an的前n项和，试比较sn与logabn+1的大小，并证明你的结论。7.设实数q满足|q|1,数列an满足：a1=2,a20,anan+1=-qn,求an表达式，又如果s2n3,求q的取值范围。（）在平面直角坐标系内，直线ln的斜率为bn.且与曲线y=x2有且仅一个交点，与y轴交于dn，记dn=-(2n+7)求dn;答案：设ln:y=bnx+m.由=令x=0得y=-(3n+1)2 dn(0,-3(n+1)2)dn+1 (0,-3,(n+4)2dn=|dndn+1|-(2n+7)=4n-2()若xn=(nn)求证(x1+x2+xn-n)=1.答案： xn=x1+x2+xn-n=(1-9.某学生在体育训练时弄伤了膝关节，医生给开了一些消炎药，并嘱咐每天早晚8点各服用一片药片，已知该药品每征220mg,他的贤脏每次12小时从体内滤出这种药的60%，如果这种药在体内残留超过386mg,将产生副作用。请问：（1）该同学上午8时第一次服药后，到第二天早晨服药后，药在体内还残留多少？10.已知点集l=（x,y）|y=mn,其中m=(2x-b,1),n=(1,b+1),点列pn(an,bn)在l中，p1为l与y轴的交点，等差数列an的公差为1，nn+.(1)求数列an,bn的通项公式；an-an+1=an-a1,a2,a2anan+12,即an是行列增后减数列，（an）max=a2=（2）已知圆锥曲线cn的方程为：设cn=c,求曲线c的方程并求曲线c的面积。答案：由上可知，所以圆锥曲线cn为椭圆.由于an存在极限，所以可设14已知 =,且 （1）求 ， ， （2）猜测 的通项公式，并用数学归纳法证明之.解: , 15. 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nn*，且x10.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.（）求xn+1与xn的关系式；（）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每