《高等数学》(一)教学大纲.doc

高等数学课程教学大纲课程名称：高等数学英文名称：advanced mathematics课程编号: 10132101 -10132102学时数: 180学分数: 18适用专业:工科各专业一、 课程的性质、目的和任务高等数学是工科院校各个专业的一门必修的公共基础理论课。通过本课程的学习使学生比较系统地理解数学的基本概念和基本理论，掌握数学的基本方法。使学生具有抽象的思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。二、 课程教学内容的基本要求、重点和难点 掌握高等数学的基础知识及基本方法，提高分析问题和解决问题的能力，将所学的知识熟练运用到后继专业课的学习，并为考研打好基础。通过本课程的学习,要使学生获得 :1. 函数,极限,连续;2. 一元函数微积分学;3. 矢量代数与空间解析几何;4. 多元函数微积分学;5. 无穷级数;6. 常微分方程.等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为今后学习后继课程、从事工程技术工作、进行科学研究以及进一步获得科学技术知识奠定必要的数学基础。第一章函数与极限1 理解函数的概念，掌握函数的表示方法。2 了解函数性质：奇偶性，单调性，周期性和有界性。3 理解复合函数和分段函数的概念，了解反函数与隐函数的概念，并会建立简单应用问题中的函数关系式。掌握基本初等函数的性质及其图形。4 理解函数极限、左（右）极限的概念以及函数极限存在与左右极限之间的关系。5 熟练掌握极限性质及四则运算法则、掌握极限存在的两个准则，并会利用它求极限。6 熟练掌握两个重要极限并会利用它求极限。7 理解无穷小（大）的概念，掌握无穷小的比较方法，并会根据等价无穷小求极限。8 理解函数连续，左（右）连续的概念，会判别函数间断点的类型。了解连续函数的性质及闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质解题。第二章导数与微分1 理解导数的概念，几何意义，会求平面曲线的切线和法线方程，理解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量。2 熟练掌握导数的四则运算和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。3 了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数，会求分段函数，隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，会求反函数的导数。4 理解微分的概念，了解微分的四则运算和一阶微分形式的不变性求微分。5 了解微分在近似计算中的应用。理解可导与连续，可导与可微的关系。第三章微分中值定理与导数的应用1 理解并会用罗尔、拉格朗日中值定理和泰勒公式，了解并会用柯西中值定理。2 熟练掌握用洛比达法则求未定式极限的方法。3 理解函数极值的概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法。4 掌握求函数最值的方法及其简单应用。5 会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的渐近线，并会描绘函数的图形。6 了解曲率和曲率半径的概念并会计算。第四章不定积分1 理解原函数与不定积分的概念。2 熟练掌握不定积分的基本公式、性质和运算。3 熟练掌握换元积分法和分部积分法。4 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。第五章定积分1 理解定积分的概念，了解可积的准则。2 掌握定积分的性质及其与不定积分的联系，熟练掌握换元积分法，分部积分法和牛顿-莱布尼兹公式。3 理解由变上限的定积分所定义的函数，并会求它的导数。4 了解无穷限积分和瑕积分的概念和性质，并会计算这两种广义积分，会判别广义积分的敛散性第六章定积分的应用理解定积分的微元法熟练掌握平面图形面积（包括直角坐标和极坐标的情形）的计算方法。掌握平行截面面积为已知的立体的体积（包括旋转体的体积）。知道并会计算平面曲线的弧长。会计算变力沿直线所作的功，水压力，引力。知道函数的平均值和均方根。第七章空间解析几何与向量代数1 理解空间直角坐标系，掌握两点间距离公式。2 理解向量的概念及其表示，熟练掌握矢量的运算，了解两向量垂直、平行的条件。3 理解单位向量、方向数和方向余弦，向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。4 掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的位置关系解决有关问题。5 理解曲面方程的概念，了解常用的二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及特殊的柱面方程。6 了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解坐标轴的平移变换。第八章多元函数微分学1 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。2 了解二元函数的极限与连续的概念及有界闭区域上连续的性质。3 理解多元函数偏导数和微分的概念，会求微分和偏导数，了解微分存在的必要条件和充分条件，了解微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。4 理解方向导数概念并掌握其求法。5 熟练掌握多元复合函数偏导数的求法及隐函数的偏导数。 理解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，并会求它们的方程。6 了解二元函数的二阶泰勒公式。7 理解多元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值。8 会用Lagrange乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最值，并会解决一些简单的实际问题。第九章重积分1 理解二重、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的几何意义。2 熟练掌握二重积分（直角坐标、极坐标系）的计算方法，三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）的计算方法。3 会用重积分的应用计算一些几何量（面积、体积、曲面面积）与物理量（如质量、转动惯量、质心等）。第十章曲线积分、曲面积分1 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两者的联系。2 熟练掌握两类曲线积分的计算方法，掌握格林公式，并会应用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。3 了解两类曲面积分的概念、性质及两者之间的联系。4 熟练掌握两类曲面积分的计算方法，了解高斯公式，斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。5 理解梯度的概念并会计算，了解散度、旋度的概念并会计算。6 会用曲线积分和曲面积分表示和计算一些几何量与物理量。第十一章无穷级数1 理解数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握收敛级数的基本性质及收敛的必要条件。2 掌握几何级数与P-级数收敛与发散的条件。3 熟练掌握正项级数的比较判别法与比值判别法，会用根式判别法。掌握交错级数的莱布尼兹判别法。了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及两者的关系。了解函数项级数的收敛域及和函数概念。4 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。了解幂级数和函数的性质，并会求一些幂级数的和函数并会由此求出一些数项级数的和。5 了解函数展为泰勒级数的充要条件。6 熟练掌握ex，sinx，cosx，ln(1+x)和(1+x)的麦克劳林展开式，会用间接法将一些简单函数展为幂级数。7 了解幂级数在近似计算上简单应用。8 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的具体方法及狄利克雷定理。9 会将广义在-l,l上的函数展为傅里叶级数，会将定义在o,l上函数展开为正弦或余弦级数，并会写出傅里叶级数的和的表达式。了解傅里叶级数的复数形式。第十二章微分方程1 了解微分方程的阶及其解、通解，初始条件和特解的概念。2 熟练掌握变量可分离及一阶线性微分方程的解法，会解一阶齐次方程。知道二阶常系数线性方程的解的结构，掌握二阶常系数线性方程的解法。解高阶微分方程的概念，会用代换法求几类特殊高阶方程的通解，如y=f(x)、y=f(x,y)和y=f(y,y)。了解n阶线性方程的通解结构，会用常数变易法求二阶线性方程的通解。会用特征方程求解n阶常系数线性齐次微分方程通解，会用待定系数法求解自由项(x)为多项式，指数函数，正余弦函数的情况。了解线性方程组的解的结构，会求包含两个未知函数的一阶常系数线性方程组的通解。了解微分方程的幂级数和数值解法，会解欧拉方程。会用微分方程解决一些简单的实际问题。三、 教学方式及学时分配序号主要内容主要教学方式学时分配辅导答疑比例函数与极限讲授 6 ：导数与微分讲授 4：中值定理与导数的应用讲授 6：不定积分讲授 2：定积分讲授 10：6定级分的应用讲授 6：向量代数与空间解析几何讲授 6：多元函数的微分法及其应用讲授 8：重积分讲授 6：曲线积分与曲面积分讲授 20：无穷级数讲授 18：常微分方程讲授 8：总计180四、 课程各教学环节的要求课后作业应侧重基础知识的掌握、基本技能的训练，要求独立完成作业。不按要求交作业者不允许参加期末考试。五、 本课程与其它课程