高中数学 第3章综合素质检测 新人教B版选修21.doc

第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1在以下命题中，不正确的个数为()|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；若ab，则存在唯一的实数，使ab；对于空间任意一点o和不共线的三点a，b，c，若22，则p，a，b，c四点共面；若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；|(ab)c|a|b|c|.a2个b3个c4个d5个答案c解析|a|b|ab|a与b的夹角为，故是充分不必要条件，不正确b为非零向量，故不正确2211，故不正确正确不正确2在正三棱柱abca1b1c1d1中，若abbb1，则ab1与c1b所成角的大小为()a60 b90 c105 d75答案b解析建立空间直角坐标系，可求0，故成90.3已知abc，c，b，a，用向量a，b，c的数量积的形式表示abc为锐角三角形的充要条件是()abc0，ac0bab0，bc0，ac0cab0dab0，bc0，ac0答案d解析由数量积的意义知d成立4已知点a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)，若存在点d, 使得dbac，dcab，则点d的坐标为()a(1,1,1)b(1,1,1)或(1，1，1)c(，)d(，)或(1，1,1)答案a解析代入坐标运算得d(1,1,1)，故选a.5已知a(2，5,1)，b(2，2,4)，c(1，4,1)，则向量与的夹角为()a30 b45 c60 d90答案c解析a(2，5,1)，b(2，2,4)，c(1，4,1)，(0,3,3)，(1,1,0)cos，选c.6在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，m和n分别为a1b1和bb1的中点，那么am与cn所成的角的余弦值是()a. b.c. d.答案d解析以d为坐标原点、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则(0，1)，(1,0，)，cos(用基向量表示亦可)7下面命题中，正确命题的个数为()若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2；若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n20；若n是平面的法向量且a与共面，则na0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直a1个 b2个 c3个 d4个答案d解析均正确，故选d.8直线l1的方向向量v1(1,0，1)；直线l2的方向向量v2(2,0,2)，则直线l1 与l2的位置关系是()a平行 b相交c异面 d平行或重合答案d解析v22v1，l1l2或l1与l2重合9如图，在棱长为3的正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别是棱a1b1、a1d1的中点，则点b到平面amn的距离是()a. b. c. d2答案d解析以、为x轴，y轴，z轴的正向建立直角坐标系，则m(，0,3)，n(0，3)，a(0,0,0)，n(2,2，1)，(3,0,0)，d2，故选d.10如右图所示，正方体abcdabcd中，m是ab的中点，则sin，的值为()a. b.c. d.答案b解析以da，dc，dd所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系oxyz，设正方体棱长为1，则d(0,0,0)，b(1,1,1)，c(0,1,0)，m(1，0)，则(1,1,1)，(1，0)，cos，则sin，.11在棱长为a的正方体oabcoabc中，e、f分别是棱ab、bc上的动点，且aebf，则异面直线af与ce所成角的大小为()a锐角 b直角 c钝角 d不确定答案b解析如图，以o为原点建立空间直角坐标系，设aebfx，则a(a,0，a)、f(ax，a,0)、c(0，a，a)、e(a，x,0)，(x，a，a)，(a，xa，a)，xaa(xa)a20，afce.12如图，四面体pabc中，pc面abc，abbccapc，那么二面角bpac的余弦值为()a. b.c. d.答案c解析如图，作bdap于d，作ceap于e，设ab1，则易得ce，ep，papb，ab1，可以求得bd，ed.，222222.cos，.cos，.二、解答题(本大题共4小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13设|m|1，|n|2,2mn与m3n垂直，a4mn，b7m2n，则a，b_.答案0解析由于(2mn)(m3n)0，可得：mn2，则：ab(4mn)(7m2n)18.|a|6，|b|3，cosa，b1，a，b0.14边长为1的等边三角形abc中，沿bc边高线ad折起，使得折后二面角badc为60，点d到平面abc的距离为_答案解析如图所示，ad面bcd，ad，bdcdbc，vabcdadsbcd.又vabcdvdabchsabc，由等积法可解得h.15如图所示，在三棱锥pabc中，papbpcbc，且bac90，则pa与底面abc所成的角为_答案60解析由于papbpc，故p在底面abc上的射影为abc外心，由于abc为直角三角形，不妨设oboc，所以op面abc，pao为所求角，不妨设bc1，则oa，cospao，所以pao60.16已知a、b、c三点共线，则对空间任一点o，存在三个不为零的实数、m、n使mn0，那么mn的值等于_答案0解析由mn0，得.根据空间直线的向量参数方程有1mnmn0.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)在正方体abcda1b1c1d1中，p是dd1的中点，o为底面abcd的中心，求证：是平面pac的法向量解析建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2.则a(2,0,0)，p(0,0,1)，c(0,2,0)，b1(2,2,2)，o(1,1,0)，于是(1,1,2)(2,2,0)，(2，0,1)，由于220，及220，.acapa，平面pac，即是平面pac的法向量18(本小题满分12分)(2009陕西)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，ab1，acaa1，abc60.(1)证明：aba1c；(2)求二面角aa1cb的大小解析(1)证明：三棱柱abca1b1c1为直三棱柱，aa1ab，aa1ac.在abc中，ab1，ac，abc60，由正弦定理得acb30，bac90，即abac.如图，建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(0，0)，a1(0,0，)，(1,0,0)，(0，)，1000()0，aba1c.(2)解：如图，可取m(1,0,0)为平面aa1c的法向量，设平面a1bc的法向量为n(l，m，n)，则n0，n0，又(1，0)，lm，nm.不妨取m1，则n(，1,1)cosm，n，二面角aa1cb的大小为arccos.19(本小题满分12分)如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱abcda1b1c1d1，经平面aefg所截后得到的图形，其中baegad45，ab2ad2，bad60.(1)求证：bd平面adg；(2)求平面aefg与平面abcd所成锐二面角的余弦值解析(1)证明：在bad中，ab2ad2，bad60，由余弦定理得，bd，ab2ad2bd2，adbd，又gd平面abcd，gdbd，gdadd，bd平面adg，(2)以d为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则有a(1,0,0)，b(0，0)，g(0,0,1)，e(0，2)，(1,0,1)，(1，2)，设平面aefg法向量为m(x，y，z)，则，取m(1，1)，平面abcd的一个法向量n(0,0,1)，设平面aefg与面abcd所成锐二面角为，则cos.20(本小题满分12分)(2008江苏)如图，设动点p在棱长为1正方体abcda1b1c1d1的对角线bd1上，记.当apc为钝角时，求的取值范围解析由题设可知，以、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则有a(1,0,0)，b(1,1,0)，c(0,1,0)，d1(0,0,1)由(1 ,1，1)得(，)，所以(，)(1,0，1)(1，1)，(，)(0,1，1)(，1，1)显然apc不是平角，所以apc为钝角等价于cosapccos0，这等价于0，即(1)()()(1)(1)2(1)(31)0，得1.因此，的取值范围为.21(本小题满分12分)(2009山东)如图，在直四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd为等腰梯形，abcd，ab4，bccd2，aa12，e，e1，f分别是棱ad，aa1，ab的中点(1)证明：直线ee1平面fcc1；(2)求二面角bfc1c的余弦值解析(1)因为f为ab的中点，cd2，ab4，abcd，所以cd綊af，因此四边形afcd为平行四边形，所以adfc.又cc1dd1，fccc1c，fc平面fcc1，cc1平面fcc1，所以平面add1a1平面fcc1，又ee1平面add1a1，所以ee1平面fcc1.(2)过d作drcd交于ab于r，以d为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则f(，1,0)，b(，3,0)，c(0,2,0)，c1(0,2,2)所以(0,2,0)，(，1,2)，(，3,0)由fbcbcddf，所以dbfc.又cc1平面abcd，所以为平面fcc1的一个法向量设平面bfc1的一个法向量为n(x，y，z)，则由得即取x1得，因此n，所以cos.故所求二面角的余弦值为.22(本小题满分14分)已知长方体ac1中，棱abbc3，棱bb14，连接b1c，过点b作b1c的垂线交于cc1于e，交b1c于f.(1)求证：a1c平面ebd；(2)求点a到平面a1b1c的距离；(3)求ed与平面a1b1c所成角的正弦值解析(1)证明：建立如右图所示的空间直角坐标系axyz，设|ce|a，则c(3,3,0)，b1(3,0,4)，a1(0,0,4)，b(3,0,0)，d(0,3,0)设e(3,3，