高中数学 第二章 平面向量 2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算学案 新人教B版必修4.doc

2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算 学习目标1.理解平行向量基本定理，能熟练运用该定理处理向量共线和三点共线问题.2.理解轴上向量坐标的含义及运算.3.能运用轴上向量的坐标及长度公式进行相关的计算知识链接1请观察amn，b2m2n，回答a、b有何关系？答因为b2a，所以a、b是平行向量2若a、b是平行向量，能否得出ba？为什么？答可以因为a、b平行，它们的方向相同或相反预习导引1平行向量基本定理(1)平行向量基本定理：如果ab，则ab；反之，如果ab，且b0，则一定存在唯一一个实数，使ab.(2)a的单位向量：给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，记作a0.由数乘向量的定义可知a|a|a0或a0.2轴上向量的坐标(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴当在轴上选一定点o作为原点时，轴就成了数轴(2)轴上向量的坐标：已知轴l，取单位向量e，使e的方向与轴l的方向相同，对轴上任意向量a，一定存在唯一实数x，使axe，单位向量e叫做轴l的基向量，x叫做a在l上的坐标(或数量)给定单位向量e，能生成与它平行的所有向量的集合xe|xr；x的绝对值等于a的长；当a与e同方向时，x是正数，当a与e反方向时，x是负数于是在一条轴上，实数与这条轴上的向量建立起一一对应关系，我们就可用数值来表示向量3轴上向量的坐标运算(1)轴上两个向量相等的法则：轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等，即设ax1e，bx2e，则abx1x2.(2)轴上求两个向量和的法则：轴上两个向量的和的坐标等于两个向量的坐标的和，即设ax1e，bx2e，则ab(x1x2)e.(3)轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，即在数轴x上，x1e，x2e，则(x2x1)e.(4)数轴上两点的距离公式：|ab|x2x1|.要点一向量共线的判定及应用例1已知非零向量e1，e2不共线(1)如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：a、b、d三点共线(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值(1)证明e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5.，共线，且有公共点b，a、b、d三点共线(2)解ke1e2与e1ke2共线，存在使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有k1.规律方法(1)本题充分利用了平行向量基本定理，即b与a(a0)共线ba，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线跟踪演练1已知e1，e2是共线向量，a3e14e2，b6e18e2，则a与b是否共线？解因为e1，e2共线，所以存在r，使e1e2，所以a3e14e2(34)e2，b6e18e2(68)e2，所以ab ，所以a，b共线，当时，b0，a，b也共线综上，a与b共线要点二向量法解决共线问题例2如图所示，已知在abcd中，点m为ab的中点，点n在bd上，且3bnbd.求证：m、n、c三点共线证明设a，b，则ab，ab，a，b，ab，aab，又m为公共点m、n、c三点共线规律方法利用共线向量基本定理可以证明平面几何中的直线平行或三点共线问题跟踪演练2已知两个非零向量e1和e2不共线，如果2e13e2，6e123e2，4e18e2，求证：a、b、d三点共线证明6e123e2，4e18e2，(6e123e2)(4e18e2)10e115e2.又2e13e2，5，、共线，且有公共点b.a、b、d三点共线要点三轴上向量的坐标运算例3已知a、b、c为数轴上三点，且xa2，xb6，试求符合下列条件的点c的坐标(1)ac10；(2)|10；(3)|3|.解(1)ac10，xcxa10，xcxa108.(2)|10，ac10或ac10，当ac10时，xcxa10，xcxa108；当ac10时，xcxa10，xcxa1012.(3)|3|，3或3.当3时，xcxa3(xcxb)，xc(3xbxa)10.当3时，xcxa3(xcxb)，xc(3xbxa)4.规律方法注意题目中ac10与|10，|3|与3，它们的含义不一样，解题时要注意区分，避免出错跟踪演练3已知数轴上a、b两点的坐标x1、x2，根据下列各题中的已知条件，求点a的坐标x1：(1)x23，ab5；(2)x25，|ab|2.解(1)abx2x15，x1x252.(2)|ab|x2x1|2，x2x12或2.x1x2(2)3或x1x227.1点c在线段ab上，且，设，则的值为()a. b c. d答案b2已知m、p、n三点在数轴上，且点p的坐标是5，mp2，mn8，则点n的坐标为_答案113设a与b是两个不共线向量，且向量ab与2ab共线，则_.答案解析由题意知：abk(2ab)，则有：k，.4如图，abcd为一个四边形，e、f、g、h分别为bd、ab、ac和cd的中点，求证：四边形efgh为平行四边形证明f、g分别是ab、ac的中点.同理，.同理.四边形efgh为平行四边形1.共线向量定理是证明三点共线的重要工具即三点共线问题通常转化为向量共线问题2轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标一、基础达标1设e1，e2是两个不共线的向量，若向量me1ke2 (kr)与向量ne22e1共线，则()ak0 bk1 ck2 dk答案d解析当k时，me1e2，n2e1e2.n2m，此时，m，n共线2已知a，b是不共线的向量，ab，ab，(，r)，那么a，b，c三点共线的条件是()a2 b1c1 d1答案d解析由ab，ab(，r)及a，b，c三点共线得：t，所以abt(ab)tatb，即可得所以1.故选d.3已知o是四边形abcd所在平面内的一点，且、满足等式，则四边形abcd是()a平行四边形 b菱形c梯形 d等腰梯形答案a解析，而，.又与不重合，abcd且abcd.四边形abcd为平行四边形4已知向量a、b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()ab、c、d ba、b、cca、b、d da、c、d答案c解析2a4b2，a、b、d三点共线5在平行四边形abcd中，对角线ac与bd交于点o，则_.答案2解析因为四边形abcd为平行四边形，对角线ac与bd交于点o，所以，又o为ac的中点，所以2，所以2，因为，所以2.6设e1，e2是两个不共线的向量，关于向量a，b有a2e1，b2e1；ae1e2，b2e12e2；a4e1e2，be1e2；ae1e2，b2e12e2.其中a，b共线的有_(填序号)答案7两个非零向量a、b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：a、b、d三点共线；(2)求实数k使kab与2akb共线(1)证明ab2a8b3a3b6a6b6，又与有公共点a，a、b、d三点共线(2)解kab与2akb共线，kab(2akb)(k2)a(1k)b0，k.二、能力提升8已知abc和点m满足0.若存在实数m使得m成立，则m的值为()a2 b3 c4 d5答案b解析0，点m是abc的重心3，m3.9如图所示，平行四边形abcd，e在边ab上，且beba，f为对角线bd上的点，且bfbd，则()ae、f、c三点共线，且be、f、c三点共线，且ce、f、c三点共线，且de、f、c三点不共线答案b解析不妨设a，b，四边形abcd为平行四边形，ab.beba，bfbd，a，(ab)，(ab)aab，ba5，即5，与共线，e、f、c三点共线，且.10如图所示，在abcd中，a，b，3，m为bc的中点，则_(用a，b表示)答案(ba)解析baba(ab)(ba)11.如图所示，已知d、e为abc的边ab、ac的中点，延长cd至m使dmcd，延长be至n使been.求证：m、a、n三点共线证明在amc中，d为mc的中点，易得2.又d为ab的中点，2，.同理得.m、a、n三点共线12已知任意两个非零向量a，b，作ab，a2b，a3b.试判断a、b、c三点之间的位置关系，并说明理由解因为(a2b)(ab)b，(a3b)(ab)2b，故有2.因为