【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）1.2.1 对应、映射和函数 湘教版必修1.doc

1.2.1对应、映射和函数学习目标重点难点1能记住映射的定义，知道什么是象，什么是原象，会根据对应法则说出象和原象；2会判断给出的对应是否是映射；3能记住函数的定义，知道什么是函数的定义域、值域；4能说出函数的三要素.重点：1记住映射的定义；2会判断一个对应是不是映射；3函数的定义难点：函数定义的理解；疑点：映射与函数的区别与联系.1映射(1)在数学里，把集合到集合的确定性的对应说成是映射(2)映射的定义：设a，b是两个非空的集合如果按照某种对应法则f，对于集合a中的任何一个元素，在集合b中都有唯一元素和它对应，这样的对应叫作从集合a到集合b的映射，记作f：ab(3)在映射f：ab中，集合a叫作映射的定义域，与a中元素x对应的b中的元素y叫x的象，记作yf(x)，x叫作y的原象预习交流1在映射f：ab中，a中的元素是否必须都有象？象可以不唯一吗？提示：a中任何一个元素都必须有象，象必须是唯一的预习交流2在映射f：ab中，b中的元素是否必须都有原象？b中元素的原象是否是唯一的？提示：b中的元素可以没有原象，b中元素的原象可以不是唯一的预习交流3从a到b的映射与从b到a的映射相同吗？提示：不同，映射具有方向性2函数(1)函数就是数集到数集的映射(2)函数的定义：设a，b是两个非空的数集如果按照某种对应法则f，对于集合a中的任何一个数x，在集合b中都有唯一的数y和它对应，这样的对应f叫作定义于a取值于b的函数，记作f：ab，或者yf(x)(xa，yb)(3)在函数yf(x)(xa，yb)中，a叫作函数的定义域，与xa对应的数y叫作x的象，记作yf(x)，由所有xa的象组成的集合叫作函数的值域(4)函数的三要素：对应法则；定义域；值域预习交流4映射就是函数，函数就是映射？提示：并非所有映射都是函数，只有集合a，b都是非空数集时，映射才是函数函数是一类特殊的映射，映射是函数的推广预习交流5在函数yf(x)(xa，yb)中，b就是这个函数的值域吗？提示：不一定值域是a中所有元素的象的集合，而b中的有些元素可能没有原象因此b不一定就是值域若值域设为c，则有cb一、映射的判断判断下列对应关系哪些是从集合a到集合b的映射，哪些不是，为什么？(1)abn，对应关系f：xy|x3|.(2)ar，bx|x是非负实数，对应关系f：yx2.(3)ar，b0,1，对应关系f：xy(4)az，bq，对应关系f：xy.思路分析：按照映射的定义检验每个对应关系是否满足，尤其是看a中是否每个元素都有与之对应的元素，再就是看a中元素对应的象是否唯一解：(1)对于集合a中的元素3，在f的作用下得0，但0b，即3在集合b中没有元素与之对应，所以这种对应不是映射(2)对于集合a中的任何一个实数x，x20是非负实数，在b中都有唯一的元素与之对应，所以这个对应是从a到b的映射(3)对于集合a中任意一个非负数b中都有唯一元素1与之对应，对于a中任意一个负数b中都有唯一元素0与之对应，所以这种对应是映射(4)集合a中的数0在集合b中没有元素与之对应，故不是映射判断下列对应是否是从集合a到集合b的映射？(1)a1,2,3,4，b3,4,5,6,7,8,9，对应关系f：y2x1；(2)a平面内的圆，b平面内的矩形，对应法则f：a中的元素对应它的内接矩形；(3)ax|x0，br，对应关系f：a中元素对应它的平方根(4)a0,1,2,9，b0,1,4,9,64，对应关系f：ab(a1)2.解：(1)a中每一个元素在b中都有唯一的元素与之对应，是映射；(2)不是从集合a到集合b的映射因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合a中任何一个元素在集合b中都有无穷多个元素与之对应(3)不是映射因为任何正数的平方根都有两个值，即集合a中除0以外的任何元素，在集合b中都有两个元素与之对应(4)在f的作用下，集合a中的0,1,2,9分别对应到集合b中的1,0,1,64，所以是映射集合a到集合b的映射所满足的条件是：(1)对应关系有“方向性”，是从集合a到集合b；(2)a中无多余元素，即b中可以有剩余元素；(3)a到b的对应可以是多对一或一对一，但不能一对多二、映射的象与原象已知映射f：ab，其中abr，对应关系f：xyx22x.(1)求a中元素1和3的象；(2)求b中元素0和3的原象；(3)b中的哪一些元素没有原象？思路分析：(1)可令x1或3代入yx22x求y的值即为象；(2)可令x22x0或3解得x的值即为原象；(3)可求出yx22x的取值范围，不在此范围内的元素没有原象解：(1)令x1得y(1)22(1)1，令x3得y322315，所以1的象是1,3的象是15.(2)令x22x0，解得x0或2，所以0的原象是0或2.令x22x3.解得x1或3，所以3的原象是1或3.(3)由于yx22x(x1)211，所以只有当y1时，它在a中才有原象，而当y1时，它在a中就没有原象，即集合b中小于1的元素没有原象1映射f：ab，a3，2，1,1,2,3,4，对于任意aa，在集合b中和它对应的元素是|a|，则集合b中元素的最少个数是()a7 b6 c5 d4答案：d解析：由映射定义知，b中至少有元素1,2,3,4，即b中至少有4个元素，选d2设ax|x是锐角，b(0,1)，从a到b的映射是“求正弦”，与a中元素60相对应的b中的元素是_，与b中元素相对应的a中的元素是_答案：45解析：60角的正弦等于，45角的正弦等于，所以60的象是，的原象是45.1解答此类问题的关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则；2对a中元素，求象只需将原象代入对应法则即可，对于b中元素求原象，可先设出它的原象，然后利用对应法则列出方程(组)求解三、映射的个数问题已知ax，y，ba，b，c，集合a到集合b的所有不同的映射有多少个？思路分析：解答本题应先弄清映射的定义，明确a到b的映射是a与b中元素的对应，这种对应可以是“一对一”“多对一”，但不能是“一对多”a 中元素不能“闲”着，而b中元素可以“闲”着，然后利用画图形的办法，分成两类考虑，一类是a中的元素对应b中同一个元素，另一类是a中的元素对应b中不同的元素，最后将两类情况的结果合起来即可解：分两类考虑：(1)集合a中的两个元素都对应b中相同元素的映射有3个(2)集合a中的两个元素对应b中不同元素的映射有6个a到b的映射共有9个1在活动与探究3中，从集合b到集合a可以建立多少个不同的映射？解：可以建立以下8个不同的映射：2已知集合aa，b，b2,0，2，f是从a到b的映射，且f(a)f(b)0，求这样的映射f的个数解：符合要求的映射f有以下3个：1若集合a有n个元素，集合b有m个元素，则a到b的映射有mn个，从b到a的映射有nm个2对于给出a到b的映射需要满足某些特殊要求时，求映射的个数的问题，其关键是将映射具体化、形象化(如用列表法、图示法、数形结合法等)四、函数的概念下列对应或关系式中是a到b的函数的是()ax2y21，xa，ybba1,2,3,4，b1,1，对应法则如图所示car，br，f：xydaz，bz，f：xy思路分析：要判断y是x的函数，应从两方面考虑：x必须在某一范围内存在；对x的每一个值，相应的y值必须唯一答案：b解析：选项a中由x2y21，得y，对于x任意值，y不唯一；选项b中，对于任意xa，都有唯一yb；选项c中，x1时，通过法则f，y值不存在；选项d中，取x2a，但是通过f，对应y值为b，即y值不存在，由函数定义知，答案为b下列各图中，可表示函数yf(x)图象的只可能是()答案：d解析：由函数定义知，对于x的每一个值应有唯一的y的值与之对应，只有d项正确判断由一个式子是否确定y是x的函数的一般程序是：(1)将原式等价转化为用x表示的形式；(2)看x的取值集合是否为，若是，则不是函数，若不是，再看x与y的对应关系；(3)判断对于原式有意义的每一个x值，是否都有唯一的y值与之对应若是，则确定y是x的函数，若不是，则不能确定y是x的函数另外还要注意若题目是图象的形式，就要观察图象中是否有一个自变量对应多个函数值的形式，若有这种情况则构不成函数1给出下列四个对应法则，是映射的是()a b c d答案：c解析：中c没有与之对应的元素，不是映射；中a有两个与之对应的元素，不是映射，所以选c2对于集合a到集合b的映射，下列理解不正确的选项是()aa中的元素在b中一定有象bb中的元素在a中可能没有原象c集合a中的元素与b中的元素一一对应d设abr，那么yx2是a到b的一个映射答案：c解析：在a到b的映射中，a中的元素与b中元素不一定是一一对应，可以多对一，选c3点(x，y)在映射f下的对应元素为，则点(2,0)在f作用下的对应元素为()a(0,2) b(2,0)c(，1) d(，1)答案：c解析：x2，