高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和课件 文.ppt

第六章数列 高考文数 6 2等差数列及其前n项和 知识清单 考点一等差数列及其性质1 等差数列的定义如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的差是同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母d表示 2 等差中项如果a 那么a叫做a与b的等差中项 3 等差数列的常用性质 1 若 an 是等差数列 公差为d 则an am n m d n m n 2 若 an 是等差数列 公差为d 则 a2n 也是等差数列 公差为2d 3 若 an 是等差数列 公差为d 则ak ak m ak 2m k m n 组成公差为md的等差数列 4 若 an 是等差数列 m n p q n 且m n p q 则am an ap aq 考点二等差数列的通项公式及前n项和公式1 等差数列的通项公式如果等差数列 an 的首项为a1 公差为d 那么它的通项公式是an a1 n 1 d 2 等差数列的前n项和公式设等差数列 an 的公差为d 则其前n项和sn 或sn na1 d 3 等差数列的前n项和公式与函数的关系sn n2 n 非零数列 an 是等差数列的充要条件是其前n项和sn f n 是关于n的二次函数或一次函数且不含常数项 即sn an2 bn a2 b2 0 4 在等差数列 an 中 若a1 0 d0 则sn存在最小值 5 与等差数列各项的和有关的性质 1 若 an 是等差数列 则也是等差数列 其首项与 an 的首项相同 公差是 an 公差的 2 sm s2m s3m分别为等差数列 an 的前m项 前2m项 前3m项的和 则sm s2m sm s3m s2m成等差数列 3 关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质若项数为2n 则s偶 s奇 nd 若项数为2n 1 则s偶 n 1 an s奇 nan s奇 s偶 an 等差数列的基本运算技巧等差数列 an 中一共涉及五个基本量 即首项a1 第n项an 项数n 公差d以及前n项和sn 在a1 an n d sn中 只要知道其中三个 其他两个就能求 简称 知三求二 其中a1与d是两个最基本的量 往往用它们表示其他的量列出方程 组 进行求解 例1 1 2017江西红色七校第一次联考 4 设等差数列 an 的前n项和为sn 若2a7 5 a9 则s9的值为 c a 27b 36c 45d 54 2 2016湖北七校2月联考 16 已知数列 an 为等差数列 其前n项和为sn 若sk 2 4 k 2 sk 0 sk 2 8 则k 方法技巧 解题导引 1 设公差为d将an a1 n 1 d代入2a7 5 a9求a5将a5代入s9得结论 2 由sk 2 sk和sk sk 2 k 2 找关系式求出公差d用含k和n的式子表示出an代入ak 1 ak 4 k 2 结论 解析 1 设 an 的公差为d 因为2a7 5 a9 所以2 a1 6d 5 a1 8d 即a5 a1 4d 5 所以s9 9a5 45 故选c 2 设数列 an 的公差为d 由题意 得sk 2 sk ak 1 ak 2 8 sk sk 2 ak 1 ak 4 k 2 两式相减 得4d 4 即d 1 由sk ka1 0 得a1 an n 1 则由ak 1 ak 4 k 2 得 k 1 2k 3 k 2 4 解得k 6 经验证 符合题意 答案 2 6 等差数列性质的应用策略1 有穷等差数列中 与首末两项距离相等的两项的和相等 并且等于首末两项之和 特别地 若项数为奇数 则首末两项之和等于中间项的2倍 即a1 an a2 an 1 a3 an 2 2 2 若m n p k n 且m n p k 则am an ap ak 其中am an ap ak是等差数列中的项 特别地 当m n 2p时 有am an 2ap 3 在等差数列中 每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列 构成的新数列仍然是等差数列 但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数列 4 等差数列中连续几项之和构成的新数列仍然是等差数列 5 若数列 an 与 bn 均为等差数列 则 man kbn 仍为等差数列 其中m k均 为常数 且 an bn 的项数相同 6 项数为偶数2n的等差数列 an 中 s2n n a1 a2n n an an 1 an与an 1为中间的两项 7 等差数列 an 中 若an m am n m n 则am n 0 若sn m sm n m n 则sm n m n 若sn sm m n 则sm n 0 例2 2015课标 5 5分 设sn是等差数列 an 的前n项和 若a1 a3 a5 3 则s5 a a 5b 7c 9d 11 解题导引a1 a3 a5 3a3 3a3 1s5 5a3 5 解析 an 为等差数列 a1 a5 2a3 3a3 3 则a3 1 s5 5a3 5 故选a 等差数列前n项和的最值问题的求解方法1 利用等差数列的单调性 求出其正负转折项 进而求得和的最值 2 利用等差数列的前n项和sn an2 bn a b为常数且a不为零 为二次函数 根据二次函数的性质求最值 注意 只有当a1 0 d0时 无穷数列的前n项和才有最小值 其最小值是所有非正项的和 例3 2017湖南衡阳八中 长郡中学等十三校二模 6 等差数列 an 的公差d 0 且a3 a5 a15成等比数列 若a5 5 sn为数列 an 的前n项和 则数列的前n项和取最小值时的n为 b a 3b 3或4c 4或5d 5