数学建模 相机定位.doc

数 学 建 模论 文题目： 数码相机定位班级： 学号： 姓名： 年 月 日一、摘要本文针对图像标定问题，进行了分析讨论，根据题中的要求，给出了相应的算法。首先采用灰度质心法获得靶标中心的像坐标。传统的标定模型往往需要大量的特征点，且需要引入世界坐标，本题中给出的特征点只有5个，远远少于传统方法所需要的特征点数目。因此本文并未采用传统方法，没有引入世界坐标，而是根据小孔成像原理和相应的几何关系将像面和靶标面统一在相机坐标下，建立了新的标定模型。模型I:针对问题一，建立了特征点中心像坐标提取模型，将椭圆形光斑做质点处理，实现了圆或椭圆的中心到重心的转换，进而利用灰度质心法计算靶标中心的像坐标。为了进一步提高灰度质心算法的精度和椭圆形光斑中心像面坐标的稳定性, 在灰度质心算法的基础上引入插值法以增加质心算法中的采样点数。运用MATLAB软件模拟靶标图像，最终确定靶标图像的中心坐标。模型II:根据相机成像原理，建立了几何模型，给出了靶标物坐标与像坐标之间的关系，运用MATLAB软件求解5个靶标中心像坐标,运用最小二乘法对求得数据进行拟合，最终得到一个靶标的近似平面，最终获得标定模型。针对假设，提出问题，对模型进行检验分析。利用MATLAB实现了对模型的求解过程，并对模型结果做出分析。 模型III:根据双目立体视觉原理可得到靶标上同一组特征点在两个相机坐标系下的两组坐标，应用最小二乘法获得旋转矩阵R和平移向量T，从而准确的得到了两相机坐标系的位置关系。并对模型的精度和稳定性进行分析论证。二、关键词灰度质心法 最小二乘法 小孔成像 双目定位 本文仿做大学生数学建模论文数码相机定位分析三、问题的重述1、问题提出的背景 双目立体视觉的研究一直是机器视觉中的热点和难点，用双目立体视觉系统可以确定任意物体的三维轮廓，并且可以得到轮廓上任意点的三维坐标，双目视觉系统直接模拟人类双眼处理景物的方式，可靠简便，在许多领域均极具应用价值，如微操作系统的位姿检测与控制，机器人导航与航测，三维测量学及虚拟现实等，各种双目视觉系统结构各有优缺点，这些结构适用于不同的应用场合。对要求大测量范围和较高测量精度的场合，采用基于两个相机的双目立体视觉系统比较合适；对测量范围要求比较小，对视觉系统体积和质量要求严格，需要高速度实时测量对象，基于光学成像的单相机双目立体视觉系统便成为最佳选择，随着数码相机的普及，数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位，对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。2、约定信息系统标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。 有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心， 12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示，用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。图 1 靶标上圆的像 图 2 靶标示意图图3 靶标的像3、问题的提出（1） 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；（2） 对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024768；（3） 设计一种方法检验模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；（4） 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。四、模型假设1、假设靶标图像为中心对称的圆形或者椭圆。2、相机坐标系的z轴（光轴）通过像平面的中心。3、相机的成像过程可以通过小孔成像的原理来描述。4、被拍摄物体的图像没有发生成像畸变。5、相机的内参不发生变化。五、模型的建立及求解（一）、定义参数与符号说明(xi，yi): 第i(i=1,2,3)个质点的位置坐标。(xo，yo)：全部n 个离散质点的重心坐标。(ui,vi): 第i(i=1,2,3)个经双线性插值得到的点。v：像距。mi：第为第i个质点的质量（二）、分析并建立模型模型I：特征点中心像坐标提取1、模型的建立为了方便计算，把5个靶标作为被测特征点的光源，其在相机平面上的像为5个椭圆形或圆形的光斑，假设椭圆呈中心对称，则它们的圆心可视为质量重心，此时，光斑可视为质点，由高等数学的知识可知, 平面上n 个离散的质点, 它们的质量重心坐标可以表示为， （1）式中: mi 为第i个质点的质量; xi , yi 为第i个质点的位置坐标; xo , yo 为全部n 个离散质点的重心坐标。考虑到圆或椭圆的对称性, 则密度均匀的圆或椭圆的中心与质量重心是重合的, 其中将（1）式中的点质量用点的灰度值替换, 质量重心变成了灰度重心, 那么圆形或椭圆形光斑的中心也可以通过求取光斑在像平面上的灰度重心来得到。原始图像经过预处理后得到的被测特征点成像特征区域呈现椭圆形的光斑。设各个椭圆形光斑所占像素数量约为n =M N, 于是灰度质心法计算各椭圆形光斑中心的坐标可表示为 （2）其中: x、y为质心坐标, n为图像的像素个数, ( xi ,yi ) 为第i个像素的坐标, p ( xi , yi ) 为第i个像素的灰度值。为了进一步提高灰度质心算法的精度和椭圆形光斑中心像面坐标的稳定性, 在灰度质心算法的基础上引入插值法以增加质心算法中的采样点数, 考虑采用双线性插值法如图4所示：图 4 双线性插值以在( i, j) 点的附近插入一点( u, v) 为例, 其具体方法为: 先根据f ( i,j) 及f ( i + 1,j) 插值得:再根据插值得： (3) 在实际计算中，规定、表示其值不超过u、v的最大整数, 则上式中: (4)由此可以得出经插值后质心坐标计算公式 (5)其中: m 为插值点数, f ( ui , vi ) 为经双线性插值得到的点( ui , vi ) 的灰度值。2、模型I的求解开 始输入数据搜索各组数据是否满足灰度值输出数据结束N模型I的算法流程图流程图根据题目中给定的数据，利用MATLAB对以上公式进行编程求解，最终得到靶标圆心的像坐标,即题中第二问的答案。5个点的像素坐标（坐标原点位于图像的左上角）分别为：Af（322.250，186.533），Bf（421.941，193.533），Cf(638.16,210.401)，Df(580.595,501.034),Ef(281.538,499.630)。如图5所示:图 5 程序模拟靶标图像坐标由于像素坐标（也称图像阵列坐标或网格坐标）表示图像阵列中像素点的位置，其坐标原点Of 位于图像阵列的左上角，如图6所示，将以Of 为原点的图像像素坐标系进行如下转换，使主点（光轴和像平面的交点）成为图像像素坐标系原点，记此原点为Of，所在坐标系为xfOfyf，以点Af （322.250，186.533）例,由题中所给条件可知，相机的分辨率为1024*768，则将点Af（ 322.250，186.533）沿x轴正方向平移512个像素单位，沿y轴正方向平移384个像素单位，z方向不变，即可得到点Af（322.250，186.533）在xfOfyf坐标系中的坐标点Af （xfA,yfA,zfA），同理可得B,C,D,E四点在xfOfyf坐标系中的坐标，分Bf(xfB.yfB,zfB),Cf(xfC,yfC,zfC),Df(xfD,yfD,zfD),Ef(xfE,yfE,zfE).如图6所示:由题可知，1mm约为3.78个像素单位，将像素坐标转换以毫米为单位的坐标，使其与相机坐标系的单位统一，得到这5个像点在相机坐标系下的坐标:Af（-50.198,-52.240），Bf（-23.825,-50.383），Cf（33.376,-45.926），Df（18.147,30.191），Ef（-60.969,30.590）。Of xf xOf yf yyf y 图6 图像物理坐标系和图像像素坐标系y yf A(xA ,yA ,zA) B C E D Of f z Of O xf A(xfA , yfA, zfA) x 图7 以点A为例的成像原理图3、模型I的分析对模型I的算法分析可知,灰度质心法特别适用于对称图像的中心计算, 因为算法充分考虑了对称图像中的每一个点的灰度值, 精度较高, 而且实现起来简单方便,摄取的几十幅图像进行了处理分析, 并提取出被测特征点中心的像面坐标, 效果非常令人满意。实验表明该方法在本定位系统中是适用的, 在实际操作中需要特别注意的是: 在进行双线性插值时, 必须对称插值以提高灰度质心法的计算精度。模型II：标定模型1、分析并建立模型如图7所示的空间坐标系中，xfOfyf面与xoy面平行，设物体的像距为v(即-ZfA)，A点距xoz面的距离为yA，距yoz面的距离为XA,距xoy面的距离为ZA, A点距xfOfzf面的距离为yfA，距离，yfOfzf面的距离为XfA,根据物体成像原理可知，因物体成像为倒立的，故上式的比例关系为负，同理可得到B,C,D,E四点物坐标与像坐标的对应比例关系式，根据题中所给条件可知靶标示意图是以A,C,D,E为顶点的正方形，其边为100mm，B点在AC边上距离A点30mm处，则由空间两点间关系可得到如下关系式： CD: 利用MATLAB对上述方程进行求解，可获得模型中A,B,C,D,E这5个点在相机坐标系下的空间坐标。根据题意可知，靶标上的特征点都位于同一空间平面上，因此，这5个空间点的坐标应位于同一空间平面内。应用最小二乘法，对这5个点进行拟合得到一个空间平面R：，可认为此平面近似为靶标平面， 进而建立了模型II：标定模型：3、模型II的分析与验证建立模型II的主要想法是：可以通过模型II，在已知物体图像坐标的情况下反求其在相机坐标系下的空间坐标。通过该模型检验用上述方法得到数据的准确度，具体的验证方法为：利用求得的5个点的图像坐标，通过模型II求得其在相机坐标系下对应点的三维坐标，将此坐标值与图像坐标值进行比较，分析模型的精确度。由于本模型应用最小二乘法拟合出了靶标面的近似平面，所求物点均位于此平面上，减少了各种误差对精度的影响，具有较好的稳定性。模型III:双目定位1、模型的建立基于双目立体视觉原理建立了双目定位模型。双目立体视觉三维测量是基于视差原理，图8所示为简单的平视双目立体成像原理图， 图 8 双目立体成像原理图两相机的投影中心的连线的距离，即基线距为b。相机坐标系的原点在相机镜头的光心处，坐标系如图8所示。事实上相机的成像平面在镜头的光心后，图8中将左右成像平面绘制在镜头的光心前f处，这个虚拟的图像平面坐标系uO1v的u轴和v轴与和相机坐标系的x轴和y轴方向一致，这样可以简化计算过程。左右图像坐标系的原点在相机光轴与平面的交点O1和O2。空间中某点P在左图像和右图像中相应的坐标分别为P1(u1,v1)和P2(u2,v2)。假定两相机的图像在同一个平面上，则点P图像坐标的Y坐标相同，即v1=v2。由几何中的三角关系得到: ，上式中（xc，yc，zc）为点P在左相机坐标系中的坐标，b为基线距，f为两个相机的焦距，（u1，v1）和（u2，v2）分别为点P在左图像和右图像中的坐标。视差定义为某一点在两幅图像中相应点的位置差: 由此可计算出空间中某点P在左相机坐标系中的坐标为: 因此，只要能够找到空间中某点在左右两个相机像面上的相应点，且通过相机标定获得相机的内外参数，就可以确定这个点的三维坐标。为了精确地确定两部相机的相对位置，通常先采用单相机的标定方法：分别得到两个相机的内外参数，通过同一世界坐标中的一组定标点来建立两个相机之间的位置关系。应用以上双目立体视觉原理可分别获得靶标平面上的特征点在两个相机坐标系下的两组坐标(x，y，z) (X,Y,Z )，理论上这两组坐标的关系为:其中R为旋转矩阵由欧拉角将其描述为下一形式：是光轴的俯仰角（绕x轴旋转）；是光轴的偏航角（绕y轴旋转）；是光轴的滚动角（绕z轴旋转）。由左式可以看出R中仅仅有，且为单位正交阵。T为平移向量，实际就是O点在世界坐标系下的坐标。R和T中共含有6个未知参数：、。利用已获得的两组坐标(x，y，z) ，(X,Y,Z )应用最小二乘法求得这6个参数，进而获得了两部相机的位置模型。2、模型精度分析 由上述双目视觉系统的基本原理可知，为了获得三维空间中某点的三维坐标，需要在左右两个相机像面上都存在该点的相应点。立体视觉系统的一般结构为交叉摆放的两个相机从不同角度观测同一被测物体。图9为原理图。这样通过求得两个图像中相应点的图像坐标，便可以由双目立体视觉测量原理求取三维空间坐标。 图9 一般双目立体视觉系统原理图 基于双相机的双目立体视觉系统必须安装在一个稳定的平台上，在进行双目视觉系统标定以及应用该系统进行测量时，要确保相机的内参(比如焦距)和两个相机相对位置关系不能够发生变化，如果任何一项发生变化，则需要重新对双目立体视觉系统进行标定。 视觉系统的安装方法影响测量结果的精度。测量的精度可由下式得出: 上式中表示测量得出的被测点与立体视觉系统之间距离的精度，z指被测点与立体视觉系统的绝对距离，f指相机的焦距，b表示双目立体视觉系统的基线距，表示被测点视差精度。为了得到更高的精度，应该使相机的焦距以及基线长度增大，同时应该使被测物体尽可能的靠近立体视觉系统。另外这个精度和视差的精度有直接的关系。图10表示深度测量的精度和各个参数之间的关系（假设视差精度为1m）。图 10 深度测量的精度和各个参数之间的关系如果b和z之间的比值过大，立体图像对之间的交迭区域将非常小，这样就不能够得到足够的物体表面信息。b/z可以取的最大值取决于物体的表面特征