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储油罐的变位识别与罐容表标定摘要许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，罐体变位导致罐容表发生改变，需对罐容表重新标定。针对卧式储油罐油量与变位参数、油位高度关系及罐容表标定问题，通过几何分析，建立储油罐的油位高度与储油量的函数关系的微分方程模型，得出储油罐内储油体积的计算公式，进而求出罐容表，最终算出误差并作图，检验模型的精度和稳定性。问题一：首先分析椭圆形储油罐平卧时油罐内油品体积与油液面高度的关系,经几何分析建立微分方程模型求出关系式然后讨论小椭圆储油罐在纵向倾斜变位后，根据液面所处的不同位置对被积函数积分范围的影响，分五种情况讨论，计算出油位高度与油量的函数关系式，同时作出油位高度间隔为1cm的罐容表标定值，最后进行误差分析，求得理论值与实际值在无变位时椭圆储油罐进、出油误差范围小于40L，相对误差小于1.01%，在倾斜变位时椭圆储油罐进、出油误差范围小于90L，相对误差小于2.5%。问题二，首先分析实际储油罐仅纵向倾斜变位时，油量与油位高度、纵向变位的微分方程模型， 并利用Mathematic软件对方程进行化简，然后分析油罐在该基础上横向变位时，油量与油位高度、纵向倾角、横向倾角变位的微分方程模型,通过非线性拟合方法求得变位参数，并作出油位高度为10cm的罐容表，进而求得罐内储油量与油位高度及任意变位参数之间的一般关系式，最后建立线性拟合模型进行检验。关键词：油位高度 变位参数 微分方程模型 拟合 一问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。并用实际测得数据求得参数，并利用实测数据分析检验模型的正确性与方法可靠性。二问题分析本文关键是知道储油罐变位参数和罐容表之间的一般关系，所涉及的方面包括油位高度与变位参数，将所有问题同时讨论很复杂，我们可以将问题分步骤讨论。第一问我们可以首先分析小椭圆储油罐无变位的情况下，通过用几何关系和积分计算，得到油位高度与油量的关系；然后讨论小椭圆储油罐有一个特定的纵向倾斜变位时，通过几何关系分析，发现油位高度与油量的关系，计算出油位高度与油量的函数关系式，并做出罐容表。第二问我们可以仿照第一问的思路，首先分析实际储油罐无变位的情况下，通过用几何关系和积分计算，得到油位高度与油量的关系；然后讨论实际储油罐有一个特定的纵向倾斜角时油位高度与油量的函数表达式，接着分析加上横向倾角变位后，油位高度与油量的关系，通过几何关系分析和数值计算，从而得到储油罐有任意的变位参数时，油位高度与油量的一般关系，最后将实际数据代入一般关系式求出实际数据时变位参数，并将理论值与实际值比较，检验模型。三符号说明 罐内油品体积 罐内油品液面高度（标定高度） 油品椭圆柱体部分的长度 椭圆体在 储油罐纵向倾斜角度 储油罐横向倾斜角度 小椭圆储油罐油位探针至左端平头的距离 实际储油罐中圆柱体半径 实际储油罐中球缺的半径 实际储油罐球缺脱出部分宽度 为油位探针至z轴的距离四模型假设1 忽略油罐内总油量由于非进出油因素引起的总油量的变化2 油罐里的油质均匀3 油罐上方的三个管口直径忽略不计4 在较短时间内纵向和横向倾角可认为不变五模型的建立及求解5.1油罐没有倾斜变位时的研究我们研究的卧式储油罐为两边平头的椭圆柱体，具体情况如图1.1：图1.1储油罐内油品体积是油品液面高度的函数。讨论储油罐平卧没有倾斜变位时，某一液面高度下，油罐内油品体积与油液面高度的关系式,设储油罐里的油的高度为,图中阴影面积为储油横截面，设椭圆弓形面积为，积分求解过程如下： （1） （2） （3）设 （4）模型符号说明： 罐内油品体积 罐内油品液面高度（标定高度） 油品椭圆柱体部分的长度 椭圆体在结果分析：由上式油罐内油品体积与油液面高度的关系式可以确定罐内油品体积是随着油品液面高度的增高而增多，降低而减少。图1.2 椭圆储油罐水平实测值与理论值的对比由图1.2我们可以看出实测值与理论值能够较好的吻合，说明我们建立的模型精度较高。（程序见附录一）5.2小椭圆油罐倾斜变位模型设油罐轴线与与水平线的夹角为（小椭圆型油罐绕水平线逆时针旋转角），情况如图1.3所示：图1.35.2.1求解积分函数椭圆弓形面积讨论储油罐平卧纵向倾斜角变位后，油罐内油品体积与油液面高度的函数关系式,设储油罐里的油位高度为,图中阴影面积为储油横截面，设椭圆弓形面积为，积分求解过程如下： （5） （6） （7）5.2.2求解油罐内油品体积与油液面高度的关系式对储油体积与油位高度几何关系的分析，发现的积分函数椭圆弓形面积的积分域随高度的变化而发生变化，因此我们将分五种情况讨论（1）当，即储油量非常少，油浮子处油位高度为零，具体情况如图1.4所示：图1.4(2)当,即储油罐几乎装满，油浮子处的高度达到上限，具体情况如图1.5所示：图1.5(3)图1.6 （8）(4)图1.7 （9）(5)当图1.8 （10）模型符号说明： 罐内油品体积 罐内油品液面高度（标定高度） 油品椭圆柱体部分的长度 椭圆体在 储油罐纵向倾斜角度 小椭圆储油罐油位探针至左端平头的距离5.2.3模型求解根据油罐内油品体积与油液面高度的关系式，带入数据求得油位高度间隔为1cm的罐容表1.1如下：表1.1 倾角时油位高度间隔为1cm的罐容表高度/cm容积/L高度/cm容积/L高度/cm容积/L高度/cm容积/L高度/cm容积/L高度/cm容积/L0不定20281.940965.7601798.5802661.41003450.713.521309.8411005611841.8812703.61013486.126.322338.5421044.6621885.1822745.51023520.931023368.1431084.5631928.5832787.21033555.1414.824398.5441124.8641971.9842828.71043588.8520.725429.7451165.3652015.48528701053621.8627.926461.5461206.2662058.8862911.11063654.2736.327494471247.2672102.3872951.81073685.9846.128527.1481288.6682145.7882992.31083716.9957.429560.9491330.1692189.1893032.51093747.21070.130595.2501371.9702232.5903072.41103776.61184.431630.1511413.9712275.89131121113805.312100.332665.6521456722319.1923151.2112383313117.733701.5531498.4732362.3933190.11133859.814136.934738541540.9742405.4943228.61143885.615157.835774.9551583.5752448.4953266.71153910.316180.336812.2561626.3762491.3963304.41163933.91720437850571669.2772534973341.71173956.118228.938888.2581712.2782576.6983378.51182841.419254.939926.7591755.3792619.1993414.91193091.11203341.75.2.4模型结果的分析图2.1斜倾后实测值与理论值对比（程序见附录二）对图2.1分析发现实测值与理论值吻合的非常好5.3实际储油罐任意的倾斜变位模型直接讨论储油罐在任意变位参数时（具体情况如图2.2所示），油位高度与油量的关系特别复杂，我们可以分步骤求解问题。首先讨论实际储油罐有一个特定的纵向倾斜角变位时，通过几何关系分析和数值计算，寻找油位高度与油量的关系；接着分析储油罐加上横向倾角后，油位高度与油量体积的关系；从而得到储油罐有任意的变位参数时，油位高度与油量的关系，最后将得到的结果与实际结果比较分析，检验模型和算法的精度与可靠性。图2.25.31实际储油罐纵向倾斜变位模型设油罐轴线与水平线的夹角为，则油罐内油容量分三部分求解，假设为储油罐总油量，为储油罐中间柱体的油量，表示油罐较低一端突出的球缺部分的容油量，表示油罐较高一端突出的球缺部分的容油量，可以列出油罐内容油量的关系式： (11)通过对油罐的几何分析和积分运算可以得到： (12) (13) (14)那么综上可以得到 (15)油面轴线方程：，其中为油位探针至z轴的距离。模型符号说明： 罐内油品体积 罐内油品液面高度（标定高度） 油品椭圆柱体部分的长度 储油罐纵向倾斜角度 实际储油罐中圆柱体半径 实际储油罐中球缺的半径 实际储油罐球缺脱出部分宽度 为油位探针至z轴的距离5.32实际储油罐纵向倾斜加上横向倾斜变位模型实际储油罐纵向倾斜后绕垂直地平线的轴线旋转的示意图2.3如下：图2.3图中为实际储油罐纵向倾斜变位后的油浮子高度，为纵向倾斜后在横向倾斜变位后油浮子的高度，由图中三角形示意图可以得到与的关系如下：即 (16)将(15)可以得到实际储油罐纵向倾斜加上横向倾斜变位积分模型 (17) (18) (19) (20) 模型符号说明： 罐内油品体积 罐内油品液面高度（标定高度） 油品椭圆柱体部分的长度 储油罐纵向倾斜角度 储油罐横向倾斜角度 实际储油罐中圆柱体半径 实际储油罐中球缺的半径 实际储油罐球缺脱出部分宽度 为油位探针至z轴的距离5.3.3模型求解首先利用Mathematica 4对微分方程积分，再将积分结果非线性拟合，求得变为参数，求解程序见（附录五），带入数据求得油位高度间隔为10cm的罐容表如下带入数据求得油位高度间隔为10cm的罐容表1.2如下：表1.2 纵横向变位倾斜时油位高度间隔为10cm的罐容表h(m)v(kL)h(m)v(kL)h(m)v(kL)06.477128.353250.2290.18.66461.130.54062.152.41660.210.85221.232.72822.254.60420.313.03981.334.91582.356.79180.415.22741.437.10342.458.97940.517.4151.539.2912.561.1670.619.60261.641.47862.663.35460.721.79021.743.66622.765.54220.823.97781.845.85382.867.72980.926.16541.948.04142.969.9174372.105六、结果的分析与检验6.1问题一结果分析 6.11无变位椭圆储油罐结果分析 图3.1图3.1显示无变位椭圆储油罐进、出油误差范围小于40L，符合精度要求。（程序见附录三）6.12倾斜变位椭圆储油罐结果分析 图3.2图3.2显示倾斜变位椭圆储油罐进、出油误差范围小于90L（0.09千升），相对误差小于2.5%6.2问题二结果分析 图3.3图3.3表明拟合效果较好，由拟合方程可求得时对应横坐标，即出油前的实际体积为2627L。五模型的评价与改进优点：本模型将复杂的多方位变位问题进行分解讨论，首先从单一变位情况，储油罐有一个特定的纵向倾斜变位，计算出油位高度与油量的函数关系式，接着分析加上横向倾角