高三数学 定点、定值、最值问题期末复习测试卷 文.doc

定点、定值、最值问题(40分钟)一、选择题1.(2013太原模拟)已知f1,f2是椭圆的两个焦点,满足mf1mf2=0的点m总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是()a.(0,1)b.0,12c.0,22d.22,12.p是双曲线x29-y216=1右支上的一点,点m,n分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的动点,则|pm|-|pn|的最小值为()a.1b.2c.3d.43.已知抛物线y2=4x的准线过椭圆x24+y2b2=1的左焦点,则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是()a.k-12,12b.k-,-1212,+c.k-22,22d.k-,-2222,+4.(2013北京模拟)已知点a(2,1),抛物线y2=4x的焦点是f,若抛物线上存在一点p,使得|pa|+|pf|最小,则p点的坐标为()a.(2,1)b.(1,1)c.12,1d.14,15.经过椭圆x24+y23=1的右焦点任意作弦ab,过a作直线x=4的垂线am,垂足为m,则直线bm必经过定点()a.(2,0)b.52,0c.(3,0)d.72,06.(2013武汉模拟)已知点a(-1,0),b(1,0)及抛物线y2=2x,若抛物线上点p满足|pa|=m|pb|,则m的最大值为()a.3b.2c.3d.2二、填空题7.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,则b2+13a的最小值为.8.(2013成都模拟)在抛物线c:y=2x2上有一点p,若它到点a(1,3)的距离与它到抛物线c的焦点的距离之和最小,则点p的坐标是.9.(2013重庆模拟)椭圆x24+y23=1的左焦点为f,直线x=m与椭圆相交于点a,b,当fab的周长最大时,fab的面积是.三、解答题10.(2013陕西高考)已知动圆过定点a(4,0),且在y轴上截得的弦mn的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹c的方程.(2)已知点b(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹c交于不同的两点p,q,若x轴是pbq的角平分线,证明直线l过定点.11.(2013广东高考)已知抛物线c的顶点为原点,其焦点f(0,c)(c0)到直线l:x-y-2=0的距离为322.设p为直线l上的点,过点p作抛物线c的两条切线pa,pb,其中a,b为切点.(1)求抛物线c的方程.(2)当点p(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线ab的方程.(3)当点p在直线l上移动时,求|af|bf|的最小值.12.(2013浙江高考)已知抛物线c的顶点为o(0,0),焦点f(0,1).(1)求抛物线c的方程.(2)过f作直线交抛物线c于a,b两点.若直线ao,bo分别交直线l:y=x-2于m,n两点,求|mn|的最小值.答案解析1.【解析】选c.设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a,b,c,因为mf1mf2=0,所以m点的轨迹是以原点o为圆心,半焦距c为半径的圆,又m点总在椭圆内部,所以该圆内含于椭圆,即cb,c2b2=a2-c2,所以e2=c2a212,所以0e0,则有m=|pa|pb|=(x+1)2+y2(x-1)2+y2=(x+1)2+2x(x-1)2+2x=x2+4x+1x2+1=1+4xx2+1=1+4x+1x,据基本不等式有m=1+4x+1x1+42x1x=3,即m的最大值为3.7.【解析】因为双曲线的离心率e=2,所以ca=2,即a2+b2a2=4,所以b2=3a2,所以b2+13a=3a2+13a23a3a=2(当且仅当a=33时取等号).答案:28.【解析】p点到焦点的距离等于它到准线y=-18的距离,所以所求距离之和的最小值是点a到准线的距离,此时p点横坐标为1,纵坐标为2.答案:(1,2)9.【解析】根据椭圆的定义结合其几何性质求解.直线x=m过右焦点(1,0)时,fab的周长最大,由椭圆定义知,其周长为4a=8,此时,|ab|=2b2a=232=3,所以sfab=1223=3.答案:310.【解题提示】(1)由弦长的一半、半径和弦心距构成直角三角形列出方程,化简后得出轨迹c的方程.(2)直线过定点可抓住该题的关键:x轴是pbq的角平分线,即kqb+kpb=0解之.【解析】(1)a(4,0),设圆心c(x,y),线段mn的中点为e,由几何图象知me=mn2,ca2=cm2=me2+ec2(x-4)2+y2=42+x2y2=8x.(2)设直线l的方程为y=kx+b,联立y2=8x,y=kx+b,得k2x2+2kbx+b2=8x,k2x2-(8-2kb)x+b2=0(其中0),设p(x1,kx1+b),q(x2,kx2+b),则x1+x2=(8-2kb)k2,x1x2=b2k2,若x轴是pbq的角平分线,则kpb+kqb=kx1+bx1+1+kx2+bx2+1=(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)(x1+1)(x2+1)=2kx1x2+(k+b)(x1+x2)+2b(x1+1)(x2+1)=8(k+b)k2(x1+1)(x2+1)=0即k=-b,故直线l的方程为y=k(x-1),直线l过定点(1,0).【变式备选】已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0),点pb,a2在椭圆上,其左、右焦点为f1,f2.(1)求椭圆c的离心率.(2)若pf1pf2=12,过点s0,-13的动直线l交椭圆于a,b两点,请问在y轴上是否存在定点m,使以ab为直径的圆恒过这个定点?若存在,求出点m的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0),点pb,a2在椭圆上,所以b2a2+a24b2=1,所以a2=2b2,所以c2=a2-b2=b2,所以e=ca=22.(2)因为pf1pf2=12,所以-c-b,-a2c-b,-a2=12,所以b2-c2+a24=12,所以a=2,b=1,所以椭圆方程为x22+y2=1;假设存在定点m,使以ab为直径的圆恒过这个点.当abx轴时,以ab为直径的圆的方程为:x2+y2=1当aby轴时,以ab为直径的圆的方程为:x2+y+132=169由知定点m(0,1),下证:以ab为直径的圆恒过定点m(0,1).设直线l:y=kx-13,代入椭圆方程,消去y可得(2k2+1)x2-43kx-169=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=4k3(2k2+1),x1x2=-169(2k2+1),因为ma=(x1,y1-1),mb=(x2,y2-1),所以mamb=x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+k2)x1x2-43k(x1+x2)+169=0,所以在x轴上存在定点m(0,1),使以ab为直径的圆恒过这个定点.11.【解析】(1)因为f(0,c)到直线l:x-y-2=0的距离为322,即|0-c-2|12+(-1)2=322,所以c=1(注意c0),可得抛物线c的方程为x2=4y.(2)设切点a(x1,y1),b(x2,y2),则x12=4y1,x22=4y2.对x2=4y(即y=14x2)求导可得y=12x,切线pa的斜率为y1-y0x1-x0=12x1,将x12= 4y1代入整理可得2y1-x0x1+2y0=0,同理切线pb的斜率为y2-y0x2-x0=12x2,将x22=4y2代入整理可得2y2-x0x2+2y0=0,由可得点a(x1,y1),b(x2,y2)都适合方程2y-x0x+2y0=0,也就是当点p(x0,y0)为直线l上的定点时,直线ab的方程即为2y-x0x+2y0=0.(3)由抛物线的性质可知a(x1,y1),b(x2,y2)到焦点f(0,c)的距离等于到准线y=-1的距离,所以|af|=y1+1,|bf|=y2+1,|af|bf|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+y1+y2+1.联立方程x0x-2y-2y0=0,x2=4y,消去x整理得y2+(2y0-x02)y+y02=0,由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=x02-2y0,y1y2=y02,所以|af|bf|=y02+x02-2y0+1.又y0=x0-2,则y02+x02-2y0+1=2y02+2y0+5=2y0+122+92,所以当y0=-12时,|af|bf|取得最小值,且最小值为92.12.【解题提示】(1)知道抛物线的焦点易求抛物线的方程;(2)可以先设出a,b两点的坐标(设而不求),设出直线的方程,由已知条件把|mn|表示出来,进行求解.【解析】(1)由题意可设抛物线c的方程为x2=2py(p0),则p2=1,p=2,所以抛物线c的方程为x2=4y.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),直线ab的方程为:y=kx+1,由y=kx+1,x2=4y,消去y,整理得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4,从而|x1-x2|=4k2+1,由y=y1x1x,y=x-2,解得点m的横坐标xm=2x1x1-y1=2x1x1-x124=84-