2008年高中数学新教材变式题12《计数原理》(命题人广.doc

欢迎光临中学数学信息网 十二、计数原理变式题（命题人：广州市第三中学 刘窗洲） 审校人 张志红1（人教A版选修2-3第22页例4）用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数 ？变式1： 由1，4，5，x可组成没有重复数字的四位数，若所有这些四位数的各位数字之和为288，则x 【解析】：（1+4+5+x）=288，解得10+x=12【答案】：x=2变式2：在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有 （ ）（A）56个（B）57个（C）58个（D）60个【解答】解法一：（直接法）当首位排2，次位排3时，有A-1种；次位排4、5时有2 A种，共计17种；当首位排3，A种，共计24种；当首位排4，次位排3时，有A-1种；次位排1、2时有2 A种，共计17种；以上总计17+24+17=58种。解法二：（间接法）不作限定时有=120种；当首位排1或5时，各有A种，共计48种不满足要求；当首位排2，次位排1时，有A种；而次位排3时有1种，共计7种不满足要求；当首位排4，次位排5时，有A种；而次位排3时有1种，共计7种不满足要求；因此共有120-48-7-7=58种排法，即58个数变式3：给定数字0、1、2、3、5、9每个数字最多用一次（1）可能组成多少个四位数？（2）可能组成多少个四位奇数？（3）可能组成多少个四位偶数？（4）可能组成多少个自然数？【分析】：注意0不能放在首位，还要注意个位数字，方法多种多样，利用特殊优先法，即特殊的元素，特殊的位置优先考虑【解答】（1）解法一：从“位置”考虑，由于0不能放在首位，因此首位数字只能有种取法，其余3个数位可以从余下的5个数字（包括0）中任取3个排列，所以可以组成个四位数；解法二：从“元素”考虑，组成的四位数可以按有无数字0分成两类，有数字0的有个，无数字0的有个，所以共组成+=300个四位数；解法三：“排除法”从6个元素中取4个元素的所有排列中，减去0在首位上的排列数即为所求，所以共有个四位数；（2）从“位置”考虑，个位数字必须是奇数有种排法，由于0不能放在首位，因此首位数字只能有种取法，其余两个数位的排法有，所以共有个四位奇数；（3）解法一：由（1）（2）知共有300-192=108个四位偶数；解法二：从“位置”考虑，按个位数字是否为0分成两种情况，0在个位时，有个四位偶数；2在个位时，有个四位偶数，所以共有+=108个四位偶数；（4）一位数：有=6个；两位数：有=25个；三位数：有=100个；四位数：有=300个；五位数：有=600个；六位数：有=600个；所以共有6+25+100+300+600+600=1631个自然数【点评】解有条件限制的排列问题思路：正确选择原理；处理好特殊元素和特殊位置，先让特殊元素占位，或特殊位置选元素；再考虑其余元素或其余位置；数字的排列问题，0不能排在首位2（人教A版选修2-3第29页例4）在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品，从这 100 件产品中任意抽出 3 件。（1）有多少种不同的抽法 ？（2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种 ？（3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种 ？变式1：某人手中有张扑克牌，其中张为不同花色的，张为不同花色的，有次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？【分析】：分类讨论，由于情况太多，要做到不重不漏【解答】出牌的方法可分为以下几类：（1）5张牌全部分开出，有种方法； （2）2张2一起出，3张A一起出，有种方法； （3）2张2一起出，3张A分开出，有种方法； （4）2张2一起出，3张A分两次出，有种方法； （5）2张2分开出，3张A一起出，有种方法； （6）2张2分开出，3张A分两次出，有种方法； 因此，共有不同的出牌方法种【点评】分类讨论一直是高中的难点，但更是高考的热点内容之一，所以同学们不能回避，应加强训练变式2：将7个小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空， （1）若7个小球相同，共有多少种不同的放法？ （2）若7个小球互不相同，共有多少种不同的放法？【解析】：（1）解法1：7=1+1+1+4=1+1+2+3=1+2+2+2，分三类，共有分法解法2（隔板法）：将7个小球排成一排，插入3块隔板，故共有分法 （2）7=1+1+1+4=1+1+2+3=1+2+2+2，共有分法变式3：一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球， （1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？ （2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【解析】：（1）将取出4个球分成三类情况1）取4个红球，没有白球，有种 2）取3个红球1个白球，有种；3）取2个红球2个白球，有3（人教A版选修2-3第36页例2）（1）求 的展开式的第 4 项的系数 ；（2）求 的展开式中 的系数 ？变式1：在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列（）求展开式的第四项；（）求展开式的常数项；（）求展开式的各项系数的和【分析】：本题旨在训练二项式定理通项公式的运用【解答】第一项系数的绝对值为，第二项系数的绝对值为，第三项系数的绝对值为，依题意有+=，解得n=8，（）第四项；（）通项公式为，展开式的常数项有2r-8=0，即r=4，常数项为；（）令x=1，得展开式的各项系数的和【点评】本题旨在训练二项式定理通项公式的运用，但要注意通项为而不是，这是同学们最容易出错的地方变式2：设（）求；（）求；（）求；（）求；（5）求各项二项式系数的和【分析】：本题旨在训练二项展开式各项的系数与二项式系数【解答】（）令x=1得；（）令x=-1得，而由（1）知：，两式相加得；（）将（2）中的两式相减得；（）令x=0得，得-=16-1=15；（5）各项二项式系数的和为【点评】要注意二项展开式各项的系数与二项式系数是不同的两个概念；系数和与二项式系数和不一定相同，本题的（1）与（5）结果相同纯属巧合；注意求系数和上述是最一般的方法，一定要理解变式3：二项展开式中，有理项的项数是（ ）