高考数学大一轮复习 专题7 不等式课件 文.ppt

专题7不等式 第1节不等式与不等式的解法第2节基本不等式及其应用第3节线性规划问题 目录 600分基础考点 考法考点34不等式的性质及应用考点35常见不等式的解法考点36与一元二次不等式有关的参数问题 第1节不等式性质与不等式解法 考点34不等式的性质及应用 1 不等式的基本性质 2 不等式的运算性质 基本性质的推论 3 常用的证明方法 1 分析法 从要证明的结论出发 逐步寻求推证过程中 使每一步结论成立的充分条件 直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定义 公理 定理等 为止 2 综合法 由原因推导到结果的证明方法 它是利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 3 反证法 假设结论的反面成立 推出矛盾 否定假设 肯定结论 考点34不等式的性质及应用 考法1不等式的性质及其应用 考法2利用不等式的性质证明不等关系 不等式的性质及应用 考点34 考点34不等式的性质及应用 考点34 考法1 不等式的性质及其应用 1 比较大小 1 差值比较原理差值比较步骤 作差并变形 判断差的符号 下结论 注意 只需判断差的符号 至于差的值究竟是多少无关紧要 通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式积的形式 关键步骤是变形 主要是利用通分 因式分解 配方等 变形是为了更有利于判断符号 2 商值比较原理商值比较步骤 作商并变形 判断商与1的大小 下结论 注意 作商时各式的符号应相同 如果a b均小于0 所得结论与 商值比较原理 中的结论相反 关键步骤仍是变形 方法主要有分母 或分子 有理化 指数恒等变形 对数恒等变形等 此外还可应用函数单调性比较大小 也可以采用中间量法或赋予特殊值的方法比较大小 考点34不等式的性质及应用 考点34 考法1 不等式的性质及其应用 2 求取值范围由a f x y b c g x y d 求f x y 的取值范围 可利用待定系数法解决 即设f x y mf x y ng x y 或其他形式 通过恒等变形求得m n的值 再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求得f x y 的取值范围 考点34不等式的性质及应用 考点34 考法1 不等式的性质及其应用 3 应用不等式的性质解题的常见类型及方法 1 不等式性质与充要条件 求取值范围 证明与推导不等式综合的问题 应注意观察从已知不等式到目标不等式的变化 它是如何变形的 这些变形是否符合不等式的性质及性质的条件 2 若比较大小的两式是指数或对数模型 注意联想其单调性 3 灵活运用赋值法和淘汰法探究解答选择题 考点34不等式的性质及应用 考点34 考法1 不等式的性质及其应用 考点34不等式的性质及应用 考点34 考法2 利用不等式的性质证明不等关系 1 比较法可分为作差比较法与作商比较法 与比较大小的方法步骤一致 2 综合法利用某些已知的不等式 应用不等式的性质推导出要证明的不等式 执因索果 这种证明方法叫综合法 3 分析法从寻求结论成立的充分条件入手 逐步寻求所需条件成立的充分条件 直到所需的条件已知正确为止 执果索因 4 分析 综合法将分析法和综合法结合使用而形成的一种方法 说明 应用不等式性质进行推理时 务必注意不等式成立的前提条件 如性质4中c的符号对不等号方向的影响 避免出错 考点34不等式的性质及应用 考点34 考法2 利用不等式的性质证明不等关系 考点34不等式的性质及应用 考点35常见不等式的解法 1 解一元二次不等式的一般步骤 1 将不等式的右端化为0 左端化为二次项系数大于零的不等式ax2 bx c 0 或 0 a 0 或ax2 bx c 0 或 0 a 0 2 计算相应的一元二次方程ax2 bx c 0的判别式 3 当 0时 求出相应的一元二次方程ax2 bx c 0的根 4 根据对应的二次函数的图象 写出不等式的解集 2 三个 二次 间的关系 特别提示 若一元二次不等式的解集用区间表示 则区间的端点值是对应的一元二次方程的根 同时注意判别式的取值范围及a的正负 注意 相应的一元二次方程根的大小不确定时 应先讨论根的大小 再写出解集 考点35常见不等式的解法 考法3解一元二次不等式 考法4解分式不等式 绝对值不等式 常见不等式的解法 考点35 考法5解高次不等式 考法6解指数不等式 对数不等式 考点35常见不等式的解法 考点35 考法3 解一元二次不等式 1 解具体的一元二次不等式一元二次不等式 考点35常见不等式的解法 考点35 考法3 解一元二次不等式 2 已知一元二次不等式的解集确定参数 考点35常见不等式的解法 考点35 考法3 解一元二次不等式 考点35常见不等式的解法 考点35 考法4 解分式不等式 绝对值不等式 1 解分式不等式解分式不等式的实质是将分式不等式转化为整式不等式 考点35常见不等式的解法 考点35 考法4 解分式不等式 绝对值不等式 2 解绝对值不等式 4 几何法 利用绝对值的几何意义 画出数轴 将绝对值转化为数轴上两点之间的距离求解 5 数形结合法 在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象 利用函数图象求解 6 含两个或两个以上绝对值符号的不等式 可用零点分区间法脱去绝对值符号 将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式 组 求解 考点35常见不等式的解法 考点35 考法4 解分式不等式 绝对值不等式 考点35常见不等式的解法 考点35 考法5 解高次不等式 如果分式不等式转化为整式不等式后 未知数的次数大于2 一般使用穿针引线法 具体思路如下 1 标准化 通过移项 通分等方法将不等式化为左侧为关于未知数的整式 且最高次项系数为正 右侧为0的形式 2 分解因式 将标准化的不等式的左侧化为若干个因式 一次因式或高次不可约因式 的乘积 如 x x1 x x2 x xn 0 0 0 0 的形式 其中各因式中未知数的系数为正 3 求根 求 x x1 x x2 x xn 0的根 并在数轴上表示出来 按从小到大的顺序标出 考点35常见不等式的解法 考点35 考法5 解高次不等式 如果分式不等式转化为整式不等式后 未知数的次数大于2 一般使用穿针引线法 具体思路如下 1 标准化 2 分解因式 3 求根 4 穿线 从右上方穿线 经过数轴上表示各根的点 但是要注意经过偶次根时应从数轴的一侧返回这一侧 经过奇次根时应从数轴的一侧穿过 到达数轴的另一侧 5 得解集 若不等式 未知数的系数均为正 是 0 型 则找 线 在数轴上方时对应的区间 若不等式 未知数的系数均为正 是 0 型 则找 线 在数轴下方时对应的区间 考点35常见不等式的解法 考点35 考法5 解高次不等式 考点35常见不等式的解法 考点35 考法6 解指数不等式 对数不等式 1 指数不等式的解法 a 0 且a 1 2 对数不等式的解法 a 0 且a 1 考点35常见不等式的解法 考点35 考法6 解指数不等式 对数不等式 考点35常见不等式的解法 考点36与一元二次不等式有关的参数问题 不等式 x a x b 0 a0 的求解 应注意对参数进行分类讨论 分类讨论的常见情况 1 二次项系数的符号 包含是否为0 2 计算判别式 判断方程根的情况 若有两根 则需要比较两根的大小 考法7解含有参数的一元二次不等式 考法8由一元二次型不等式恒成立求参数范围 与一元二次不等式有关的参数问题 考点36 考点36与一元二次不等式有关的参数问题 考点36 考法7 解含有参数的一元二次不等式 1 一看 看二次项系数的符号 2 二算 计算判别式 判断方程根的情况 3 三写 写出解集 二次项若含有参数 应讨论其是等于0 小于0 还是大于0 若二次项系数不为0 将不等式转化为二次项系数为正的标准形式 此类题一般以含参数的一元二次不等式 集合的形式出现 要注意各次项系数大小对不等式解集的影响 在解含有参数的一元二次型不等式 如关于x的不等式ax2 bx c 0 时 判断标准形式的一元二次不等式对应的方程的根的个数 讨论判别式与0的大小关系 确定无根或有两个相等的实数根时 可以直接写出解集 如果有两个不相等的实数根 但不能确定两根的大小 要讨论两根的大小关系 从而确定解集形式 注意 将形如ax2 bx c 0 0 0 0 的不等式误认为一定是一元二次不等式而致错 考点36与一元二次不等式有关的参数问题 考点36 考法7 解含有参数的一元二次不等式 考点36与一元二次不等式有关的参数问题 考点36 考法8 由一元二次型不等式恒成立求参数范围 1 一元二次不等式在实数集r上恒成立 考点36与一元二次不等式有关的参数问题 考点36 考法8 由一元二次型不等式恒成立求参数范围 2 在某区间上恒成立设f x ax2 bx c a 0 方法1不等式解集法 不等式f x 0在集合a中恒成立等价于集合a是不等式f x 0解集b的子集 通过求不等式的解集 并研究集合间的关系可以求出参数的取值范围 方法2分离参数法 若不等式f x 0 x d 为实参数 恒成立 将f x 0转化为 g x 或 g x x d 恒成立 进而转化为 g x max或 g x min 求g x x d 的最值即可 适用题型 参数与变量能分离 函数最值易求 考点36与一元二次不等式有关的参数问题 考点36 考法8 由一元二次型不等式恒成立求参数范围 2 在某区间上恒成立设f x ax2 bx c a 0 方法1不等式解集法 方法2分离参数法 方法3主参换位法 变换思维角度 即把变元与参数交换位置 构造以参数为变量的函数 根据原变量的取值范围列式求解 方法4数形结合法 结合函数图象将问题转化为函数图象对称轴 区间端点函数值或函数图象上 下位置关系求解 此外 若涉及的不等式能转化为一元二次不等式 可结合一元二次方程根的分布解决问题 考点36与一元二次不等式有关的参数问题 考点36 考法8 由一元二次型不等式恒成立求参数范围 考点36与一元二次不等式有关的参数问题 目录 600分基础考点 考法考点37基本不等式及应用700分综合考点 考法考点38基本不等式的实际应用 第2节基本不等式及其应用 考点37基本不等式及应用 1 基本不等式 2 重要不等式 3 几个常用的重要结论 4 利用基本不等式求最值 5 利用基本不等式求最值的前提条件 利用基本不等式求最值的三个前提条件是 一正 二定 三相等 即 一正 是各项为正数 二定 是求和的最小值要求各项的积为定值 求积的最大值要求各项的和为定值 三相等 是必须验证等号是否成立 考点37基本不等式及应用 考法1利用基本不等式比较大小或证明简单不等式 考法2利用基本不等式求最值 基本不等式及其应用 考点37 考点37基本不等式及应用 考点37 考法1 利用基本不等式比较大小或证明简单不等式 1 常见利用基本不等式比较大小或证明简单不等式的方法依据 考点37基本不等式及应用 考点37 考法1 利用基本不等式比较大小或证明简单不等式 2 应用基本不等式需注意的内容 1 创设运用基本不等式的条件 合理拆分项或配凑项是常用技巧 其中 拆 与 凑 的目的在于使几个数 或式 的积为定值或和为定值 通常是考虑分母的代数式 考虑将原式拆分或配凑成与分母的代数式有关系 相等 倍分等 的式子与常数的和 2 当多次使用基本不等式时 一定要注意每次是否能保证等号成立 并且要注意取等号时条件是否一致 否则就会出错 因此 在利用基本不等式处理问题时 列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤 而且也是检验转换是否有误的一种方法 3 注意 1 的代换的妙用 当进行条件不等式的证明 即已知一个等式 求证一个不等式成立 时 通常将等式一端转化出常数 1 根据1 a a或者等量代换 将待证不等式一侧乘 1 或者将其中的常数进行 1 的代换 考点37基本不等式及应用 考点37 考法1 利用基本不等式比较大小或证明简单不等式 考点37基本不等式及应用 考点37 考法2 利用基本不等式求最值 求最值时常见以下几种情形 1 若直接满足基本不等式条件 即满足 一正 二定 三相等 则直接应用基本不等式 2 若不满足运用基本不等式的条件 则需要创造条件对式子进行恒等变形 如构造 1 的代换 对不等式进行分拆 组合 添加系数等方法使之变成可用基本不等式的形式 创造使用不等式的条件 3 有时需要多次使用基本不等式求解 考点37基本不等式及应用 考点37 考法2 利用基本不等式求最值 考点37基本不等式及应用 考点38基本不等式的实际应用 利用基本不等式解决实际问题的方法步骤如下 1 根据题意设出相应变量 一般把要求最值的变量设为函数 2 建立相应的函数关系式 确定函数的定义域 3 在定义域内 求函数的最值 4 回到实际问题中去 写出实际问题的答案 注意 运用基本不等式求最值时 当使等号成立的自变量值不在定义域内时 就不能使用基本不等式求解 此时可根据定义域和函数的单调性求解 考法3基本不等式的实际应用 考法3基本不等式的实际应用 考点38基本不等式的实际应用 考法3基本不等式的实际应用 考点38基本不等式的实际应用 目录 600分基础考点 考法考点39二元一次不等式 组 表示的平面区域考点40线性目标函数的最值700分综合考点 考法综合问题13生活中的优化问题综合问题14非线性规划问题 第3节线性规划问题 考点39二元一次不等式 组 表示的平面区域 1 二元一次不等式 组 表示的平面区域及判断方法 1 一般地 二元一次不等式ax by c 0在平面直角坐标系中表示直线ax by c 0某一侧的所有点组成的平面区域 半平面 不包括边界直线 不等式ax by c 0所表示的平面区域 半平面 包括边界直线 2 直线ax by c 0同一侧的所有点 x y 使得ax by c的值符号相同 也就是位于直线ax by c 0某一侧的所有点 其坐标适合ax by c 0 ax by c0 3 可在直线ax by c 0的某一侧任取一点 x0 y0 一般取特殊点 如原点 点 0 1 点 1 0 从ax0 by0 c的符号来判断ax by c 0 或ax by c 0 所表示的平面区域 4 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 考点39二元一次不等式 组 表示的平面区域 2 确定二元一次不等式 组 表示的平面区域的方法步骤 1 画线 在平面直角坐标系中画出不等式所对应方程所表示的直线 注意不等式中不等号有无等号 无等号时直线画成虚线 有等号时直线画成实线 2 定侧 将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式 根据 同侧同号 异侧异号 的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧 若直线不过原点 特殊点常选取原点 3 求 交 若平面区域是由不等式组决定的 则在确定了各个不等式所表示的区域后 再求这些区域的公共部分 以上俗称为 直线定界 特殊点定域 考点39二元一次不等式 组 表示的平面区域 考法1求平面区域的面积 考法2根据平面区域满足的条件求参数的取值范围 二元一次不等式 组 表示的平面区域 考点39 考点39二元一次不等式 组 表示的平面区域 考点39 考法1 求平面区域的面积 解决此类问题的一般步骤 1 利用应试基础必备中的有关方法画出不等式组表示的平面区域 2 判断平面区域的形状 并求得直线的交点坐标 图形的边长 相关线段的长 三角形的高 四边形的高 等 若为规则图形则利用图形的面积公式求解 若为不规则图形则利用割补法求解 说明 求面积时应考虑圆 平行四边形等的对称性 图形面积的割补法等 考点39二元一次不等式 组 表示的平面区域 考点39 考法1 求平面区域的面积 考点39二元一次不等式 组 表示的平面区域 考点39 考法2 根据平面区域满足的条件求参数的取值范围 不等式组中的参数影响平面区域的形状 如果不等式组中的不等式含有参数 这时它表示的区域的分界线是一条变动的直线 此时要根据参数的取值范围确定这条直线的变化趋势 如倾斜角度 上升还是下降 是否过定点等 确定区域的可能形状 进而根据题目要求求解 如果是一条曲线与平面区域具有一定的位置关系 可以考虑对应的函数的变化趋势 确定极限情况求解 如果目标函数中含有参数 则要根据这个目标函数的特点考察参数变化时目标函数与平面区域的关系 在运动变化中求解 注意 此类问题的难点在于参数取值范围的不同导致平面区域或者曲线位置的改变 解答的思路可能会有变化 所以求解时要根据题意进行必要的分类讨论及对特殊点 特殊值的考虑 考点39二元一次不等式 组 表示的平面区域 考点39 考法2 根据平面区域满足的条件求参数的取值范围 考点39二元一次不等式 组 表示的平面区域 考点39 考法2 根据平面区域满足的条件求参数的取值范围 考点39二元一次不等式 组 表示的平面区域 考点40线性目标函数的最值 1 线性规划的有关概念 2 简单线性规划问题的图解法 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下 用图解法求最优解的步骤概括为 画 移 求 答 即 1 画 在平面直角坐标系中画出可行域和直线ax by 0 目标函数为z ax by 2 移 平移直线ax by 0 确定使z ax by取得最大值或最小值的点 3 求 求出使z ax by取得最大值或最小值的点的坐标及z的最大值或最小值 4 答 给出正确答案 考点40线性目标函数的最值 考法3线性目标函数的最值及取值范围 考法4线性规划的逆向问题 线性目标函数的最值 考点40 考点40线性目标函数的最值 考点40 考法3 线性目标函数的最值及取值范围 方法1图解法 基本方法 利用应试基础必备中的图解法求解即可 注意线性目标函数z ax by a 0 取最大值时的最优解与b的正负有关 当b 0时 将直线ax by 0在可行域内向右上方平移到最右侧端点 一般是两直线的交点 即平面区域的顶点 的位置可得到最优解及目标函数最值 当b 0时 则是向右下方平移可得到最优解及目标函数最值 说明 线性目标函数的最值一般在可行域的顶点处或边界上取得 将目标函数的直线平行移动时最先通过或最后通过的顶点便是最优解 特别地 对最优整数解可视情况而定 考点40线性目标函数的最值 考点40 考法3 线性目标函数的最值及取值范围 方法1图解法 基本方法 方法2界点定值法 快捷方法 线性规划的最优解都是可行域所对应图形的边界顶点 这时只要把可行域的几个顶点代入 通过对比目标函数的对应取值 即可得到最优解和目标函数最值 方法3变量替代法 把目标函数z代换到原约束条件中 得到新的不等式组 画出此时的平面区域 观察左右或上下边界即可得到最优解 考点40线性目标函数的最值 考点40 考法3 线性目标函数的最值及取值范围 方法1图解法 基本方法 方法2界点定值法 快捷方法 方法3变量替代法 方法4解不等式法 当目标函数和约束条件分别是线性目标函数和线性约束条件时 把目标函数z代换到原约束条件中去 得到关于z的不等式组 直接放缩求解 考点40线性目标函数的最值 考点40 考法3 线性目标函数的最值及取值范围 考点40线性目标函数的最值 考点40 考法3 线性目标函数的最值及取值范围 考点40线性目标函数的最值 考点40 考法4 线性规划的逆向问题 1 常见问题形式 1 由可行域求线性约束条件 2 由最优解或最值求参数的取值范围 2 处理方法 1 对于形式 1 由可行域的端点写出边界直线的方程 由区域特点确定不等号即可 2 对于形式 2 解答问题时 必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得 运用数形结合的思想方法求解 同时要注意边界直线的斜率与目标函数表示的直线的斜率之间的关系 考点40线性目标函数的最值 考点40 考法4 线性规划的逆向问题 考点40线性目标函数的最值 综合问题13生活中的优化问题 综合点1生活中的优化问题 1 利用线性规划解决优化问题的思路 利用线性规划解决优化问题的关键在于确定两个变量x y 其基本方法是看求解目标是受哪两个变量制约的 这两个变量就是x y 从而写出约束条件和目标函数 将实际问题转化为线性规划问题 注意 实际问题中 要注意x y为非负数 整数等要求 避免约束条件不完整这种错误的发生 综合点1生活中的优化问题 2 确定最优整数解的方法 若实际问题要求的最优解是整数解 而利用图解法得到的解为非整数解 则应适当的调整 其调整方法如下 方法1调整优值法 在求线性目标函数z ax by c的最优整数解时 先根据基本方法求出目标函数的最值 若此时最优解是非整数最优解 将其代入目标函数z中求出此时的值z0 然后在可行域内将z0的值微调为大于 或