高考数学一轮复习检测《导数的概念与计算》.doc

导数的概念与计算 【选题明细表】知识点、方法题号导数的概念及运算1、2、4、10导数的几何意义3、5、7、12导数的综合应用6、8、9、11一、选择题1.(2013湖北荆州模拟)在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+x,2+y),则yx为(c)(a)x+1x+2(b)x-1x-2(c)x+2(d)x-1x+2解析:y=f(1+x)-f(1)=(1+x)2+1-2=(x)2+2(x),yx=x+2,选c.2.(2013宿州模拟)若f(x)=2xf(1)+x2,则f(0)等于(d)(a)2(b)0(c)-2(d)-4解析:f(x)=2f(1)+2x,f(1)=2f(1)+2,f(1)=-2,f(x)=2x-4,f(0)=-4.故选d.3.(2013济南模拟)曲线f(x)=x2(x-2)+1在点(1,f(1)处的切线方程为(d)(a)x+2y-1=0(b)2x+y-1=0(c)x-y+1=0(d)x+y-1=0解析:f(1)=12(1-2)+1=0,切点坐标为(1,0).又f(x)=3x2-4x,f(1)=-1,切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.故选d.4.函数f(x)=sin22x+3的导数是(d)(a)f(x)=2sin2x+3(b)f(x)=4sin2x+3(c)f(x)=sin4x+23(d)f(x)=2sin4x+23解析:由于f(x)=sin22x+3=1-cos4x+232=12-12cos4x+23,f(x)=412sin4x+23=2sin4x+23,故选d.5.(2013合肥一模)曲线y=e12x在点(4,e2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(d)(a)92e2 (b)4e2(c)2e2 (d)e2解析:因为f(x)=12e12x,所以曲线在点(4,e2)处的切线的斜率为k=f(4)=12e2,切线方程为y-e2=12e2(x-4),即12e2x-y-e2=0,切线与x轴和y轴的交点坐标分别为a(2,0)、b(0,-e2),则切线与坐标轴围成的oab的面积为122e2=e2,故选d.6.定义在r上的函数f(x)满足f(4)=1,f(x)为f(x)的导函数,已知y=f(x)的图象如图所示,若两个正数a、b满足f(2a+b)1,则b+1a+1的取值范围是(c)(a)15,13(b)-,13(5,+)(c)13,5(d)(-,3)解析:观察图象,可知f(x)在(-,0上是减函数,在0,+)上是增函数, 由f(2a+b)1=f(4),可得2a+b0,b0,画出以(a,b)为坐标的可行域(如图阴影部分所示),而b+1a+1可看成(a,b)与点p(-1,-1)连线的斜率,可求得选项c为所求.故选c.二、填空题7.(2013哈尔滨模拟)等比数列an中,a1=1,a2013=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a2013),则函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为.解析:f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a2013),f(x)=(x-a1)(x-a2)(x-a2013)+x(x-a1)(x-a2)(x-a2013)f(0)=a1a2a3a2013=(a1a2013)1006=41006=22013.f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=22013x.答案:y=22013x8.若为曲线y=x3+3x2+ax+2的切线的倾斜角,且所有组成的集合为4,2,则实数a的值为.解析:设切线的斜率为k,则k=y=3x2+6x+a=3(x+1)2+a-3.又k=tan ,4,2,k1,+).当x=-1时,k取最小值为a-3=1.a=4.答案:49.(2013湖南十二校联考)若函数y1=2sin x(x0,2)在点p处的切线平行于函数y2=2x(x3+1)在点q处的切线,则直线pq的斜率为.解析:函数y1=2sin x的导数为y1=2cos x2,故在点p处的切线的斜率kp2;函数y2=2xx3+1的导数为y2=x+1x2x1x=2(当且仅当x=1时,等号成立),所以在点q处的切线的斜率kq2.又两切线平行,故切线的斜率只能为2,当kp=2时,点p的坐标为(0,0),当kq=2时,点q的坐标为1,83,故直线pq的斜率k=83.答案:83三、解答题10.求下列函数的导数.(1)y=(2x2+3)(3x-1);(2)y=(x-2)2;(3)y=x-sinx2cosx2;(4)设f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x,试确定常数a,b,c,d,使得f(x)=xcos x.解:(1)法一y=(2x2+3)(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)=4x(3x-1)+3(2x2+3)=18x2-4x+9.法二y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,y=(6x3-2x2+9x-3)=18x2-4x+9.(2)y=(x-2)2=x-4x+4,y=x-(4x)+4=1-412x-12=1-2x-12.(3)y=x-sinx2cosx2=x-12sin x,y=x-(12sin x)=1-12cos x.(4)由已知f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x=(ax+b)sin x+(ax+b)(sin x)+(cx+d)cos x+(cx+d)(cos x)=asin x+(ax+b)cos x+ccos x-(cx+d)sin x=(a-cx-d)sin x+(ax+b+c)cos x.f(x)=xcos x,必须有a-d-cx=0,ax+b+c=x,即a-d=0,-c=0,a=1,b+c=0a=d=1,b=c=0.11.(2013海口质检)设函数f(x)=ax-bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.(1)解:方程7x-4y-12=0可化为y=74x-3.当x=2时,y=12.又f(x)=a+bx2,于是2a-b2=12,a+b4=74,解得a=1,b=3,故f(x)=x-3x.(2)证明:设p(x0,y0)为曲线y=f(x)上任一点,由y=1+3x2知曲线在点p(x0,y0)处的切线方程为y-y0=1+3x02(x-x0),即y-x0-3x0=1+3x02(x-x0).令x=0得y=-6x0,从而得切线与直线x=0的交点坐标为0,-6x0.令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点p(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为12|-6x0|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.12.求曲线f(x)=x3-3x2+2x的过原点的切线方程.解:f(x)=3x2-6x+2,设切线的斜率为k.(1)当切点是原点